Состояния Белла относят к классу так называемых ЭПР состояний. Такой термин возник в связи с парадоксом (эффектом) Эйнштейна - Подольского – Розена, который рассматривается ниже.

Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена

Предположим, что источник генерирует пару частиц в состоянии Белла, например . Такая пара частиц называется ЭПР – парой.

Пусть одна из этих частиц посылается в пункт A (к Алисе), а другая – в пункт B (к Бобу). Алиса и Боб могут находиться сколь угодно далеко друг от друга.

Предположим, что Алиса измеряет свою частицу и наблюдает состояние . Это означает, что совместное состояние частиц теперь оказывается состоянием и, следовательно, при измерении своей частицы Боб обязательно получит .

Аналогично, если Алиса получит при измерении , то Боб также получит . Заметим, что изменение совместного квантового состояния частиц происходит мгновенно, даже если частицы находятся друг от друга сколь угодно далеко.

На первый взгляд кажется, что Алиса и Боб получают возможность обмениваться сообщениями со скоростью, большей скорости света в вакууме. Однако, это не так. Рассматриваемое явление нельзя использовать для налаживания линии связи, действующей быстрее света. Все что мы можем сказать – это то, что Алиса и Боб, используя эффект ЭПР, могут одновременно в разных местах наблюдать одинаковое случайное поведение.

Отметим, что первоначальная формулировка авторов ЭПР парадокса относилась к системам с непрерывными переменными. Здесь мы представили более простой пример, основанный на рассмотрении дискретных (спиновых) переменных. Такая формулировка ЭПР парадокса впервые была предложена Д. Бомом.

Заметим, что ЭПР парадокс на деле не является никаким парадоксом. Правильнее говорить об ЭПР эффекте. Он заключается в том, что части одной общей системы, даже после прекращения взаимодействия между ними, продолжают описываться единым квантовым состоянием. Это явление рассматривалось как парадокс на заре развития квантовой теории. В настоящее время ЭПР эффект находит свое естественное воплощение в задачах квантовой информатики.

Неравенство Белла

Рассмотрим следующее состояние Белла

(4.7)

В обозначениях формулы (4.7) предполагается, что состояние образовано двумя спиновыми частицами. Это же состояние в других обозначениях есть:

(4.8)

В обозначениях формулы (4.8) рассматриваемое состояние Белла описывается как двухкубитовое состояние.

Будем в качестве оператора спина использовать оператор (т.е. будем опускать множитель ). В таком представлении, результат измерения спина есть либо , либо .

Если при измерении на ось Алиса получает , то Боб при измерении на ту же ось с необходимостью получает и наоборот. То же самое будет происходить и при измерении на любую другую ось в пространстве. Данное состояние является так называемым синглетным состоянием. Оно отвечает суммарному спину системы из двух частиц, равному нулю (поэтому равна нулю и проекция спина системы на любую ось).

Заметим, что состояние , отличающееся знаком от рассматриваемого, также отвечает нулевой проекции спина, но при этом суммарный спин равен единице. Набор из трех состояний , и образует так называемый триплет (триплетное состояние). Триплет отвечает суммарному спину двух частиц, равному единице ( ), и трем значениям проекции спина соответственно: .

Задача 4.13Покажите инвариантность синглетного состояния относительно выбора оси квантования.

Дадим набросок решения задачи. Пусть и состояния, отвечающие проекциям спина (оператор ) соответственно и на некоторую ось , и - те же состояния при проектировании на ось . Новые и старые базисные состояния связаны унитарным преобразованием

Здесь - унитарная матрица.

Пусть её определитель равен единице:

Тогда, нетрудно показать, что выполняется тождество:

Рассматриваемое тождество показывает, что синглетное состояние имеет один и тот же вид, независимо от оси квантования.

Заметим, что определитель унитарной матрицы может отличаться от единицы несущественным фазовым множителем.

Рассмотрим теперь некоторую процедуру измерения синглетного состояния. Пусть Алиса измеряет проекцию спина своей частицы на ось , а Боб- проекцию спина своей частицы на ось .

