Характеристик при вращательном движении

Пользуясь определением векторного произведения двух векторов (см. прил. 1) и рис 1.7,а можно записать

. (1.22)

Выражение (1.22) позволяет получить следующие формулы взаимосвязи линейных и угловых характеристик: 1) для скоростей и

,

, . (1.23)

2) для ускорений и

,

, , (1.24)

, . (1.25)

Направления векторов и показаны на рис 1.7,б (ускоренное вращение м.т. - , ).

Лекция 2

1.2. ДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ М.Т. И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ А.Т.Т.

Решение кинематических уравнений механического движения тела помимо начальных условий требует информации об ускорении тела. Ее можно получить, рассматривая механическое взаимодействие данного тела с другими телами, приводящее к изменению состояния тела, изменению его скорости, т.е. к возникновению ускорения. Вопросы, связанные с такими взаимодействиями, и рассматриваются в динамике.

Сила, инертность тела, масса тела

Для общности рассуждений механическое взаимодействие тела с другими телами описывают понятием силы , которая определяется как векторная физическая величина, характеризующая механическое взаимодействие данного тела с другими телами, приводящее к их деформации или к возникновению ускорения. Введение силы позволяет количественно описать такие взаимодействия и выявить в них наиболее важные особенности. С учетом этого о взаимодействии данного тела с другими телами можно сказать так: на тело действует сила , которая сообщает ему ускорение или деформирует его.

В механике для характеристики различных видов взаимодействия тел вводят следующие силы: тяготения (ее частным случаем является сила тяжести ), упругости , трения , сопротивления , силу нормальной реакции опоры , вес тела , силу натяжения нити и т.д. Все они детально изучаются в школьном курсе физики и здесь не рассматриваются.

Далее, как показывает опыт, все тела изменяют свою скорость не мгновенно, а постепенно при их взаимодействии с другими телами, т.е. они обладают инертностью. Количественной характеристикой инертности тела является его масса m. Она определяется как мера инертности тела при его прямолинейном движении.

В качестве примера рассмотрим столкновение двух тел, массами m₁ и m₂, движущимися со скоростью и ( > ) по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу. Пусть в результате столкновения они останавливаются (рис. 1.8). Из такого столкновения следует, что первое тело является более инертным, чем второе тело, т.е. первое тело обладает большей массой ( ). Действительно, за время взаимодействия первое тело изменяет свою скорость на меньшую величину ( < ) , чем второе тело.

Рис.1.8

Законы Ньютона

В основе классической механики движения м.т. лежат три закона Ньютона, они не доказываются, они являются обобщением опытных фактов.

Первый закон Ньютона отвечает на вопрос: как движется тело в отсутствие его взаимодействия с другими телами? Ответ на этот вопрос не является очевидным, так как практически устранить взаимодействие тел невозможно (например, устранить силу трения). Поэтому до Галилея из опыта делался неправильный вывод: равномерное движение тела возможно только при воздействии на тело других тел. Например, если силу трения не устранить, то тело будет двигаться по горизонтальному столу с постоянной скоростью только при наличии внешней силы. Правильный вывод содержится в первом законе Ньютона, согласно которому тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

Оказывается, что первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Если выбрать С.О., связанную с поездом, движущимся равномерно и прямолинейно, то шарик, лежащий на гладком горизонтальном столе в купе вагона, будет покоиться, т.к. действующие на него силы тяжести и нормальной реакции опоры компенсируют друг друга. Однако, если поезд будет двигаться с ускорением, то без видимых причин шарик начнет двигаться относительно поезда, т.е. приобретет ускорение. Поэтому среди всех С.О. выделяют инерциальные системы отсчета (ИСО) как С.О., в которых выполняется первый закон Ньютона и соответственно второй и третий законы Ньютона.

ИСО в природе не существует, так как тела отсчета либо вращаются (С.О., связанная с Землей), либо движутся прямолинейно с ускорением. Наиболее близкой к ИСО можно считать систему отсчета, связанную с Солнцем. Для многих физических явлений систему отсчета, связанную с Землей, также можно считать ИСО. В теоретическом плане ИСО существует бесконечное множество, все они движутся равномерно и прямолинейно, т.е. без ускорения, или покоятся.

