З а к о н с о х р а н е н и я и м п у льс а

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Импульсом тела называют произведение массы тела на его скорость:

p=mv.

Для системы материальных точек справедливо уравнение

,

где p= – импульс всей системы, F_внешн – равнодействующая всех внешних сил, действующих на нее. Отсюда изменение импульса системы

.

Если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю (например, для замкнутой системы), то dp/dt=0 или p=const – закон сохранения импульса.

Центром масс системы называется воображаемая точка, радиус-вектор которой равен

где m=m₁+m₂+….. – общая масса всей системы.

Уравнение движения центра масс системы:

.

Отсюда следует, что центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна суммарной массе всей системы, а действующая сила – геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему – теорема о движении центра масс.

Пример решения задачи.

Плот массы M с находящимся на нем человеком массы m неподвижно стоит в пруду. Относительно плота человек совершает перемещение 1^/ со скоростью v^/(t) и останавливается (рис.3.1). Пренебрегая сопротивлением воды, найти: а) перемещение плота1 относительно берега; б) горизонтальную составляющую силы, с которой человек действовал на плот в процессе движения.

Дано: M, m, l’, v’(t) _____________ L -? Fч-?

Решение:

Человек и плот образуют замкнутую систему (сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю). В замкнутой системе и следовательно, импульс ее сохраняется, т.е. , т.к. плот с человеком сначала покоился. Здесь p_ч и p_n- импульс человека и плота соответственно.

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с берегом, и запишем импульс системы при движении человека по плоту: mv_ч’+Mv=0, где v_ч’- скорость человека относительно берега. v_ч’= v’+v, где v– скорость плота относительно берега, v’- скорость человека относительно плота. Тогда . Зная скорость плота относительно берега, найдем его перемещение: .

Теперь найдем силу, с которой действовал человек на плот: .

CПИСОК ЗАДАЧ

3.1. Система состоит из двух шариков с массами m₁ и m₂, которые соединены между собой невесомой пружинкой. В момент t = 0 шарикам сообщили начальные скорости v₁ и v_2, после чего система начала двигаться в однородном поле тяжести Земли. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти зависимости от времени полного импульса этой системы в процессе движения и радиус - вектора ее центра инерции относительно его начального положения.

Ответ: p= p₀ + mgt, где p₀ = mv₁+ m₂ v₂, m = m₁ + m₂; r₀ = v₀t + gt²/2,

где v₀ = (m₁ v₁+ m₂ v₂)/(m₁+ m₂).

3.2. Две одинаковые тележки 1 и 2, на каждой из которых находится по одному человеку, движутся без трения по инерции навстречу друг другу по параллельным рельсам. Когда тележки поравнялись, с каждой из них на другую перепрыгнул человек - в направлении, перпендикулярном к движению тележек. В результате тележка 1 остановилась, а тележка 2 продолжала двигаться в прежнем направлении так, что ее скорость стала v. Найти первоначальные скорости тележек v₁ и v₂, если масса каждой тележки (без человека) M, а масса каждого человека m.

Ответ: v₁ = -mv/(M - m), v₂ = Mv/(M - m).

3.3. Две одинаковые тележки движутся друг за другом по инерции (без трения) с одной и той же скоростью v₀. На задней тележке находится человек массы m. В некоторый момент человек прыгнул в переднюю тележку со скоростью u относительно своей тележки. Имея в виду, что масса каждой тележки равна M, найти скорости, с которыми будут двигаться обе тележки после этого.

Ответ: v_задн = v₀ - um/(M + m) ; v_пер = v₀ + umM/(M + m)².

3.4. Цепочка массы m = 1,00 кг и длины l = 1,40 м висит на нити, касаясь поверхности стола своим нижним концом. После пережигания нити цепочка упала на стол. Найти полный импульс, который она передала столу.

Ответ: p = 2m /3=3,5 кг∙м/с.

3.5. Ствол пушки направлен под углом θ = 45⁰ к горизонту. Когда колеса пушки закреплены, скорость снаряда, масса которого в η = 50 раз меньше массы пушки, v₀ = 180 м/c. Найти скорость пушки u сразу после выстрела, если колеса ее освободить.

Ответ: u = v₀cos θ/(1+η) = 25 м/c.

3.6. Пушка массы M начинает свободно скользить вниз по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол a с горизонтом. Когда пушка прошла путь l, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом p в горизонтальном направлении, а пушка остановилась. Пренебрегая массой снаряда по сравнению с массой пушки, найти продолжительность выстрела.

Ответ: t = (p соs a - M )/Mg sin a.

3.7. Частица 1 столкнулась с частицей 2, в результате чего возникла составная частица. Найти ее скорость v и модуль v, если масса у частицы 2 в h = 2,0 раза больше, чем у частицы 1, а их скорости перед столкновением равны v₁ = 2i+ 3j и v₂ = 4i- 5j, где компоненты скорости даны в СИ.

Ответ: v = (v₁+hv₂)/(1+h); v = 4 м/с.

3.8. На краю покоящейся тележки массы М стоят два человека, масса каждого из которых равна m. Пренебрегая трением, найти скорость тележки после того, как оба человека спрыгнут с одной и той же горизонтальной скоростью u относительно тележки: а)одновременно; б) друг за другом.

Ответ: v₁ = -2mu/(M + 2m); v₂ = -mu(2M + 3m)/(M + m)(M + 2m).

3.9. На носу лодки длиной L стоит человек, держа на высоте h ядро массы m. Масса лодки вместе с человеком равна М. Человек бросает горизонтально ядро вдоль лодки. Какую скорость по горизонтали должен сообщить человек ядру, чтобы попасть в корму лодки? Сопротивление воды движению лодки не учитывать.

Ответ: v = L/(1 + m/M)(2h/g)^1/2 .

3.10. Через блок, укрепленный на потолке комнаты, перекинута нить, на концах которой подвешены тела с массами m₁ и m₂. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения нет. Найти ускорение центра масс этой системы.

Ответ: a_c = g(m₁- m₂)²/m₁+ m₂)².