Механика и специальная теория относительноси

Модуль 1.

МЕХАНИКА И СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСИ

Лекция 1

В данной лекции рассматривается механическое движение материальных тел и происходящие при этом взаимодействия между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел в пространстве. Для строгости и удобства изложения материала применяют две модели твердых тел – материальная точка (м.т.) – тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данного движения, и абсолютно твердое тело (а. т. т) - это абсолютно недеформируемое тело или тело, расстояние между двумя любыми точками которого остается постоянным при его движении.

Линию, по которой движется тело, называют траекторией движения. Для м. т. траекторию движения можно представить в виде сложения двух видов движений – по прямой линии и по окружности или как движение по окружностям разных радиусов Rот нуля до бесконечности (R→ ∞ соответствует прямолинейному движению, рис.1.1а).

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.1

Для а.т.т. вводят два понятия: поступательное движение – это такое движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе (рис.1.1,б), и вращательное движение вокруг неподвижной оси – это такое движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения (она может находиться вне тела, рис.1.1,в).

Любое движение а.т.т. можно свести к сумме двух движений - поступательного и вращательного движений. При поступательном движении а.т.т. все его точки движутся по одинаковым траекториям (рис.1.1,б), поэтому можно заменить такое движение а.т.т. на движение одной м.т. – его центра масс (его определение будет в параграфе 1.2.4). Следовательно, поступательное движение а.т.т. не требует отдельного рассмотрения наряду с изучением движения м.т.

Мгновенное ускорение м.т. Касательное и нормальное

Ускорения м.т.

Быстроту изменения скорости оценивают, вводя понятие мгновенного ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru- ускорения в данной точке траектории, равного первой производной от скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru по времени t или второй производной от радиус–вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru (или перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) по времени t

механика и специальная теория относительноси - student2.ru (1.5)

Проекцию вектора ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru на направление касательной к траектории называют касательным (тангенциальным) ускорением механика и специальная теория относительноси - student2.ru , а на направление, перпендикулярное к касательной, – нормальным (центростремительным) ускорением механика и специальная теория относительноси - student2.ru

механика и специальная теория относительноси - student2.ru ; механика и специальная теория относительноси - student2.ru ; (1.6)

механика и специальная теория относительноси - student2.ru ; механика и специальная теория относительноси - student2.ru ; (1.7)

где механика и специальная теория относительноси - student2.ru - численное значение скорости; механика и специальная теория относительноси - student2.ru - радиус кривизны траектории в данной ее точке, он равен радиусу окружности механика и специальная теория относительноси - student2.ru , вписанной в малый участок траектории вблизи этой точки (рис.1.3,в).

Касательное ускорение характеризует изменение скорости тела по ее численной величине (по модулю скорости), а нормальное ускорение – по направлению.

Приведем вывод формул (1.6) для ускорений механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Для этого возьмем на траектории две близко расположенные точки 1 и 2, разделенные интервалом времени механика и специальная теория относительноси - student2.ru (рис. 1.4), перенесем параллельно самому себе вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru и отложим

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.4

на нем отрезок, равный по модулю вектору механика и специальная теория относительноси - student2.ru (рис. 1.4, точка 3). Тогда вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru можно представить в виде суммы двух векторов механика и специальная теория относительноси - student2.ru . При механика и специальная теория относительноси - student2.ru углы α и β стремятся соответственно к 00 и 900, поэтому вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru будет направлен по касательной к траектории и будет характеризовать изменение числового значения скорости, а вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru будет перпендикулярен к механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Следовательно,

механика и специальная теория относительноси - student2.ru ;

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.8)

Длина дуги и расстояние по прямой между точками 1 и 2 при малых механика и специальная теория относительноси - student2.ru будут равны механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Из подобия треугольников механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru следует

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru ,

что и было записано в формуле (1.6).

*1.1.3. Схема решения основной задачи кинематики.

Формулы для радиус-вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru и вектора скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Основной задачей кинематики является определение состояния м.т. (ее радиус-вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru и скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) в произвольный момент времени t. Для этого необходимо, задать, во-первых, начальные условия – радиус-вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru и скорость механика и специальная теория относительноси - student2.ru в начальный момент времени t = t0 и, во-вторых, зависимость ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru от времени t. Тогда, используя понятие интеграла (см. приложение 1), для механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru можно записать следующие выражения

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru ;

механика и специальная теория относительноси - student2.ru (1.9)

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru ;

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.10)

Рассмотрим конкретный вид уравнений (1.9), (1.10) для некоторых частных случаев движений м.т.

