Э л е м е н т ы к в а н т о в о й м е х а н и к и.

ЛЕКЦИЯ №14

Э Л Е М Е Н Т Ы К В А Н Т О В О Й М Е Х А Н И К И.

ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ

Применение модели строения атомов, предложенной в 1913 году Н. Бором (датч.), к многоэлектронным атомам, показало, что эта теория несостоятельна и требуется новый, отличный от законов классической механики подход к изучению условий движения электронов в атоме. Первый шаг в этом направлении сделал в 1924 году французский физик Луи де Бройль. Развивая принцип корпускулярно-волнового дуализма, де Бройль утверждал: не только фотоны, но и любые другие частицы материи, в том числе и электроны, наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Т.о. согласно де Бройлю с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергия ε и импульс р), а с другой – волновые параметры (частота ν_Б и длина волны λ_Б). Количественные соотношения, связывающие эти величины, такие же, как и для фотонов:

ε = hν_Б , р = . (1)

Т.о. любой частице, обладающей импульсом р = mυ, соответствует волновой процесс с длиной волны

. (2)

Найдём зависимость дебройлевской длины волны электрона ускоренного электрическим полем от величины ускоряющего напряжения U. Изменение кинетической энергии электрона равно работе электростатических сил:

(3)

Выразим отсюда скорость υ и подставим в (2), получим:

(4)

Например, электронам ускоренным электрическим полем с разностью потенциалов от 1 до 10⁴ В, что имеет место в электровакуумных приборах (электроннолучевая трубка), соответствуют дебройлевские длины волн от 1 до 0,01 нм. По шкале электромагнитных волн это диапазон рентгеновского излучения. Следовательно, если пучок таких электронов направить на кристалл, то он должен дифрагировать подобно рентгеновскому излучению. И действительно, проверяя гипотезу де Бройля, в 1927 году американские физики К. Девиссон и Л. Джермер направили на кристалл никеля пучок электронов, который после рассеяния дал четкую дифракционную картину (рис.1а). Расчет длины волны по положениям дифракционных максимумов дал значение, совпадающее с длинной волны, вычисленной по формуле (2). На рис 1б приведена полученная в аналогичных условиях рентгенограмма. Сходство обеих картин очевидно.

Следует иметь ввиду, что волны де Бройля не связаны с каким-либо колебательным процессом. Они только лишь характеризуют волновые свойства движущихся частиц, в том числе и макроскопических тел. Однако для тел большой массы длина волны де Бройля настолько мала, что ее невозможно обнаружить никакими современными приборами.

Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению новых исследовательских физических методов. Аналогично рентгеноструктурному анализу дифракцию частиц можно использовать для оценки степени упорядоченности в расположении атомов и молекул в веществе, также для измерения параметров кристаллической решётки. В настоящее время широкое распространение имеют электронография (основана на дифракции электронов) и нейтронография (дифракция нейтронов).

Методы электронографии широко используются при исследовании структуры поверхностей, процессов коррозии, адсорбции газов и ряда других поверхностных явлений. Это связано с тем, что наличие заряда у электронов вызывает их сильное взаимодействие с электронными оболочками атомов вещества и как следствие рассеяние электронов атомами поверхностного слоя исследуемого тела.

Нейтронография оказывается особенно полезной при изучении структур содержащих водород, в частности органических веществ. Объясняется это тем, что нейтроны сильно поглощаются атомами водорода, в то время как электроны и рентгеновские лучи слабо взаимодействуют с водородосодержащими молекулами.

ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ

Дифракционная картина, наблюдаемая для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением рассеянных частиц по разным направлениям. С точки зрения волновой теории это означает, что направлениям максимумов соответствует наибольшая интенсивность волн де Бройля, а минимумам – наименьшая. Т.е. интенсивность волны де Бройля в данной точке пространства определяет число частиц, попавших в эту точку. Т.о. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической закономерности. Это означает, что описание поведения микрочастиц должно носить вероятностный характер, что и является важнейшей отличительной особенностью квантовой механики от классической.

Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается с помощью, так называемой, волновой функции вида ψ = f(x,y,z,t). Ее называют еще ψ-функция. Квадрат модуля ψ-функции определяет вероятность обнаружения частицы в момент времени t в области с координатами: x и x + dx; y и y + dy; z и z + dz – т.е. в элементе объема dV = dx dy dz:

dW = | ψ |² dV. (10)

Величина | ψ |² = dW /dV – имеет смысл плотности вероятности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами x,y,z. Т.о. физический смысл имеет не сама ψ-функция, а квадрат её модуля – |ψ|², которым и задается интенсивность волн де Бройля. Теперь вероятность найти частицу в момент времени t в объеме V будет:

. (11)

Очевидно, что объективность существования частицы во времени и в пространстве будет выражаться вероятностью достоверного события:

. (12)

Это соотношение является условием нормировки ψ- функции.

