Введение в квантовое исправление ошибок

Повышение надежности передачи и хранения информации достигается посредством избыточности. Например, в трехбитовом коде каждый логический бит информации задаётся тремя физическими битами

В рассматриваемом случае реализуется мажоритарная система исправления ошибок (принятие решения на основе большинства голосов). В случае трехбитового кодирования сообщение (логический бит) передаётся правильно, если число ошибок в физических битах равно нулю или единице. Соответственно, сообщение может быть передано неверно, если ошибок две или три.

Рассмотрим в качестве простого введения двоичный симметричный канал. Пусть - вероятность ошибки в одном физическом бите: вероятность превращения нуля в единицу ( ), либо наоборот, единицы в нуль ( ). Будем считать обе эти вероятности одинаковыми (отсюда название- симметричный канал). Вероятность безошибочной передачи информации ( , либо ), соответственно, равна .

Задача 5.18 Покажите, что классический трёхбитовый код характеризуется следующей вероятностью ошибки передачи одного логического бита информации

Покажите далее, что избыточность увеличивает надежность передачи информации (т.е. , если ).

Перейдем теперь к рассмотрению квантового бита (кубита). Рассмотрим вначале так называемый канал с классической ошибкой (название «классическая ошибка» довольно условно).

Такая ошибка описывается действием оператора (NOT), когда состояние 0 меняется на 1, а состояние 1 меняется на 0:

, т.е.

Таким образом, действие ошибки описывается следующим преобразованием состояния кубита

Трёхбитовый код в квантовом исполнении (резервирование одного логического кукубита тремя физическими кубитами) выглядит следующим образом:

, т.е.

Реализация рассматриваемого способа кодирования посредством квантовой схемы представлена на рисунке.

Рис. 5.11 Квантовая схема кодирования для защиты от классической ошибки

Квантовая схема обеспечивает следующую последовательность преобразований

Рассмотрим каким образом добавление вспомогательной системы из двух кубитов в исходном состоянии ноль позволяет детектировать возможное наличие ошибки.

Дополним схему кодирования схемой декодирования и измерения вспомогательной системы.

Рис. 5.12 Квантовая схема кодирования, дополненная схемой декодирования и измерения.

Специфика квантового исправления ошибок состоит в том, что мы не можем подвергать измерениям кубиты, несущие информацию (в противном случае эта информация будет утеряна в результате редукции состояния). Вместо измерения информационной системы производится измерение вспомогательной системы. Измерение вспомогательной системы позволяет идентифицировать возможную ошибку и исправить её.

Оказывается, что измерение двух вспомогательных (второго и третьего) кубитов допускает 4 следующие возможности: 11 (когда произошла ошибка в первом кубите), 00 (когда ошибок нет), 10 (ошибка во втором кубите), 01 (ошибка в третьем кубите).

Предположим, например, что возникла ошибка в первом (информационном) кубите, т.е.

Тогда, декодирование (правая часть рисунка) приведёт к следующей последовательности преобразований:

Измерение второго и третьего кубитов дадут результат 11. Это будет означать, что в первом (информационном) кубите произошла ошибка. Для исправления этой ошибки нужно выполнить преобразование над информационным кубитом.

Рассмотрим три остальных случая. Если ошибок нет, то последовательность преобразований будет следующей:

Убеждаемся, что в результате преобразований информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась в состоянии 00.

Если возникла ошибка во втором кубите, то имеем цепочку преобразований:

Снова информационный кубит не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 10.

Если возникла ошибка в третьем кубите, то аналогично получим:

Информационный кубит опять не изменился, а вспомогательная система оказалась теперь в состоянии 01.

Таким образом, рассматриваемые четыре возможности идентифицируют 4 ситуации (отсутствие ошибок, либо ошибка в одном из трёх кубитов).

Рассмотрим теперь случай двух ошибок. Пусть, например, ошибки возникли в 1-ом и 2-ом кубитах. Тогда

Если мы будем действовать по схеме, указанной выше, то мы ошибочно сделаем вывод о наличии ошибки в третьем кубите и, таким образом, не сможем идентифицировать ошибку в информационном кубите.

Мы видим, что рассмотренный трёхкубитовый код исправляет гарантированно не более одной ошибки.

Рассмотрим теперь так называемую фазовую ошибку. Эта ошибка сводится к несанкционированному действию оператора сдвига фазы . Таким образом, действие фазовой ошибки описывается следующим преобразованием состояния кубита (меняется знак у базисного состояния )

Покажем, что рассмотрение фазовой ошибки можно свести к рассмотрению классической ошибки:

Выполнив преобразование Адамара, перейдем к новому базису:

Мы видим, что в новом базизе действие фазовой ошибки сводится к тому, что состояния и переходят друг в друга ( , ). Таким образом, в новом базисе фазовая ошибка сводится к классической ошибке.

