Кинематика движения м.т. и а.т.т.

Кинематика как раздел механики посвящена изучению геометрических свойств движения тел. Для этого прежде всего вводят понятие системы отсчета (с.о.), включающей в себя тело отсчета, связанную с ним систему координат и прибор (часы) для измерения времени (рис. 1.2). Тогда положение тела в пространстве можно задать либо с помощью радиус-вектора , проведенного из начала координат в рассматриваемую точку (для точек 1 и 2 на рис.1.2 это вектора и ), либо с помощью координат (x,y,z) – проекций вектора на координатные оси

, | |=| |=| | , (1.1)

где вектора - это вектора, указывающие направления осей Ох, Оу, Оzи равные по модулю единице.

1.1.1. Путь, перемещение, мгновенная скорость движения м.т.

Вектор , соединяющий начальное и конечное положение тела (точки 1 и 2 на рис.1.2), называют перемещением. Он связан с радиус-векторами и следующим равенством:

. (1.2)

Модуль перемещения меньше или равен пути - расстояния, пройденного телом по траектории, они совпадают в случае прямолинейного движения в одну сторону (l=| |).

Для практических целей необходимо определять быстроту движения тела, поэтому вводят мгновенную скорость - скорость тела в данной точке траектории, равную первой производной от радиус-вектора (или перемещения ) по времени t

(1.3)

Вектор в каждой точке траектории направлен по касательной

к ней (рис.1.3,а)

Рис.1.3

Широкое применение находит средняя путевая скорость υ_ср - скалярная физическая величина, равная отношению пути, пройденного телом за время t, к этому времени t

υ_ср= /t.(1.4)

Мгновенное ускорение м.т. Касательное и нормальное

Ускорения м.т.

Быстроту изменения скорости оценивают, вводя понятие мгновенного ускорения - ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скорости по времени t или второй производной от радиус–вектора (или перемещения ) по времени t

(1.5)

Проекцию вектора ускорения на направление касательной к траектории называют касательным (тангенциальным) ускорением , а на направление, перпендикулярное к касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением

; ; (1.6)

; ; (1.7)

где - численное значение скорости; - радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности , вписанной в малый участок траектории вблизи этой точки (рис.1.3,в).

Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее численной величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению.

Приведем вывод формул (1.6) для ускорений и . Для этого возьмем на траектории две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени (рис. 1.4), перенесем параллельно самому себе вектор и отложим

Рис.1.4

на нем отрезок, равный по модулю вектору (рис. 1.4, точка 3). Тогда вектор можно представить в виде суммы двух векторов . При углы α и β стремятся соответственно к 0⁰ и 90⁰, поэтому вектор будет направлен по касательной к траектории и будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор будет перпендикулярен к . Следовательно,

;

, . (1.8)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 при малых будут равны . Из подобия треугольников и следует

, ,

что и было записано в формуле (1.6).

*1.1.3. Схема решения основной задачи кинематики.

Формулы для радиус-вектора и вектора скорости

Основной задачей кинематики является определение состояния м.т. (ее радиус-вектора и скорости ) в произвольный момент времени t. Для этого необходимо, задать, во-первых, начальные условия – радиус-вектор и скорость в начальный момент времени t = t₀ и, во-вторых, зависимость ускорения от времени t. Тогда, используя понятие интеграла (см. приложение 1), для и можно записать следующие выражения

, ;

(1.9)

, ;

. (1.10)

Рассмотрим конкретный вид уравнений (1.9), (1.10) для некоторых частных случаев движений м.т.

1. Равнопеременное движение м.т. – это движение м.т. с постоянным ускорением ( const). При выборе начального момента времени t₀ равным нулю, из выражений (1.9) и (1.10) получим

, . (1.11)

Формула (1.11) позволяет, например, описать движение брошенного под углом к горизонту тела без учета сил сопротивления воздуха ( ), движение по параболической траектории.

