Обработка выборочных данных о состоянии автомобилей и процессов.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ.

Цель работы:приобретение навыков определения экспериментальных и эксплуатационных показателей надежности технических объектов, а также использования их для выявления законов распределения временных показателей надежности.

Задание:

1) Построить статистическую функцию распределения наработки и статистическую функцию надежности .

2) Построить гистограмму наработки .

3) Построить статистический график интенсивности отказов .

4) Определить γ-процентную наработку объекта.

5) Определить оценку среднего значения наработки .

6) Определить оценку среднеквадратического отклонения наработки объекта .

7) Определить коэффициент вариации и выбрать теоретический закон распределения.

Общие сведения.

Для определения показателей надежности объекта достаточно знать закон распределения соответствующего временного показателя и значения параметров этого распределения. Знание закона распределения временного показателя дает возможность математически вычислить все связанные с ним количественные показатели надежности. Если закон распределения неизвестен, то для приближенного определения показателей надежности прибегают к статистическим данным. Поэтому методы определения показателей надежности, а также сами показатели можно разделить на математические (или вероятностные) и статистические. Статистические значения показателей называют также оценками соответствующих показателей.

В данной лабораторной работе рассмотрим статистические методы определения показателей надежности, связанных с временными понятиями “наработка до отказа”, “ресурс” и “срок службы”.

О законе распределения случайной величины можно судить по виду статистической функции распределения случайной величины, гистограммы, статистической функции надежности или статистической функции интенсивности отказов.

Порядок выполнения работы:

1. По условиям задания, прил. 2 (выданного преподавателем) требуется выбрать модель распределения наработки объекта по данным испытаний n аналогичных объектов в течение времени . Результаты испытаний n объектов-аналогов в течение времени сведены в статистический ряд, представленный в виде таблицы 2. 1 (прил. 2):

Время наблюдения , ч			. . .
Число отказов			. . .

Для решения задачи таблицу необходимо привести к следующему виду:

№			-	k
Время наблюдения , ч			. . .
Число отказов			. . .
			. . .

где – начало наблюдения за объектами ;

– время наблюдения, когда подсчитывается количество объектов, отказавших с момента последнего наблюдения (то есть в интервале );

– относительная частота отказов в j-ом интервале;

n – общее число рассматриваемых объектов.

В первой строке указан порядковый номер наблюдения (интервала).

2. Определим значения статистической функции распределения на границах вариационного ряда по формулам: ; ; ; …; .

Затем строим статистическую функцию распределения наработки (рис. 2.1).

Рис. 2.1. График статистической функции распределения наработки.

3. О законе распределения наработки можно судить также по виду статистической функции надежности.

Определяем значения функции надежности на границах интервалов ряда: ; ; ; …; .

Затем строим статистическую функцию надежности (рис. 2.2).

Рис. 2.2 График статистической функции надежности.

4. Чтобы получить более полное представление о распределении наработки, построимстатистический график плотности распределения (гистограмму распределения). Для этого необходимо определить значения статистической плотности на каждом интервале:

, ч^-1;

где - размер интервала времени, ч.

Затем строим гистограмму распределения наработки (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Гистограмма распределения наработки.

5. Большую помощь в определении вида наработки объекта до отказа может оказать график статистической функции интенсивности отказов. Для построения этого графика можно использовать формулу:

, ч^-1.

Эту формулу запишем в виде:

, ч^-1.

Где представляет собой число объектов, не отказавших к середине рассматриваемого интервала.

Здесь – общее число отказов к началу j-го интервала;

– общее число отказов к концу j-го интервала.

По полученным значениям строим статистический график интенсивности отказов (рис. 2.4).

Рис. 2.4. График статистической функции интенсивности отказов.

6. Статистическая гамма-процентная наработка определяется по данным вариационного ряда:

при условии, что .

Здесь γ - вероятность безотказной работы (берется из табл. 2.2 прил. 2 по индивидуальному варианту).

7. Поскольку статистические данные представлены в виде вариационного ряда, то статистическое значение математического ожидания (средней наработки) определяем по формуле:

, ч;

где - средние значения в интервалах, ч.

8. Статистическую дисперсию по данным вариационного ряда определяем по формуле:

, ч².

Затем высчитываем среднеквадратическое отклонение по формуле:

, ч.

9. Коэффициент вариации определяем по формуле:

.