Схема кодирования фазовой ошибки изображена на рисунке. Она представляет собой схему кодирования классической ошибки, дополненную преобразованием Адамара для каждого кубита

Рис. 5.13 Квантовая схема кодирования для защиты от фазовой ошибки

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Нильсен М, Чанг И. Квантовые вычисления и квантовая информация: Пер. с англ. Под ред. М.Н. Вялого и П.М. Островского с предисловием К.А. Валиева. - М.: Мир. 2006. 824 с.

2. Валиев К.А., Кокин А.А. Квантовые компьютеры: Надежды и реальность. 2-е изд., исп. М.–Ижевск: НИЦ РХД, 2002. 320 с.

3. Физика квантовой информации. Квантовая криптография. Квантовая телепортация. Квантовые вычисления // Под. ред. Д.Боумейстера, А.Экерта, А. Цайлингера; Пер. с англ. под ред. С.П.Кулика и Т.А.Шмаонова. М. Постмаркет. 2002. 376с.

4. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Том.1. М.-Ижевск. РХД. 2008. 464с.

5. Валиев К.А. Квантовые компьютеры и квантовые вычисления // Успехи Физических Наук. 2005. Т.175. №1. С.3-39.

6. Ожигов Ю.И. Квантовые вычисления. М. МГУ. 2003.

7. Feynman R. Simulating Physics with Computers // Int. J. Theor. Phys. 1982. V.21. №6/7. P.467-488. См. перевод Фейнман Р. Моделирование физики на компьютерах // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.96-124.

8. Feynman R. Quantum Mechanical Computers // Found. of Phys. 1986. V.16. №6. P.507-531. См. перевод Фейнман Р. Квантовомеханические компьютеры // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.125-156.

9. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М. Советское Радио. 1980. 128с.

10. Китаев А., Шень А., Вялый М. Классические и квантовые вычисления М. МЦНМО. ЧеРо. 1999. 192 с.

11. Grover L.K. Quantum Mechanics Help in Searching for a Needle in a Haystack // Phys. Rev. Lett. 1997. V.78. №2. P.325-328. См. перевод Гровер Л.К. Квантовая механика помогает найти иголку в стоге сена // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.1. Ижевск. РХД. 1999. с.101-109.

12. Shor P. Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer. LANL Report quant-ph/ 9508027.1995. 28p.

13. Deutsch D. Quantum Theory, the Church- Turing Principle and the Universal Quantum Computer // Proc. Roy. Soc. London. 1985. V.A400. №1818. P.97-117. См. перевод Дойч Д. Квантовая теория принципа Черча- Тьюринга и универсальный квантовый компьютер // сб. «Квантовый компьютер и квантовые вычисления». Т.2. Ижевск. РХД. 1999. с.157-189.

14. Barenco A., Bennett C.H., Cleve C., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P., Sleater T., Smolin J.A., Weinfurter H. Elementary Gates for Quantum Computation // Phys. Rev. A. 1995. V.52. №5. P.3457-3467.

15. Preskill J. Fault-tolerant quantum computation. LANL Report quant-ph/ 9712048.1997. 58p.

16. Kim Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Quantum teleportation of a polarization state with a complete Bell state measurement // Phys. Rev. Lett. 2001. V.86. P.1370-1373

17. Bartlett S.D., Munro W.J. Quantum Teleportation of Optical Quantum Gates // Phys. Rev. Lett. 2003. V.90. 117901.

18. Mattle K., Weinfurter H., Kwiat P.G., and Zeilinger A. Dense Coding in Experimental Quantum Communication // Phys. Rev. Lett. 1996. V76. P.4656-4659.

19. Kim Y.H., Kulik S.P., Shih Y.H. Bell state preparation using pulsed nondegenerate two-photon entanglement // Phys. Rev.A. 2001. V.63. 060301. 4p.

20. Kim Y.H., Chekhova M.V., Kulik S.P., Rubin M., Shih Y.H. Interferometric Bell state preparation using femtosecond pulse pumped spontaneous parametric down-conversion. 2001. // Phys. Rev. A. V.63. 062301. 11p.

21. Cavity Quantum Electrodynamics. Advances in atomic, molecular and optical physics // Berman P. (editor). Academic Press. San Diego. 1994. 497 p.

22. Münstermann P., Fischer T., Maunz P., Pinkse P.W.H., and Rempe G. Observation of cavity-mediated long-range light forces between strongly coupled atoms // Phys. Rev. Lett. 2000. V.84.P.4068-4071.

23. Beige A. Ion-trap quantum computing in the presence of cooling // Phys. Rev. A. 2004. V.69. 012303. 11p.

24. Pachos J., Walther H. Quantum computation with trapped ions in an optical cavity // Phys. Rev. Lett. 2002. V.89. 187903. 4p.