Равнопеременное прямолинейное движение ( ) будет наблюдаться в тех случаях, когда векторы ускорения и начальной скорости будут либо параллельны друг к другу, либо направлены в противоположные стороны, либо вектор будет равен нулю: . В этих случаях проекция уравнений (1.11) на ось Oх, направленную вдоль линии движения тела, приводит к следующим выражениям:

, . (1.12)

Для пути и модуля скорости в случаях равноускоренного (знак “+”) и равнозамедленного (знак “-”) прямолинейных движений можно получить

, . ( 1.13)

На рис.1.5 приведены построенные по уравнениям (1.12) графики зависимости от времени t проекций на ось Oх скорости , перемещения и радиус-вектора (координата х) при заданных начальных значениях , и зависимости (считается, что const>0). Этот случай соответствует равноускоренному движению вдоль оси Oх.

Рис.1.5

Как видно из рис. 1.5, площади под графиком и позволяют найти в определенный момент времени t₁ значения ( ) и , а углы наклона α и β касательной к графикам и определяют проекцию ускорения a_x=tgα и скорости υ_x=tgβ в этот момент времени t₁.

2. Равномерное движение м.т. по окружности радиуса R в плоскости хОу (начало координатных осей находится в центре окружности, рис.1.6). Задаем начальные условия при t = 0: ,

Для такого движения тангенциальное ускорение равно нулю, а зависимость нормального ускорения от времени t определяется формулой

, . (1.14)

Действительно, для положения м.т., соответствующей углу α на рис.1.6, можно записать формулу для через проекции на оси х и у

,

причем

,

Длина дуги, ограниченная углом α, равна l=αR=v₀t, где t - время, за которое м.т. поворачивается на угол α. Тогда α = (υ₀t)/R и в итоге получается

формула (1.14).

Подставляя начальные условия и выражения для в формулы (1.9) и (1.10), получим

, . (1.15)

Формулы (1.9) и (1.10) даже в простом случае равномерного вращения м.т. по окружности дают громоздкие выражения (1.15). Существенное упрощение описания вращательного движения м.т. возможно при введении новых характеристик – векторов углового перемещения , угловой скорости и углового ускорения .

1.1.4. Кинематические характеристики вращательного движения м.т. и а.т.т.

Пусть м.т. движется со скоростью по окружности радиуса r вокруг неподвижной оси вращения (рис. 1.7,а). Материальную точку с осью вращения

соединяет перпендикулярный к ней вектор , а вектор его элементарного приращения, вектор , направлен по касательной к окружности.

Введем понятие вектора элементарного углового перемещения :

он равен по модулю углу элементарного поворотаdφ, причемdφ>0; направлен вектор по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно, направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения м.т., тогда поступательное движение буравчика определяет направление вектора (рис.1.7,а).

Быстроту вращения м.т. характеризует угловая скорость , равная первой производной от вектора углового перемещения по времени t

. (1.16)

Направления вектора угловой скорости и вектора элементарного углового перемещения совпадают.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения , равный первой производной от угловой скорости по времени t

. (1.17)

В случае ускоренного вращения направления и совпадают (рис.1.7,б), для замедленного вращения вектора и направлены в противоположные стороны ( ).

Кроме приведенных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту обращения n, определяемую как число оборотов, совершаемых телом за единицу времени, и период обращения Т как время одного полного оборота. Справедливы следующие формулы взаимосвязи ω, n и Т:

. (1.18)

Введенные характеристики вращательного движения м.т. применимы и для абсолютно твердого тела, так как его можно разбить на малые объемы и тем самым представить в виде совокупности м.т.

Если задать начальные условия (t =t₀: ) и зависимость углового ускорения от времени t, то тогда для векторов углового перемещения и угловой скорости можно записать

, (1.19)

Для вращения тела с постоянным угловым ускорением формула (1.19) примет следующий вид (t₀ = 0):

, . (1.20)

Для углового пути φ и модуля угловой скорости ω в случаях равноускоренного (знак “+”) и в случае равнозамедленного (знак “-”) вращения из (1.20) получаем (φ₀=0)

, (1.21)

Можно отметить, что формулы (1.21) переходят в формулы (1.13) при следующей замене φ → l, ω → υ, ε → a=a_τ . Этой аналогией можно пользоваться при записи формул для вращательного движения тел.

1.1.5. Формулы взаимосвязи линейных ( ) и угловых ( )