Волновая функция позволяет рассчитать вероятность реализации тех или иных значений параметров микрообъекта или их средние величины, например, расстояние электрона от ядра атома или вероятность перехода электрона с одного энергетического уровня на другой, что в свою очередь позволяет оценить относительную интенсивность спектральных линий.

Что бы ψ-функция являлась объективной характеристикой состояния микрочастицы она должна удовлетворять следующим условиям: быть 1) конечной, т.к. W ≤ 1; 2) однозначной, т.к. вероятность не может быть неоднозначной; 3) непрерывной, т.к. вероятность не может изменяться скачком.

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА

В зависимости от конкретных условий волновая функция, как основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц должна иметь разный вид. Соответственно, уравнение из которого определяется вид ψ-функции должно быть волновым, подобно дифференциальному волновому уравнению механических или электромагнитных волн. Такое уравнение составлено в 1926 году Э. Шредингером. В наиболее простом случае для стационарных режимов, когда состояние движущейся частицы не зависит от времени U = const, оно имеет вид:

, (13)

где - оператор Лапласа, m – масса частицы, Е и U – полная и потенциальная энергии частицы.

Следует иметь в виду, что уравнение Шредингера нельзя вывести из каких-либо ранее известных соотношений. Оно постулируется на основе большого числа опытных данных, подобно тому, как это имело место с законами динамики Ньютона. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом результатов, которые получают с его помощью. Это, в свою очередь, придает ему характер закона природы.

АТОМ ВОДОРОДА

Квантовомеханическое описание состояний атомов и молекул с помощью уравнения Шредингера является достаточно сложной задачей. Наиболее просто она решается для водородоподобных атомов, электронная оболочка которых содержит только один электрон: водород, однократно ионизированный гелий, двукратно ионизированный литий и т. д.

Атом водорода состоит из одного протона и одного электрона. Т.к. масса протона многократно больше массы электрона, то можно считать, что электрон находится в электрическом потенциальном поле ядра и его потенциальная энергия

(22)

Графически U = f(r) имеет вид потенци-альной ямы с гиперболическими стенка-ми и без дна. Уравнение Шредингера (13) примет вид:

(23)

Решение этого уравнения выходит за рамки наших возможностей. По этой причине ограничимся описанием результатов этого решения.

Отметим, прежде всего, что т.к. это пространственная задача, торешение можно представить в виде трех функций, каждая из которых зависит только от одной переменной – х, y или z. Каждая из них представляет собой дискретный набор решений вида (20), за который отвечает определенный набор целых чисел, которые называются квантовыми. Здесь проявляется главная особенность квантово-механических систем – дискретность физических величин, определяющих их состояние.Во-вторых, функции, удовлетворяющие требованиям однозначности, конечности и непрерывности, и, являющиеся решениями уравнения (23), существуют только в том случае, если собственные значения энергии электрона в атоме равны:

, (24)

где n – главное квантовое число (n = 1, 2, 3, 4…), которое определяет уровни полной энергии электрона.

Из решения уравнения Шредингера вытекает также, что орбитальный момент импульса электрона тоже квантуется.

Орбитальное (азимутальное) квантовое число l (или m_l) определяет дискретные значения орбитального момента импульса электрона относительно ядра.

. (25)

При заданном n, l принимает значения: 0, 1, 2, … n-1.

Магнитное квантовое число – m_l определяет значения проекций момента импульса L_e на любое выбранное направление Z.

L_e,z=m_lħ . (26)

При заданном l, m_l принимает значения: 0, ±1, ±2, ±3…±l. В соответствии с этим может иметь только такие ориентации в пространстве, для которых выполняется (26), т.е. L_e может иметь 2l+1 ориентацию в атоме.

Таким образом каждому E_n (кроме Е₁) будет соответствовать несколько волновых функций ψ_n,l,m с разными l и m_l. Это означает – атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях – всего их n².

В 1822 г. было обнаружено, что электрон обладает собственным неуничтожимым механическим моментом импульса, который не связан с орбитальным движением. Этот собственный момент назвали спином. Спин электрона и всех других микрочастиц квантуется.

Спиновое квантовое число s (или m_s)собственный моментом импульса электрона:

. (27)

По аналогии с орбитальным моментом проекция спина квантуется так, что может принимать 2s+1 положение в атоме. Впоследствии выяснили, что в атоме может иметь только два положения, т.е. 2s+1 = 2, тогда s, определяющее возможные значения проекции спина на направление Z будет – s = + ½ , а величина проекции

L_s,z= ħs (28)

Т.о. всего оказалось четыре квантовых числа, что увеличивает число состояний электрона с одним и тем же значением E_n до 2n².