При измерении Алиса получает с вероятностью и с вероятностью . После этого состояние редуцируется таким образом, что Боб при измерении на ту же ось будет получать , если Алиса получает и наоборот. Если же Боб проводит измерение на другую ось , расположенную под углом к оси Алисы, то в соответствии с полученными ранее результатами (см. разделы 4.1- 4.2), будем иметь следующее распределение вероятностей измерений:

(4.9)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Здесь означает, что Алиса получает , а Боб и т.д.

Задача 4.14 Докажите приведенные выше формулы (4.9)- (4.12). Указание: воспользуйтесь результатами, описывающими реализацию произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота.

Задача 4.15Покажите, что маргинальные распределения, описывающие показания отдельно Алисы и Боба, есть:

Покажите, что математические ожидания этих распределений равны нулю, а дисперсии единице.

Пусть и - случайные величины, регистрируемые соответственно Алисой и Бобом. Покажите, что коэффициент корреляции случайных величин и есть:

Напомним, что классические (неквантовые) представления о вероятности исходят из того, что случайность является «ненастоящей» (субъективной). На самом деле объект, якобы, обладает данным значением параметра и до измерения, только оно скрыто от нас, а измерение просто проявляет то, что было ранее скрыто (шар в урне был либо черным, либо белым и до того, как мы его вынули).

Оказывается, что квантовые корреляции, проявляемые в синглетном состоянии Белла, опровергают такие представления, поскольку подобные корреляции не могут быть смоделированы никакой классической моделью, т.е. моделью со скрытыми (латентными) параметрами (типа рулетки).

Чтобы показать это рассмотрим так называемое неравенство Белла- Клаузера- Хорна- Шимони [1,66].

Пусть , , , - произвольные действительные числа, не превышающие по модулю 1. , ,

Покажем, что

Пусть, например, все параметры неотрицательны и , тогда

Задача 4.16 Проведите до конца рассуждения, доказывающие неравенство Белла- Клаузера- Хорна- Шимони.

Пусть теперь , , , - действительные случайные величины, удовлетворяющие тем же неравенствам.

Задача 4.17 Покажите, что неравенства, справедливые для некоторых случайных величин, останутся справедливыми и для соответствующих средних значений (математических ожиданий).

С учетом результатов последней задачи, усредняя неравенство Белла- Клаузера- Хорна- Шимони, получим:

Оказывается, что полученное неравенство нарушается при измерениях синглетного состояния Белла. Действительно, выберем направления измерений в одной плоскости так, чтобы полярные углы были:

для , для , для , для .

Тогда:

В результате получим:

Таким образом, неравенство Белла нарушается.

Проясним статистический смысл неравенства Белла и факта его нарушения. При усреднении неравенства Белла- Клаузера- Хорна- Шимони, когда вычислялись средние значения и , неявно предполагалось, что существует совместное распределение случайных величин (всего 16 вероятностей). Реально же такого распределения в представленном примере не существует. Другими словами, в приведенном примере нельзя подобрать 16 таких неотрицательных чисел (вероятностей), чтобы описать все корреляции (некоторые из «вероятностей» обязательно будут отрицательными, т.е. не будут на деле вероятностями).

С физической точки зрения результат Белла служит еще одной иллюстрацией к принципу дополнительности Н. Бора и связанной с ним некоммутативностью наблюдаемых. Действительно, измерениям Алисы на оси и отвечают некоммутирующие спиновые переменные, поэтому совместное двумерное распределение не существует. Аналогично, не существует двумерного распределения , которое отвечало бы результатам измерений Боба на оси и . Уже отсюда следует, что не существует и совместного четырехмерного распределения этих величин, т.е. не существует .

Остановимся коротко на методологической стороне неравенства Белла. Возникает вопрос: зачем Беллу потребовалось конструировать достаточно сложный пример, доказывающий, что совместного распределения не существует, если этот факт заведомо известен, поскольку принцип дополнительности и некоммутативность спиновых операторов приводят к неправомочности уже более простых распределений и ?