25. Childs A., Chuang I.L. Universal quantum computation with two-level trapped ions // Phys. Rev. A. 2001. V.63. 012306. 4p.

26. Gershenfeld N.A., Chuang I.L. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. V. 275. №1. P.350-356.

27. Vandersypen L.M.K., Steffen M., Breyta G., Yannoni C.S., Sherwood M.H., Chuang I.L. Experimental realization of Shor's quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance // Nature. Dec. 2001. V.414. P. 883-887.

28. Кокин А.А. Твердотельные квантовые компьютеры на ядерных спинах. Институт компьютерных исследований. Москва- Ижевск. 2004. 204 с.

29. Bohr N. Discussion with Einstein on epistemological problems in atomic physics // in Schilp P.A. (editor), Albert Einstein, Philosopher-Scientist (Library of Living Philosophers, Evanston, Illinois, 1949), P.200-241. Перевод на русский язык: Бор Н. Дискуссия с Эйнштейном по проблемам теории познания в атомной физике. Избранные научные труды в 2-х томах. Т.2. С. 399-433. М. Наука. 1971.

30. Богданов Ю.И. Многопараметрические статистические модели в задачах квантовой информатики // Труды ФТИАН. М. Наука. 2005. Т.18. с.91-118

31. Крамер Г. Математические методы статистики. М.: Мир, 1975. 648 с.

32. Lukacs E. Characteristic Functions. London. Charles Griffin & Company Limited. 1960.216 p.

33. Прохоров Л.В. Квантовая механика- проблемы и парадоксы. СПб. НИИХ СПбГУ. 2003. 120 с.

34. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. М. Наука. 1979. 320с.

35. Robertson H.P. An Indeterminacy Relation for Several Observables and Its Classical Interpretation // Phys.Rev. 1934. V.46. P.794-801

36. Холево А.С. Статистическая структура квантовой теории. М.-Ижевск: Ин-т комп. исслед., 2003. 192 с.

37. Богданов А.Ю., Богданов Ю.И., Валиев К.А. Информация Шмидта и запутанность квантовых систем //Вестн. Моск. ун-та. Сер.15. Вычислительная математика и кибернетика. 2007.№1; LANL report quant-ph/0512062

38. Кендалл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М. Наука. 1973. 900 с.

39. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия. // Под ред. Ю.В. Прохорова. М:. Большая Российская энциклопедия, 1999. 911 с.

40. Крянев А.В., Лукин Г.В. Математические методы обработки неопределенных данных. М. Физматлит. 2003. 216 с.

41. Богданов Ю.И. Основная задача статистического анализа данных: Корневой подход. М.: МИЭТ, 2002. 96с. Пер. на англ.: Bogdanov Yu. I. Fundamental problem of statistical data analysis: Root approach. M.: MIEE, 2002. 84 p.; Bogdanov Yu. I. Statistical inverse problem // LANL E-print, 2002, arXiv: phys/0211109. 39p.

42. Bogdanov Yu.I. Quantum mechanical view of mathematical statistics // Proceedings of SPIE. 2006. V.6264. 62640E; LANL E-print, 2003, arXiv: quant-ph/0303013. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research. Nova Science. 2006. pp. 1-36.

43. Ю.И. Богданов, Унифицированный метод статистического восстановления квантовых состояний, основанный на процедуре очищения // ЖЭТФ. 2009. Т.135. Вып.6.с.1068-1078.

44. Богданов Ю.И., Кривицкий Л.А., Кулик С.П. Статистическое восстановление квантовых состояний оптических трехуровневых систем // Письма в ЖЭТФ. 2003. Т. 78, вып. 6. С. 804-809.

45. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Statistical reconstruction of qutrits // Phys. Rev. A. 2004. Vol. 70. 042303. 16 p.

46. Bogdanov Yu.I., Chekhova M.V., Kulik S.P. et al. Qutrit state engineering with biphotons // Phys. Rev. Lett. 2004. Vol. 93. 230503. 4p.

47. Bogdanov Yu.I., Brida G, Genovese M., Kulik S.P., Moreva E.V., Shurupov A.P. Statistical Estimation of the Efficiency of Quantum State Tomography Protocols // Phys. Rev. Lett. 2010. V.105. 010404. 4p.

48. Дирак П.А.М. Принципы квантовой механики // Собрание научных трудов. Т.1: Квантовая теория. М.: Физматлит, 2002. С. 7-320.

49. Von Neumann J. Mathematische Grudlagen der Quantenmechanik. Berlin. Springer. 1932. См. перевод Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики. М. Наука. 1964. 368с.

50. Dirac P.A.M. Relativity and Quantum Mechanics // Fields and Quanta. 1972. V3. P.139-164. (см. перевод Дирак П.А.М. Теория относительности и квантовая механика // Собрание научных трудов. Том III. М. Физматлит. 2004. с. 141-152.)

