Теорема Ильюшина о разгрузке. Основные гипотезы теории малых упруго-пластических деформаций.1

10.1. Теория малых упруго-пластических деформаций

Существующие теории пластичности можно разделить на два вида.

К первому виду относятся теории упруго-пластических деформаций, основанные на уравнениях, связывающих напряжения и деформации. Эти теории, как правило, применяются для расчета строительных конструкций.

Ко второму виду относятся теории пластического течения, в основе которых лежат уравнения, связывающие напряжения и скорости деформаций. Теории пластического течения применяются в технологической практике.

Кроме того, существует несколько противоречивых взглядов на механизм образования пластических деформаций. Исследования А.А.Ильюшина позволили устранить эти противоречия. Он установил, что при простом нагружении и малых деформациях все известные теории пластичности являются частными случаями общей теории пластичности. Эта теория – теория малых упруго-пластических деформаций – достаточно достоверно описывает деформирование твердых тел при малых упругих и пластических деформациях.

Теория малых упруго-пластических деформаций основывается на следующих законах, вытекающих из экспериментов.

Первый закон – закон изменения объема. ПAри упруго-пластических деформациях твердого тела, как активных, так и пассивных, объемная деформация всегда является упругой и подчиняется закону Гука: .

В теории пластичности обычно используется допущение о несжимаемости материала. В этом случае .т.к. при этом не равно нулю и конечно, то модуль объемного расширения должен быть равен бесконечности:

Отсюда следует значение коэффициента Пуассона:

Тогда между модулем сдвига и модулем упругости имеет место соотношение: .Второй закон – закон изменения формы. В соответствии с ним при активных упруго-пластических деформациях, возникающих в условиях простого загружения, главные оси напряжений и деформаций совпадают и отношения главных касательных напряжений к соответствующим сдвигам

Третий закон: интенсивность напряжений для данного материала при активной деформации является вполне определенной функцией интенсивности деформаций :

. Как показывают эксперименты, в условиях простого нагружения диаграмма для любого напряженного состояния подобна диаграмма при растяжении. Следовательно, между и существует зависимость, подобная зависимости между и при растяжении: . Таким образом, зависимость для любого напряженного состояния можно установить из опытов при растяжении.

Анализ экспериментов и решение частных задач теории пластичности позволило высказать следующий постулат, носящий название теоремы А.А.Ильюшина о простом нагружении: теория малых упруго-пластических деформаций дает правильные (согласованные с опытом) результаты, по крайней мере в том случае, когда процесс нагружения тела является простым.

10.2. Теорема о разгрузке

Разгрузкой всего тела называется процесс изменения внешних сил, при котором во всех областях тела, где произошла пластическая деформация, интенсивность напряжений начинает убывать одновременно. Это значит, что тело из стадии активной деформации переходит в стадию пассивной деформации.

А.А.Ильюшиным сформирована и доказана теорема о разгрузке: перемещения точки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникли бы в теле, если бы в естественном (ненагруженном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разности внешних сил, действующих в указанные моменты. Это утверждение относится также к деформациям и напряжениям.

Из рассмотренной теории следует такой порядок определения напряжений, деформаций и перемещений при разгрузке:

− по уравнениям теории пластичности определяют напряжения, деформации и перемещения, которые возникают при наибольшей нагрузке, действующей до начала разгрузки;

− из уравнений теории упругости определяют напряжения, деформации и перемещения, вызываемые нагрузками, равными по величине разности между наибольшими нагрузками до начала разгрузки и нагрузками, оставшимися после разгрузки;

− получают напряжения, деформации и перемещения в рассматриваемый момент разгрузки как разность между их значениями, соответствующими наибольшей нагрузке, и значениями, найденными по величинам нагрузок, на которые произошла разгрузка.