Сравнение показывает, что квантовая механика приводит к тем же результатам и выводам, что и теория Бора. Но в теории Бора эти результаты просто постулировались. В квантовой механике они получены логическим путем из уравнения Шредингера .

Согласно квантовой механике, каждому энергетическому состоянию соответствуют волновые функции, квадрат модуля которых определяет вероятность нахождения электрона в объеме ∆V, а произведение е|ψ|² среднее значение плотности заряда в этом элементе объема. Т. к. вероятность обнаружения электрона в различных частях атома разная, то и электронная плотность распределяется вокруг ядра атома неравномерно, т. е. электрон как бы размазывается по всему объему атома, образуя электронное облако. Причем, размер и форма электронного облака определяется квантовыми числами n и l, а его ориентацию в пространстве характеризует квантовое число – m_l. На рис. 6 представлена фотомодель электронного облака. Из рисунка видно, насколько условно понятие «орбита» применительно к движению электрона в атоме.

ЛЕКЦИЯ №14

Э Л Е М Е Н Т Ы К В А Н Т О В О Й М Е Х А Н И К И.

ВОЛНЫ ДЕ БРОЙЛЯ

Применение модели строения атомов, предложенной в 1913 году Н. Бором (датч.), к многоэлектронным атомам, показало, что эта теория несостоятельна и требуется новый, отличный от законов классической механики подход к изучению условий движения электронов в атоме. Первый шаг в этом направлении сделал в 1924 году французский физик Луи де Бройль. Развивая принцип корпускулярно-волнового дуализма, де Бройль утверждал: не только фотоны, но и любые другие частицы материи, в том числе и электроны, наряду с корпускулярными обладают также и волновыми свойствами.

Т.о. согласно де Бройлю с каждым микрообъектом связываются, с одной стороны, корпускулярные характеристики (энергия ε и импульс р), а с другой – волновые параметры (частота ν_Б и длина волны λ_Б). Количественные соотношения, связывающие эти величины, такие же, как и для фотонов:

ε = hν_Б , р = . (1)

Т.о. любой частице, обладающей импульсом р = mυ, соответствует волновой процесс с длиной волны

. (2)

Найдём зависимость дебройлевской длины волны электрона ускоренного электрическим полем от величины ускоряющего напряжения U. Изменение кинетической энергии электрона равно работе электростатических сил:

(3)

Выразим отсюда скорость υ и подставим в (2), получим:

(4)

Например, электронам ускоренным электрическим полем с разностью потенциалов от 1 до 10⁴ В, что имеет место в электровакуумных приборах (электроннолучевая трубка), соответствуют дебройлевские длины волн от 1 до 0,01 нм. По шкале электромагнитных волн это диапазон рентгеновского излучения. Следовательно, если пучок таких электронов направить на кристалл, то он должен дифрагировать подобно рентгеновскому излучению. И действительно, проверяя гипотезу де Бройля, в 1927 году американские физики К. Девиссон и Л. Джермер направили на кристалл никеля пучок электронов, который после рассеяния дал четкую дифракционную картину (рис.1а). Расчет длины волны по положениям дифракционных максимумов дал значение, совпадающее с длинной волны, вычисленной по формуле (2). На рис 1б приведена полученная в аналогичных условиях рентгенограмма. Сходство обеих картин очевидно.

Следует иметь ввиду, что волны де Бройля не связаны с каким-либо колебательным процессом. Они только лишь характеризуют волновые свойства движущихся частиц, в том числе и макроскопических тел. Однако для тел большой массы длина волны де Бройля настолько мала, что ее невозможно обнаружить никакими современными приборами.

Открытие волновых свойств микрочастиц привело к появлению новых исследовательских физических методов. Аналогично рентгеноструктурному анализу дифракцию частиц можно использовать для оценки степени упорядоченности в расположении атомов и молекул в веществе, также для измерения параметров кристаллической решётки. В настоящее время широкое распространение имеют электронография (основана на дифракции электронов) и нейтронография (дифракция нейтронов).

Методы электронографии широко используются при исследовании структуры поверхностей, процессов коррозии, адсорбции газов и ряда других поверхностных явлений. Это связано с тем, что наличие заряда у электронов вызывает их сильное взаимодействие с электронными оболочками атомов вещества и как следствие рассеяние электронов атомами поверхностного слоя исследуемого тела.

Нейтронография оказывается особенно полезной при изучении структур содержащих водород, в частности органических веществ. Объясняется это тем, что нейтроны сильно поглощаются атомами водорода, в то время как электроны и рентгеновские лучи слабо взаимодействуют с водородосодержащими молекулами.