1. Равнопеременное движение м.т. – это движение м.т. с постоянным ускорением ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru const). При выборе начального момента времени t0 равным нулю, из выражений (1.9) и (1.10) получим

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.11)

Формула (1.11) позволяет, например, описать движение брошенного под углом к горизонту тела без учета сил сопротивления воздуха ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ), движение по параболической траектории.

Равнопеременное прямолинейное движение ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) будет наблюдаться в тех случаях, когда векторы ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru и начальной скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru будут либо параллельны друг к другу, либо направлены в противоположные стороны, либо вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru будет равен нулю: механика и специальная теория относительноси - student2.ru . В этих случаях проекция уравнений (1.11) на ось Oх, направленную вдоль линии движения тела, приводит к следующим выражениям:

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.12)

Для пути механика и специальная теория относительноси - student2.ru и модуля скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru в случаях равноускоренного (знак “+”) и равнозамедленного (знак “-”) прямолинейных движений можно получить

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . ( 1.13)

На рис.1.5 приведены построенные по уравнениям (1.12) графики зависимости от времени t проекций на ось Oх скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru , перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru и радиус-вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru (координата х) при заданных начальных значениях механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru и зависимости механика и специальная теория относительноси - student2.ru (считается, что механика и специальная теория относительноси - student2.ru const>0). Этот случай соответствует равноускоренному движению вдоль оси Oх.

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.5

Как видно из рис. 1.5, площади под графиком механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru позволяют найти в определенный момент времени t1 значения ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) и механика и специальная теория относительноси - student2.ru , а углы наклона α и β касательной к графикам механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru определяют проекцию ускорения ax=tgα и скорости υx=tgβ в этот момент времени t1.

механика и специальная теория относительноси - student2.ru 2. Равномерное движение м.т. по окружности радиуса R в плоскости хОу (начало координатных осей находится в центре окружности, рис.1.6). Задаем начальные условия при t = 0: механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Для такого движения тангенциальное ускорение механика и специальная теория относительноси - student2.ru равно нулю, а зависимость нормального ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru от времени t определяется формулой

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.14)

Действительно, для положения м.т., соответствующей углу α на рис.1.6, можно записать формулу для механика и специальная теория относительноси - student2.ru через проекции на оси х и у

механика и специальная теория относительноси - student2.ru ,

причем

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Длина дуги, ограниченная углом α, равна l=αR=v0t, где t - время, за которое м.т. поворачивается на угол α. Тогда α = (υ0t)/R и в итоге получается

формула (1.14).

Подставляя начальные условия и выражения для механика и специальная теория относительноси - student2.ru в формулы (1.9) и (1.10), получим

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.15)

Формулы (1.9) и (1.10) даже в простом случае равномерного вращения м.т. по окружности дают громоздкие выражения (1.15). Существенное упрощение описания вращательного движения м.т. возможно при введении новых характеристик – векторов углового перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru , угловой скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru и углового ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru.

1.1.4. Кинематические характеристики вращательного движения м.т. и а.т.т.

 
  механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Пусть м.т. движется со скоростью механика и специальная теория относительноси - student2.ru по окружности радиуса r вокруг неподвижной оси вращения (рис. 1.7,а). Материальную точку с осью вращения

соединяет перпендикулярный к ней вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru , а вектор его элементарного приращения, вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru , направлен по касательной к окружности.

Введем понятие вектора элементарного углового перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru :

он равен по модулю углу элементарного поворотаdφ, причемdφ>0; направлен вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru по оси вращения и связан с направлением вращения правилом правого буравчика, а именно, направление вращения буравчика должно совпадать с направлением вращения м.т., тогда поступательное движение буравчика определяет направление вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru (рис.1.7,а).

Быстроту вращения м.т. характеризует угловая скорость механика и специальная теория относительноси - student2.ru , равная первой производной от вектора углового перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru по времени t

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.16)

Направления вектора угловой скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru и вектора элементарного углового перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru совпадают.

Быстроту изменения угловой скорости характеризует вектор углового ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru, равный первой производной от угловой скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru по времени t

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.17)

В случае ускоренного вращения направления механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru совпадают (рис.1.7,б), для замедленного вращения вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru направлены в противоположные стороны ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ).

