Кинетическая энергия точки и твердого тела

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина, численно равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости

. (12.1)

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий составляющих ее точек

. (12.2)

Кинетическая энергия твердого тела в случаи его поступательное движение

, (12.3)

где – скорость центра масс твердого тела; М – масса твердого тела.

В случае вращательное движение твердого тела с угловой скоростью w относительно неподвижной оси z

, (12.4)

где – моменту инерции твердого тела относительно оси вращения;
ω – угловая скорость тела.

Кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении равна сумме энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии вращательного движения вокруг центра масс

. (12.5)

Примеры решения задач

Задача 1

Однородный стержень, масса которого m = 1 кг и длина АВ = 1 м, вращается вокруг оси Oz по закону φ = 2t³. Определить кинетическую энергию стержня в момент времени t = 1 c.

Решение

– Кинетическая энергия при вращательном движении.

Момент инерции стержня если ось вращении проходит через конец стержня:

Ответ:

Задача 2

Груз массой m = 4 кг, опускаясь вниз, приводит с помощью нити во вращение цилиндр радиуса R = 0,4 м. Момент инерции цилиндра относительно оси вращения I = 0,2 . Определить кинетическую энергию системы тел в момент времени, когда скорость груза V = 2 м/с.

Решение

Кинетическая энергия системы состоит из суммы кинетических энергий двух тел.

Груз совершает поступательное движение, и его кинетическая энергия определится по формуле: Дж.

Цилиндр совершает вращательное движение и его кинетическая энергия определиться по формуле: ,

Так как груз движется со скоростью V, то и трос движется с такой же скоростью, соответственно угловая скорость цилиндра будет равна:

рад/с; Дж,

Дж.

Ответ: Дж.

Теорема об изменении кинетической энергии

Теорема об изменении кинетической энергии имеет вид.

. (13.1)

Изменение кинетической энергии материальной точки на некотором ее перемещении равно сумме работ всех действующих на точку сил на этом же перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии механической системы имеет следующий вид

. (13.2)

где – работа равнодействующей внешних сил, действующих на i-ю материальную точку; – работа равнодействующей внутренних сил, действующих на i-ю материальную точку.

Если механическая система является неизменяемой, т.е. такая механическая система, в которой расстояния между любыми двумя точками во все время остаются постоянным. Для данной системы сумма работ всех внутренних сил равна нулю. Теорема об изменении кинетической энергии для неизменяемой системы имеет вид

. (13.3)

Примеры решения задач

Задача 1

Определить скорость груза 2 в момент времени, когда он опустился вниз на расстояние s = 4 м, если массы грузов m₁ = 2 кг, m₂ = 4 кг. Система тел вначале находилась в покое.

Решение

Согласно теореме об изменении кинетической энергии: ,

Определим кинетическую энергию механической системы.

, , ,

Скорость первого тела выразим через скорость второго тела.

, , , .

Определим работу внешних сил приложенных к системе:

Работа силы тяжести первого тела будет отрицательной, так как направление силы не совпадает с направлением его перемещения. Работа силы тяжести второго тела будет положительной, так как сила совпадает с направлением перемещения s:

; ,

Дж.

; м/с.

Ответ: м/с.