Попробуем ответить на этот вопрос. Дело в том, что довольно часто при слишком упрощенном изложении предмета всю специфику квантовых явлений пытаются свести к неустранимому взаимодействию микросистемы с измерительным прибором. В частности, нередко говорят, что некоммутирующие переменные (например, и ) не могут быть определены одновременно только потому, что измерение одной из них приводит к физическому воздействию на микрообъект и разрушению его квантового состояния, что, как следствие, ведет к невозможности измерения другой переменной ( ). При таком понимании квантовых явлений считают, что каждый микрообъект, якобы, всегда обладает определенными значениями характеризующих его переменных, но эти переменные могут находиться в скрытом (латентном) состоянии. В таких моделях, называемых теориями со скрытыми параметрами, имеют смысл и распределения для некоммутирующих переменных типа , но существуют эти распределения не в явной, а в скрытой (латентной) форме. В этой связи, пример Белла может рассматриваться как аргумент против подобного рода теорий со скрытыми параметрами.

Действительно, Белл не вводит в рассмотрение несуществующих распределений и , относящихся к измерениям над одной частицей. Он рассматривает только измерения над различными частицами, пространственно удаленными друг от друга. Этим измерениям соответствуют коммутирующие спиновые переменные, отвечающие различным частицам, поэтому хорошо определенны и соответствующие распределения , , и . Согласно логике теории со скрытыми параметрами, измерения Алисы никак не должны влиять на скрытые параметры Боба и наоборот, поэтому должно выполняться неравенство Белла. Многочисленные проведенные эксперименты, однако, согласуются с предсказаниями квантовой теории и убедительно демонстрируют факт нарушения неравенства Белла. Таким образом, нарушение неравенства Белла свидетельствует против теорий со скрытыми параметрами (против так называемого скрытого реализма).

Поясним, в каком контексте здесь используется термин реализм. Согласно квантовой теории, в соответствии с принципами статистики, микрообъект, находящийся в квантовом состоянии суперпозиции, не обладает до измерения определенным значением физической переменной (представленной в суперпозиции). В результате соответствующего проекционного измерения микрообъект переходит в другое состояние, с определенным значением рассматриваемой физической переменной. Согласно же так называемому реализму (в разрез с принципами квантовой информатики и опытом) считается, что микрообъект всегда обладает определенным набором свойств (хотя и, возможно, в скрытой и сложной форме). Именно такого рода реализм и отвергается фактом нарушения неравенства Белла.

В теориях со скрытыми параметрами рассматриваемые переменные могут быть сложными функциями большого числа (например, миллиона) других неизвестных скрытых параметров. Однако, и в этом случае (в предположении однозначности и гладкости соответствующих зависимостей), для наших переменных возникнет некоторое распределение , которое будет следствием более глубокого неизвестного распределения для скрытых микропараметров. Все проведенные выше рассуждения останутся справедливыми и для этого гипотетического случая. Таким образом, неравенство Белла для переменных останется в силе независимо от того, стоят или нет за рассматриваемыми скрытыми переменными еще более «скрытые». Таким образом, усложнение модели, связанное с введением распределений все большего и большего числа переменных ничего не может дать для объяснения факта нарушения неравенства Белла в принципе. Как мы уже видели выше, для объяснения различия между классической и квантовой статистикой нужны качественно новые идеи. Эти идеи связаны с принципом дополнительности и соответствующим рассмотрением некоммутирующих наблюдаемых. Объектом, объединяющим свойства всех взаимно- дополнительных распределений, как мы уже видели ранее, служит вектор квантового состояния (который не может быть заменен ни на какое распределение сколь угодно высокой размерности).

Стоит уточнить, что факт нарушения неравенства Белла свидетельствует против так называемого локального реализма (т.е. остается еще возможность для «нелокального реализма», когда некоторые из скрытых параметров могут быть де- локализованы, т.е. будут одновременно принадлежать обеим частицам, поэтому измерение Алисой своей частицы неведомым и нелокальным образом будет влиять и на частицу Боба).

Резюмируя аргументы, представленные выше, отметим, что сама постановка вопроса о скрытых параметрах и связанная с этим многолетняя полемика в физической литературе, на наш взгляд, свидетельствуют о еще недостаточном понимании принципа дополнительности и статистического характера квантовой теории. Можно предположить, что действительный прогресс в понимании смысла квантовой теории будет достигаться не столько тем, что с помощью сложных расчетов и хитроумных экспериментов будут отвергнуты все возможные различные теории со скрытыми параметрами, сколько тем, что будет осознана изначальная искусственность и практическая бессмысленность подобного рода построений (подобно тому, как в свое время была осознана бессмысленность многочисленных теорий электродинамического эфира).