Кроме приведенных выше величин, для описания вращательного движения тела используют частоту обращения n, определяемую как число оборотов, совершаемых телом за единицу времени, и период обращения Т как время одного полного оборота. Справедливы следующие формулы взаимосвязи ω, n и Т:

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.18)

Введенные характеристики вращательного движения м.т. применимы и для абсолютно твердого тела, так как его можно разбить на малые объемы и тем самым представить в виде совокупности м.т.

Если задать начальные условия (t =t0: механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) и зависимость углового ускорения механика и специальная теория относительноси - student2.ru от времени t, то тогда для векторов углового перемещения механика и специальная теория относительноси - student2.ru и угловой скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru можно записать

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru (1.19)

Для вращения тела с постоянным угловым ускорением формула (1.19) примет следующий вид (t0 = 0):

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.20)

Для углового пути φ и модуля угловой скорости ω в случаях равноускоренного (знак “+”) и в случае равнозамедленного (знак “-”) вращения из (1.20) получаем (φ0=0)

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru (1.21)

Можно отметить, что формулы (1.21) переходят в формулы (1.13) при следующей замене φ → l, ω → υ, ε → a=aτ . Этой аналогией можно пользоваться при записи формул для вращательного движения тел.

1.1.5. Формулы взаимосвязи линейных ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) и угловых ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru )

Законы Ньютона

В основе классической механики движения м.т. лежат три закона Ньютона, они не доказываются, они являются обобщением опытных фактов.

Первый закон Ньютона отвечает на вопрос: как движется тело в отсутствие его взаимодействия с другими телами? Ответ на этот вопрос не является очевидным, так как практически устранить взаимодействие тел невозможно (например, устранить силу трения). Поэтому до Галилея из опыта делался неправильный вывод: равномерное движение тела возможно только при воздействии на тело других тел. Например, если силу трения не устранить, то тело будет двигаться по горизонтальному столу с постоянной скоростью только при наличии внешней силы. Правильный вывод содержится в первом законе Ньютона, согласно которому тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, если на него не действуют другие тела или их действие скомпенсировано.

Оказывается, что первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета. Если выбрать С.О., связанную с поездом, движущимся равномерно и прямолинейно, то шарик, лежащий на гладком горизонтальном столе в купе вагона, будет покоиться, т.к. действующие на него силы тяжести и нормальной реакции опоры компенсируют друг друга. Однако, если поезд будет двигаться с ускорением, то без видимых причин шарик начнет двигаться относительно поезда, т.е. приобретет ускорение. Поэтому среди всех С.О. выделяют инерциальные системы отсчета (ИСО) как С.О., в которых выполняется первый закон Ньютона и соответственно второй и третий законы Ньютона.

ИСО в природе не существует, так как тела отсчета либо вращаются (С.О., связанная с Землей), либо движутся прямолинейно с ускорением. Наиболее близкой к ИСО можно считать систему отсчета, связанную с Солнцем. Для многих физических явлений систему отсчета, связанную с Землей, также можно считать ИСО. В теоретическом плане ИСО существует бесконечное множество, все они движутся равномерно и прямолинейно, т.е. без ускорения, или покоятся.

Ньютон для формулировки второго закона ввел понятие импульса механика и специальная теория относительноси - student2.ru тела как векторную физическую величину, характеризующую его прямолинейное движение и равную произведению массы тела на его скорость

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.26)

Второй закон Ньютона количественно описывает механическое взаимодействие тел, связывая между собой действующую на тело силу с изменением его импульса. Согласно этому закону первая производная от импульса механика и специальная теория относительноси - student2.ru тела по времени t равна векторной сумме сил, действующих на тело,

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.27)

Формула (1.27) позволяет рассматривать движение, при котором масса тела может изменяться (реактивное движение).

Если масса тела не зависит от времени, то тогда выражение (1.27) можно записать, вводя в него ускорение тела

механика и специальная теория относительноси - student2.ru (1.28)

и сформулировать второй закон Ньютона следующим образом: произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме сил, действующих на тело.

Можно отметить, что выражение (1.27) приводит в специальной теории относительности к релятивистски инвариантной формуле второго закона Ньютона, чего нельзя сказать о формуле (1.28). В релятивистской механике формула взаимосвязи между ускорением тела и действующей на него силой существенно усложняется.

Уравнение (1.27) и (1.28) позволяют при задании начальных условий (задания радиус-вектора механика и специальная теория относительноси - student2.ru и импульса механика и специальная теория относительноси - student2.ru тела при t = t0) и сил, действующих на тело, решить основную задачу механики м.т., т.е. описать ее механическое движение - однозначно определить состояние м.т. (ее радиус-вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru и импульс механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) в последующие моменты t. Схема решения задач приведена на рис. 1.9.

