Свойства действий над событиями

1. Объединение и пересечение коммутативны :

AÈB = BÈA; AÇB = BÇA, или

A+B=B+A; AB=BA.

2. Объединение и пересечение ассоциативны :

(AÈB)ÈC=AÈ(BÈC)=(AÈC) ÈB=AÈBÈC.

(AÇB)ÇC=AÇ(BÇC)=(AÇC)ÇB=AÇBÇC;

3. Объединение и пересечение событий дистрибутивны :

(AÈB)C=ACÈBC.

4. Для любых A и B справедливо

.

Обобщение на n событий:

.

5. Для любых A и B справедливо: Ç =

Обобщение на n событий: .

Свойства 4 и 5 выражают принцип двойственности(или правила де-Моргана): операции объединения и пересечения меняются местами при переходе к противоположным событиям.

действия с противоположными событиями.

8. Объединение (сумма) полной группы событий А₁, А₂,..., А_n представляет собой достоверное событие:

=W.

9. Любое событие А можно разложить на сумму несовместных (непересекающихся) событий: A=AW=A(B+ )=AB+A .

Нетрудно видеть, что операции (действия) над событиями тождественны операциям над множествами.

Лекция № 2

Вероятность и её свойства.

Любому случайному событию в данном опыте можно поставить в соответствие числовую характеристику, определяющую степень возможности появления этого события. Она называется вероятностью. Понятие вероятности является одним из основных понятий при построении вероятностной модели случайного явления. Используя введенное ранее понятие «пространство элементарных событий», дадим современное определение вероятности, базирующееся на аксиоматике Колмогорова.

Пусть задано некоторое пространство элементарных событий W и некоторая система E множеств A,которые являются событиями: AÎW.

С помощью операций объединения: «È», пересечения: «Ç» и разности: «\» можно из элементовE построить новую систему множеств, которые также являются событиями. Присоединяя к этим событиям достоверное W и невозможное Æ, получаем систему множеств E, которая является алгеброй, т.е. такой системой подмножеств множества W, что

1) WÎE ,

2) Если АÎE, то ÎE,

3) Если АÎE и ВÎE, то множества AÈB, AÇB, A\B также принадлежат E.

Обобщение на n событий: если A_iÎE, i=1,...,n, то E и ÎE.

Таким образом, алгебра – класс множеств, замкнутый относительно конечного числа операций дополнения, объединения и пересечения, а s-алгебра – класс множеств, замкнутый относительно счетного числа этих операций.

Система F множеств А называется s-алгеброй (или борелевским полем событий), если

1) WÎF ;

2) Если АÎF, то ÎF;

3а) Если A_iÎF,то и F и ÎF.

Замечания:

1. В условиях 3) и 3а) достаточно одного утверждения, другое можно получить на основе условия 2) и принципа двойственности.

2. Замкнутость классов E и F позволяет производить соответствующие действия над событиями (множествами), оставаясь в пределах класса.

Если задано пространство элементарных событий W и какая-нибудь алгебра или s-алгебра его подмножеств, то говорят, что задано измеримое пространство (W,E) или (W,F).На измеримом пространстве задается числовая функция P(A), которая называется вероятностьюи удовлетворяет трем аксиомам.

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова)

· Аксиома №1 (аксиома неотрицательности):

Р(А)³0 , для любого АÎE или АÎF

Каждому событию А соответствует неотрицательное число – вероятность этого события.

· Аксиома №2 (аксиома нормировки):

Р(W)=1.

Вероятность достоверного события равна 1.

· Аксиома №3 (аксиома аддитивности):

Если заданы события такие, что при i¹j, то

(*)

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей.

Замечание: Функции множеств, обладающие свойством (*) при n< называются аддитивными мерами, а при n= – счетно-аддитивными мерами.

Определение:Вероятность – неотрицательная, нормированная к единице мера, заданная на измеримом пространстве событий, характеризующая степень возможности появления событий.

Соответствие между событиями и их вероятностями называется распределением вероятности.

Таким образом, Р(А), как функция множествАÎF, (E) определяет распределение вероятностей на F,(E). Пространство элементарных событий W с заданной на нем алгеброй E (или s-алгеброй F) подмножеств и определенной на E(F) вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Обозначение вероятностного пространства: (W,E,Р) или (W,F,Р). Вероятностное пространство определяет вероятностную модель рассматриваемого случайного явления.