Ньютон для формулировки второго закона ввел понятие импульса тела как векторную физическую величину, характеризующую его прямолинейное движение и равную произведению массы тела на его скорость

. (1.26)

Второй закон Ньютона количественно описывает механическое взаимодействие тел, связывая между собой действующую на тело силу с изменением его импульса. Согласно этому закону первая производная от импульса тела по времени t равна векторной сумме сил, действующих на тело,

. (1.27)

Формула (1.27) позволяет рассматривать движение, при котором масса тела может изменяться (реактивное движение).

Если масса тела не зависит от времени, то тогда выражение (1.27) можно записать, вводя в него ускорение тела

(1.28)

и сформулировать второй закон Ньютона следующим образом: произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело.

Можно отметить, что выражение (1.27) приводит в специальной теории относительности к релятивистски инвариантной формуле второго закона Ньютона, чего нельзя сказать о формуле (1.28). В релятивистской механике формула взаимосвязи между ускорением тела и действующей на него силой существенно усложняется.

Уравнение (1.27) и (1.28) позволяют при задании начальных условий (задания радиус-вектора и импульса тела при t = t₀) и сил, действующих на тело, решить основную задачу механики м.т., т.е. описать ее механическое движение - однозначно определить состояние м.т. (ее радиус-вектор и импульс ) в последующие моменты t. Схема решения задач приведена на рис. 1.9.

Рис.1.9

Третий закон Ньютона важен тем, что он устанавливает дополнительные связи между силами, возникающими при взаимодействии тел, и тем самым облегчает решение уравнений (1.27) и (1.28), т.е. решение задачи о механическом движении тел.

Согласно этому закону силы, действующие между двумя телами, равны по модулю и противоположны по направлению

. (1.29)

На рис 1.10 приведены примеры сил, входящих в третий закон Ньютона. Эти силы приложены к разным телам, они одинаковой природы, это силы действия и противодействия.

Рис.1.10

В заключение этого параграфа отметим, что, хотя задача описания механического движения тел решается на основе уравнений (1.27) и (1.28), ее практическая реализация сопряжена с большими сложностями. Так, в частности, во многих случаях не удается установить все силы, действующие на тело, а для известных сил установить их зависимость от координат и времени. К тому же задача о движении трех и более тел не имеет точного решения.

В связи с этим вводят дополнительные величины, такие как импульс , энергия W и момент импульса тела. Оказывается, что для этих величин выполняются законы сохранения, которые позволяют, не решая уравнения второго закона Ньютона, получить неполную, но важную для практических целей информацию о движении взаимодействующих тел.

К тому же эти законы сохранения являются отражением установленных на опыте фундаментальных свойств пространства и времени как форм существования материи – однородности пространства (все точки пространства эквивалентны, равноправны; из чего следует закон сохранения импульса) и его изотропности (все направления в пространстве эквивалентны, равноправны, из чего вытекает закон сохранения момента импульса) и однородности времени (все моменты времени равноправны, что приводит к закону сохранения механической энергии).

Возможно и другое, принятое в теоретической физике построение классической механики, в котором постулируются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса и на их основе выводятся законы Ньютона. Но это не меняет сути дела, так как и в том, и в другом случае в основе механики лежат законы, являющиеся следствием опытных фактов.

Закон сохранения импульса

Докажем закон сохранения импульса. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N тел (на рис.1.11 для простоты приведена система из трех тел - м.т).

На каждое тело системы действуют внешние силы ( ) со стороны не входящих в эту систему тел (м.т.), и внутренние силы ( ) со стороны других тел системы. Внутренние силы системы связаны между собой третьим законом Ньютона

. (1.30)

Запишем уравнения второго закона Ньютона (1.27) для всех тел системы и затем сложим эти уравнения

, ;

.

Рис.1.11

Векторная сумма всех внутренних сил с учетом (1.30) равна нулю и поэтому

, (1.31)

где введен импульс системы как векторная сумма импульсов тел системы

. (1.32)

Итак, согласно (1.31) векторная сумма импульсов тел системы (или импульс системы) изменяется за счет действия внешних сил.