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.9

Третий закон Ньютона важен тем, что он устанавливает дополнительные связи между силами, возникающими при взаимодействии тел, и тем самым облегчает решение уравнений (1.27) и (1.28), т.е. решение задачи о механическом движении тел.

Согласно этому закону силы, действующие между двумя телами, равны по модулю и противоположны по направлению

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.29)

На рис 1.10 приведены примеры сил, входящих в третий закон Ньютона. Эти силы приложены к разным телам, они одинаковой природы, это силы действия и противодействия.

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.10

В заключение этого параграфа отметим, что, хотя задача описания механического движения тел решается на основе уравнений (1.27) и (1.28), ее практическая реализация сопряжена с большими сложностями. Так, в частности, во многих случаях не удается установить все силы, действующие на тело, а для известных сил установить их зависимость от координат и времени. К тому же задача о движении трех и более тел не имеет точного решения.

В связи с этим вводят дополнительные величины, такие как импульс механика и специальная теория относительноси - student2.ru , энергия W и момент импульса механика и специальная теория относительноси - student2.ru тела. Оказывается, что для этих величин выполняются законы сохранения, которые позволяют, не решая уравнения второго закона Ньютона, получить неполную, но важную для практических целей информацию о движении взаимодействующих тел.

К тому же эти законы сохранения являются отражением установленных на опыте фундаментальных свойств пространства и времени как форм существования материи – однородности пространства (все точки пространства эквивалентны, равноправны; из чего следует закон сохранения импульса) и его изотропности (все направления в пространстве эквивалентны, равноправны, из чего вытекает закон сохранения момента импульса) и однородности времени (все моменты времени равноправны, что приводит к закону сохранения механической энергии).

Возможно и другое, принятое в теоретической физике построение классической механики, в котором постулируются законы сохранения импульса, энергии и момента импульса и на их основе выводятся законы Ньютона. Но это не меняет сути дела, так как и в том, и в другом случае в основе механики лежат законы, являющиеся следствием опытных фактов.

Закон сохранения импульса

Докажем закон сохранения импульса. Для этого рассмотрим систему, состоящую из N тел (на рис.1.11 для простоты приведена система из трех тел - м.т).

На каждое тело системы действуют внешние силы механика и специальная теория относительноси - student2.ru ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) со стороны не входящих в эту систему тел (м.т.), и внутренние силы механика и специальная теория относительноси - student2.ru ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) со стороны других тел системы. Внутренние силы системы связаны между собой третьим законом Ньютона

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.30)

Запишем уравнения второго закона Ньютона (1.27) для всех тел системы и затем сложим эти уравнения

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru ;

механика и специальная теория относительноси - student2.ru .

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.11

Векторная сумма всех внутренних сил с учетом (1.30) равна нулю и поэтому

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , (1.31)

где введен импульс механика и специальная теория относительноси - student2.ru системы как векторная сумма импульсов тел системы

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.32)

Итак, согласно (1.31) векторная сумма импульсов тел системы (или импульс системы) изменяется за счет действия внешних сил.

Если взять замкнутую систему, т.е. систему, на которую не действуют внешние силы ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ), то тогда выполняется закон сохранения импульса, согласно которому векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остается постоянной или импульс механика и специальная теория относительноси - student2.ru замкнутой системы остается постоянным.

механика и специальная теория относительноси - student2.ru const, механика и специальная теория относительноси - student2.ru const . (1.33)

Реально выделить замкнутую систему достаточно трудно. Но и в незамкнутых системах в ряде случаев можно использовать закон сохранения импульса. Перечислим их. 1. Внешние силы компенсируют друг друга. Такую систему, например, составляют рассмотренные в §1.2.1 два тела, движущиеся по гладкой горизонтальной поверхности (отсутствуют силы трения) навстречу друг другу (рис.1.8). В этом случае внешние силы – силы тяжести механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru , нормальная реакция опоры механика и специальная теория относительноси - student2.ru компенсируют друг друга, а возникающие при столкновении тел внутренние силы, силы деформации, не могут изменить импульс системы механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Из этого следует, что m1/m2= механика и специальная теория относительноси - student2.ru , т.е. из закона сохранения импульса можно количественно оценить соотношение масс этих тел, их инертность. 2. Внешние силы не компенсируют друг друга, но их проекция на какую-либо ось остается равной нулю. Хотя импульс системы изменяется, но его проекция на эту ось сохраняется. Примером такой системы является система, состоящая из двух тел, одно из которых движется по гладкой поверхности со скоростью механика и специальная теория относительноси - student2.ru , а другое падает вертикально вниз со скоростью механика и специальная теория относительноси - student2.ru и испытывает абсолютно неупругое столкновение с первым телом. В результате этого они движутся с одинаковой скоростью механика и специальная теория относительноси - student2.ru , образуя единое целое (рис.1.12).

