Теорема о кинетической энергии

Под элементарной работой dА, совершаемой силой на элементарном перемещении , называют величину, равную скалярному произведению на

, (1.60)

где угол a - угол между векторами силы и перемещением (рис.1.22,а);

- модуль вектора элементарного перемещения или элементарный путь пройденной точкой приложения силы.

Рис.1.22

Работа силы на конечном перемещении равна сумме элементарных работ:

. (1.61)

Если сила постоянна ( =const), то ее работа на прямолинейном участке длины l запишется следующим образом:

. (1.62)

Работа силы может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Так, работы постоянных сил, приложенных к телу (рис.1.22б) на горизонтальном участке пути l, равны:

Чтобы ввести понятие о кинетической энергии W_k тела, запишем элементарную работу dA силы в другом виде (см. 1.2.2):

. (1.63)

Тогда для работы силы , переводящей тело из состояния 1 (скорость тела ) в состояние 2 (скорость тела ) можно записать:

.

Из полученной формулы следует, что работа силы равна разности двух величин, определяющих начальное (скорость ) и конечное (скорость ) состояния тела. При этом условия перехода из состояния 1 в состояние 2 не оказывают влияние на записанное выражение. Поэтому можно ввести функцию состояния тела, его кинетическую энергию W_к как СФВ, характеризующую способность тела совершать работу за счет изменения скорости его движения и равную

const.

В этом выражении постоянную величину выбирают, предположив, что при нулевой скорости движения тела его кинетическая энергия равна нулю, поэтому

. (1.64)

Кинетическая энергия тел не зависит от того, как была достигнута данная скорость u, она является функцией состояния тела, положительной величиной, зависящей от выбора системы отсчета.

Введение W_к позволяет сформулировать теорему о кинетической энергии, согласно которой алгебраическая сумма работ всех сил, действующих на тело, равна приращению кинетической энергии тела:

. (1.65)

Эта теорема широко используется для анализа взаимодействия тел не только в механике, но и в других разделах курса физики, таких как электростатика, постоянный ток, электромагнетизм, колебания и волны и т.д.

1.4.2. Кинетическая энергия вращающегося а.т.т.

Возьмем а.т.т., вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (рис.1.16,б). Представим тело в виде совокупности м.т. массы dm, тогда для кинетической энергии тела можно записать:

Итак, кинетическая энергия а.т.т. вращающегося относительно неподвижной оси вращения, определяется по формуле

. (1.66)

Если тело одновременно участвует в поступательном (плоском) и вращательном движениях (например, движение цилиндра без скольжения по плоскости, рис.1.23,а), то его кинетическую энергию можно получить

Рис.1.23

как сумму кинетической энергии поступательного движения тела вместе с осью вращения, проходящей через его центр масс (точка О), со скоростью и вращательного движения тела относительно этой оси с угловой скоростью

.(1.67)

Для сплошного (I₁=1/2mR²) и тонкостенного (I₂=mR²) цилиндров одинаковой массы m и радиуса R кинетические энергии запишутся таким образом:

.

Полученные формулы для кинетической энергии цилиндров позволяют объяснить опыт по различию времени их скатывания с наклонной плоскости высотой h и длиной l (рис.1.23,б). Так, согласно закону сохранения энергии (силой трения при движении цилиндров практически можно пренебречь) получим

,

где обозначают скорости сплошного и полого цилиндров у основания наклонной плоскости.

При скатывании цилиндров центр их масс движется равноускоренно без начальной скорости и поэтому согласно формуле (1.13) можно записать:

,

т.е. на скатывание полого цилиндра требуется большее время, чем для сплошного цилиндра.

Качественно это можно объяснить тем, что полый цилиндр является более инертным, чем сплошной (для него момент инерции относительно оси вращения больше), и поэтому он медленнее изменяет свою скорость и поэтому тратит больше времени на скатывание с наклонной плоскости.

Как видно из рис.1.23,а, модули скоростей точек на поверхности цилиндра будут разными (u_В=0, , u_А=2u) в связи с тем, что эти точки участвуют одновременно и в поступательном и в вращательном движениях со скоростями и , причем для каждой точки направлена по касательной к поверхности цилиндра и равна по модулю u( ).

Отметим, что движение цилиндра можно рассматривать и как ряд последовательных вращений вокруг мгновенной оси, проходящей через точку С (рис.1.23,а) с угловой скоростью w. Причем и в этом случае кинетическая энергия тела также определяется формулой (1.67).