51. Bogdanov Yu.I. Root estimator of quantum states // LANL E-print, 2003, arXiv: quant-ph/0303014. 26 p; New Topics in Quantum Physics Research. Nova Science. 2006. pp. 129-162.

52. Богданов Ю. И. Основные понятия классической и квантовой статистики: Корневой подход // Оптика и спектроскопия. 2004. Т.96, №5. С.735-746.

53. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. V.47. P.777-780. Перевод на русский язык: Эйнштейн А., Подольский Б., Розен Н. Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным? А. Эйнштейн Собрание научных трудов в 4-х томах. Т.3. С. 604-611. М. Наука. 1966.

54. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М. Эдиториал УРСС. 2005. 448 с.

55. Коэн-Таннуджи К., Диу Б., Лалоэ Ф. Квантовая механика // Пер. с фр. Л.Н. Новикова. В 2-х т. Екатеринбург. Изд-во Урал. Ун-та. 2000.

56. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория М. Наука. 1974. 752 с.

57. Ehrenfest P. Bemerkung über die angenaherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quanten Mechanik // Z. Phys. 1927. 45. S. 455-457. См. перевод: Эренфест П. Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики // в сб. Эренфест П. Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей. М. Наука. 1972. с.82- 84.

58. Гильберт Д. Математические проблемы // Избранные труды. Т2. М. Факториал. 1998. с.401- 436.

59. Zee H.D. Roots and Fruits of Decoherence // Seminaire Poincare. 2005. p.115-129.; Zurek W.H. Decoherence and the Transition from Quantum to Classical- Revisited// Ibid. p.1-23.

60. Больцман Л. Дальнейшие исследования теплового равновесия между молекулами газа // Избранные труды. М. Наука. 1984. с.125-189.

61. Гильберт Д. Основы общей теории линейных интегральных уравнений. Глава XXII Обоснование кинетической теории газов // Избранные труды. Т2. М. Факториал. 1998. с.350- 364.

62. Гейзенберг В. О квантовотеоретической интерпретации кинематических и механических соотношений. Избранные труды. М. УРСС. 2001. с. 86-98.

63. Борн М., Иордан П. К квантовой механике. Там же. С. 99-126.

64. Гейзенберг В., Борн М., Иордан П. К квантовой механике. II. Там же. С. 127-175.

65. Hilbert D., Neumann J., Nordheim L. Űber die Grundlagen der Quantenmechanik. 1928. Math. Ann. Bd. 98. s. 1-30.

66. Bell J.S. Speakable and unspeakable in quantum mechanics. Collected papers on quantum phylosophy. Cambridge University Press. 1993.

67. Холево А.С. Введение в квантовую теорию информации. М. МЦНМО. 2002. 128с.

68. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории. Издание 2-е, дополненное. Москва- Ижевск. Институт компьютерных исследований. 2003. 410 с.

69. Гнеденко Б.В. К шестой проблеме Гильберта // Проблемы Гильберта (сб. статей под ред. Александрова П.С.) М. УРСС. 2000. с.117- 119.

70. Блейхут Р. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М. Мир, 1989. 448 с.

71. Килин С.Я. Квантовая информация // Успехи Физических Наук. 1999. Т.169. №5. С.507-527.

Содержание	стр.
Введение
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных статистических величин.
1.1. Статистическая интерпретация прямого и обратного преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов. Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и импульсном представлении. Фундаментальные коммутационные соотношения
1.П. Приложение Дельта- функция и ее свойства.
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова пространства
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его статистическая интерпретация
2.2. Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным величинам
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и импульса
2. 4. Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
2.6. Информация Фишера
2.7. Неравенство Рао- Крамера
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
Глава3. Принципы квантовой информатики и шестая проблема Гильберта
3.1 Постулаты квантовой информатики
3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
3.3. Шестая проблема Гильберта
3.4. Обсуждение
3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и их свойства
4.1 Квантовые биты
4.2. Реализация произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота
4.3. Система кубитов
4.4. Измерение кубитов
4.5. Простейшие квантовые логические элементы
4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)
4.7. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния
4.8. Состояния Белла
4.9. Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена
4.10. Неравенство Белла 4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс
Глава 5. Некоторые алгоритмы квантовой информатики
5.1 Сверхплотное кодирование.
5.2. Телепортация
5.3. Квантовый параллелизм. Алгоритмы Дойча и Дойча- Джозсы
5.4. Квантовое преобразование Фурье
5.5. Нахождение периода функции
5.6. Факторизация чисел
5.7. Квантовая криптография 5.8. Алгоритм Гровера 5.9. Введение в квантовое исправление ошибок
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