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.12

Сумма внешних сил до удара ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ), во время удара и после удара ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) изменяется, но их проекция на ось Ох остается все время равной нулю и поэтому механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Такие системы называются квазизамкнутыми. 3. Внешние силы значительно меньше по модулю внутренних сил, действующих между телами в системе ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ). Это наблюдается при сильных кратковременных взаимодействиях: удар, выстрел, разрыв снаряда и т.д. В этих случаях изменение импульса каждого тела системы, в основном, определяется внутренними силами системы

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.34)

1.2.4. Центр масс системы. Центр масс и центр тяжести а.т.т.

Под центром масс системы понимают точку пространства, положение которой относительно какой-либо ИСО определяется радиус-вектором механика и специальная теория относительноси - student2.ru

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , механика и специальная теория относительноси - student2.ru , (1.35)

где m – сумма масс тел (материальных точек) системы; механика и специальная теория относительноси - student2.ru - радиус-вектор механика и специальная теория относительноси - student2.ru – го тела (м.т.) системы.

Если поместить в центр масс тело в виде материальной точки массы m, то оно будет двигаться со скоростью механика и специальная теория относительноси - student2.ru , равной

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.36)

Если подставить в выражение (1.36) формулу (1.31)

механика и специальная теория относительноси - student2.ru , (1.37)

то тогда можно сказать, что центр масс системы - это точка пространства, к которой приложены все силы, вызывающие по отдельности поступательное движение системы. Поэтому поступательное движение системы можно моделировать движением тела в виде м.т. массы m , помещенного в центре масс системы. Этот прием является удобным при изучении такого движения системы.

Если система является замкнутой или внешние силы, действующие на нее, компенсируют друг друга, то ее центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно или покоиться. Поэтому в ИСО, связанной с ним, проще описать движение тел системы.

В качестве примера рассмотрим систему двух неподвижных тел массами m1и m2 (m2= 2m1), скрепленных между собой сжатой в начальный момент времени пружиной. Эти тела могут скользить без трения по гладкой горизонтальной поверхности (рис.1.13)

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

Рис.1.13

Начало оси механика и специальная теория относительноси - student2.ru , точка О, совпадает с центром масс системы (точкой С), т.е. механика и специальная теория относительноси - student2.ru . Положение тел в начальный момент времени определится векторами механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru , связанными между собой соотношением

механика и специальная теория относительноси - student2.ru .

Если пружину отпустить, то за счет действия внутренних сил системы (силы упругости) тела приходят в движение, скорости механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru , радиус-векторы механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru будут все время изменяться, но положения центра масс остается при этом неизменным, а импульс системы будет равным нулю

механика и специальная теория относительноси - student2.ru .

Соотношения между радиус-векторами механика и специальная теория относительноси - student2.ru ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) и векторами механика и специальная теория относительноси - student2.ru и механика и специальная теория относительноси - student2.ru сохраняются при движении тел.

Введенное выше понятие центра масс системы включает в себя как частный случай понятия центра масс и для абсолютно твердого тела. Действительно а.т.т. можно разбить на малые объемы dV и представить в виде совокупности м.т., между которыми действуют внутренние силы. Отличием для а.т.т. является тот факт, что расстояния между м.т. этого тела остаются со временем неизменными. Размеры объемов dV (м.т.) нужно выбирать такими, чтобы можно было пренебречь дискретным (атомным) строением вещества, т.е. эти объемы должны содержать достаточное количество одинаковых по свойствам атомов.

Центр масс а.т.т. совпадает с его центром тяжести, но является более общим понятием, справедливым и в отсутствие внешних гравитационных полей. Положение центра масс а.т.т. можно найти экспериментально, определяя положение его центра тяжести (см. параграф 1.3.3).

Лекция 3

Лекция 4

Лекция 5

Лекция 6

Лекция 7

Кинематика С.Т.О.

Понятие «длина» предмета

Пусть в С.О. К' вдоль оси О'х' располагается неподвижный стержень, длина которого может быть найдена как разность координат его концов механика и специальная теория относительноси - student2.ru

(рис.1.29). Необходимо определить длину этого стержня в С.О. К, относительно которой он движется со скоростью u ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ).