Если взять замкнутую систему, т.е. систему, на которую не действуют внешние силы ( ), то тогда выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной или импульс замкнутой системы остается постоянным.

const, const . (1.33)

Реально выделить замкнутую систему достаточно трудно. Но и в незамкнутых системах в ряде случаев можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим их. 1. Внешние силы компенсируют друг друга. Такую систему, например, составляют рассмотренные в §1.2.1 два тела, движущиеся по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу (рис.1.8). В этом случае внешние силы – силы тяжести , , нормальная реакция опоры компенсируют друг друга, а возникающие при столкновении тел внутренние силы, силы деформации, не могут изменить импульс системы . Из этого следует, что m₁/m₂= , т.е. из закона сохранения импульса можно количественно оценить соотношение масс этих тел, их инертность. 2. Внешние силы не компенсируют друг друга, но их проекция на какую-либо ось остается равной нулю. Хотя импульс системы изменяется, но его проекция на эту ось сохраняется. Примером такой системы является система, состоящая из двух тел, одно из которых движется по гладкой поверхности со скоростью , а другое падает вертикально вниз со скоростью и испытывает абсолютно неупругое столкновение с первым телом. В результате этого они движутся с одинаковой скоростью , образуя единое целое (рис.1.12).

Рис.1.12

Сумма внешних сил до удара ( ), во время удара и после удара ( ) изменяется, но их проекция на ось Ох остается все время равной нулю и поэтому . Такие системы называются квазизамкнутыми. 3. Внешние силы значительно меньше по модулю внутренних сил, действующих между телами в системе ( ). Это наблюдается при сильных кратковременных взаимодействиях: удар, выстрел, разрыв снаряда и т.д. В этих случаях изменение импульса каждого тела системы, в основном, определяется внутренними силами системы

. (1.34)

1.2.4. Центр масс системы. Центр масс и центр тяжести а.т.т.

Под центром масс системы понимают точку пространства, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором

, , (1.35)

где m – сумма масс тел (материальных точек) системы; - радиус-вектор – го тела (м.т.) системы.

Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массы m, то оно будет двигаться со скоростью , равной

. (1.36)

Если подставить в выражение (1.36) формулу (1.31)

, (1.37)

то тогда можно сказать, что центр масс системы - это точка пространства, к которой приложены все силы, вызывающие по отдельности поступательное движение системы. Поэтому поступательное движение системы можно моделировать движением тела в виде м.т. массы m , помещенного в центре масс системы. Этот прием является удобным при изучении такого движения системы.

Если система является замкнутой или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться. Поэтому в ИСО, связанной с ним, проще описать движение тел системы.

В качестве примера рассмотрим систему двух неподвижных тел массами m₁и m₂ (m₂= 2m₁), скрепленных между собой сжатой в начальный момент времени пружиной. Эти тела могут скользить без трения по гладкой горизонтальной поверхности (рис.1.13)

Рис.1.13

Начало оси , точка О, совпадает с центром масс системы (точкой С), т.е. . Положение тел в начальный момент времени определится векторами и , связанными между собой соотношением

.

Если пружину отпустить, то за счет действия внутренних сил системы (силы упругости) тела приходят в движение, скорости и , радиус-векторы и будут все время изменяться, но положения центра масс остается при этом неизменным, а импульс системы будет равным нулю

.

Соотношения между радиус-векторами ( ) и векторами и сохраняются при движении тел.

Введенное выше понятие центра масс системы включает в себя как частный случай понятия центра масс и для абсолютно твердого тела. Действительно а.т.т. можно разбить на малые объемы dV и представить в виде совокупности м.т., между которыми действуют внутренние силы. Отличием для а.т.т. является тот факт, что расстояния между м.т. этого тела остаются со временем неизменными. Размеры объемов dV (м.т.) нужно выбирать такими, чтобы можно было пренебречь дискретным (атомным) строением вещества, т.е. эти объемы должны содержать достаточное количество одинаковых по свойствам атомов.

Центр масс а.т.т. совпадает с его центром тяжести, но является более общим понятием, справедливым и в отсутствие внешних гравитационных полей. Положение центра масс а.т.т. можно найти экспериментально, определяя положение его центра тяжести (см. параграф 1.3.3).

Лекция 3