Для определения длины l стержня используем преобразования Лоренца и укажем метод определения длины l движущегося стержня: необходимо в С.О. К одновременно зафиксировать координаты концов стержня механика и специальная теория относительноси - student2.ru , в результате чего можно получить

механика и специальная теория относительноси - student2.ru

механика и специальная теория относительноси - student2.ru . (1.92)

В формуле (1.92) через l0 обозначена собственная длина стержня, это длина стержня в той ИСО, относительно которой он неподвижен (в рассматриваемом случаеl0=l'). Собственная длина предмета является инвариантом С.Т.О.

· Из формулы (1.92) следует, что: 1) при движении предметов происходит сокращение продольных, направленных вдоль скорости, размеров предметов; поперечные, перпендикулярные к скорости движения, размеры тел не изменяются; 2) собственная длина предмета l0 является наибольшей из всех возможных длин предмета.

· Итак, понятие «длина» предмета является относительным, т.е. зависит от выбора ИСО. В классической механике u<<c и поэтому понятие «длины предмета» является абсолютным, одинаковым во всех ИСО.

·

· 1.5.4.3. Понятие«промежутоквремени»междудвумя событиями

·

· Пусть в С.О. K' в одной точке пространства ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ) происходят два события или протекает какой-либо процесс. Промежуток времени механика и специальная теория относительноси - student2.ru в С.О. K ' можно измерить одними часами, находящимися в этой точке пространства. Возникает вопрос, чему равняется этот промежуток времени в С.О. К (Δt=t2-t1), относительно которой эти события происходят в разных точках оси Ох ( механика и специальная теория относительноси - student2.ru ).

· Вполне понятно, что промежуток времени ∆t нужно измерять двумя часами, расположенными в разных точках оси Ох - в одной точке (х=х1) находятся часы, измеряющие время одного события (t=t1) или начало процесса, а во второй (х=х2) находятся часы, измеряющие время другого события (t=t1) или окончание процесса.

Для определения ∆t используем преобразования Лоренца

· механика и специальная теория относительноси - student2.ru ,

· механика и специальная теория относительноси - student2.ru , (1.93)

где ∆t0 – собственный промежуток времени, он измеряется одними часами в той ИСО, относительно которой события происходят в одной точке пространства, это инвариант С.Т.О.

Из формулы (1.93) следует, что 1) ∆t>∆t0, т.е. в движущейся ИСО происходит замедление хода времени, движущиеся часы идут медленнее покоящихся; 2) ∆t0£∆t, т.е. собственный промежуток времени между двумя событиями является наименьшим из всех возможных промежутков времени для этих событий.

Замедление хода времени в движущейся системе отсчета подтверждается экспериментами с участием нестабильных элементарных частиц, рождающихся в ядерных реакциях со скоростями, близкими к скорости света в вакууме (например, u= 0,99с). В этом случае время их жизни до распада существенно различается в С.О. К ', связанной с ними (собственное время ∆t0, равное, например, ∆t0=25 нс), и в С.О. К, связанной с Землей (время жизни механика и специальная теория относительноси - student2.ru 0). Это приводит к тому, что с учетом замедления времени частица пролетает в С.О. К до распада значительно большее расстояние (l=u ∆t=52 м.), чем без учета этого эффекта (l'=u∆t0=7,4 м).

Такие частицы регистрируют на расстояниях l от места их рождения, значительно превышающих l’. Отметим, что в С.О. К ', связанной с частицей, расстояние l' проходит Земля мимо неподвижной частицы за время ее жизни ∆t0.

В силу равноправия всех ИСО замедления времени в С.Т.О. носит относительный характер. Наблюдатель, находящийся на Земле, отметит, что движения космонавта в ракете, движущейся со скоростью u, близкой к скорости света, будут замедленными по сравнению с его движениями. То же самое скажет космонавт, наблюдая за человеком на Земле. И они оба будут правы, так как космонавт может считать систему отсчета, связанную с ним, неподвижной, а систему отсчета, связанную с Землей, движущейся со скоростью u в обратном направлении.

Лекция 8

Динамика С.Т.О.

Лекция 9

* 1.6. Описание движения тел в неинерциальных

Системах отсчета (НИСО)

Пусть относительно ИСО под действием сил механика и специальная теория относительноси - student2.ru , тело движется с ускорением механика и специальная теория относительноси - student2.ru

<

Наши рекомендации