Теоретический закон распределения выбираем по величине коэффициента вариации : если , то используется закон нормального распределения; если можно пользоваться законом нормального распределения или законом распределения Вейбулла; если применяют закон распределения Вейбулла.

Лабораторная работа № 3

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПОКАЗАТЕЛЕЙ БЕЗОТКАЗНОСТИ НЕРЕМОНТИРУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ.

Цель работы: научиться по статистическим данным определять количественные показатели надежности для неремонтируемых изделий.

Задание:

1. Проанализировать условия задания и составить по ним интегральный статистический ряд эмпирического распределения наработки Т.

2. Построить гистограмму и полигон эмпирического распределения наработки Т.

3. Подсчитать среднее арифметическое значение наработки Тср, выборочное среднее квадратическое отклонение σ, коэффициент вариации V для заданной статистической выборки, подобрать теоретический закон распределения наработки до первого отказа.

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы Р(t) и интенсивности отказов λ(t) неремонтируемых изделий для i-х частичных интервалов наработки до первого отказа.

5. Построить графики изменения вероятности безотказной работы Р(t) и эмпирической интегральной функции Fэ(t) по данным испытаний неремонтируемых изделий.

6. Определить значение теоретической интегральной функции F(t) для заданных частичных интервалов значений наработки Т, построить график функции F(t).

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирическим распределением наработки Т по критерию λ (А. Н. Колмогорова).

8. Определить доверительные границы средней наработки неремонтируемых изделий до первого отказа при доверительной вероятности α.

Порядок выполнения работы:

1. По условиям задания, прил. 3 (выданного преподавателем) требуется определить числовые значения безотказности неремонтируемых изделий по результатам испытаний (N) однотипных объектов.

Основным показателем надежности неремонтируемых изделий являются вероятность безотказной работы Р(t), средняя наработка до первого отказа Т_i, интенсивность отказов λ(t). Числовые значения показателей надежности определяются по результатам наблюдений за испытаниями N однотипных изделий в заданных условиях, фиксируя наработку отдельных изделий до первого отказа в часах работы под нагрузкой. Результаты испытаний представляют в виде интервального статистического ряда эмпирического распределения наработки Т_i изделий до первого отказа (табл. 4.1).

Таблица 4.1. Интервальный статистический ряд эмпирического распределения наработки неремонтируемых изделий до первого отказа.

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначения и формулы для расчета	Номера интервалов наработки, тыс.км
	Границы интервалов
	Значение середины интервалов
	Число отказов в интервале
	Относительная доля отказов в интервале (частость)	s w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">

2. Используя данные табл. 4.1 построить графики наглядно характеризующие эмпирическое распределение случайной величины - гистограммы и полигона. При построении гистограммы на горизонтальной оси графика следует отложить значения, соответствующие границам интервалов, а на вертикальной оси - частоты или частотности, также по отдельным интервалам, следует построить прямоугольники, основания которых лежат на горизонтальной оси координат и равны величине интервалов, а высоты равны частотам иди частотностям соответствующих интервалов. В результате получается ступенчатый многоугольник, или гистограмма. Если теперь соединить прямыми линиями середины верхних (горизонтальных) сторон прямоугольников гистограммы, то получится полигон распределения в виде ломаной линии. По гистограмме и полигону распределения необходимо дать заключение, в каком интервале значений наиболее вероятная наработка неремонтируемых изделий до первого отказа (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Гистограмма и эмпирическое распределение.

3. Подсчитать числовые значения статистических характеристик распределения случайной величины, как среднее арифметическое значение Т_ср, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации V по следующим уравнениям с суммированием по интервалам:

Теоретический закон распределения для выравнивания опытной информации ориентировочно выбирают по величине коэффициента вариации V: если V < 0,30, то используется закон нормального распределения; если V > 0,50 применяют закон распределения Вейбулла, если V = 0,30 ... 0,50 можно пользоваться законом нормального распределения или законом распределения Вейбулла. Выбранный по коэффициенту вариации закон распределения будет в дальнейшем проверяться с применением критерия согласия λ (Колмогорова А. Н.).

4. Определить статистические оценки вероятности безотказной работы Р(t_i) и интенсивности отказов λ(t_i) неремонтируемых изделий для i-х интервалов по формулам (табл. 4.2). Полученные результаты заносят в табл. 4.2, в которой: А - величина интервала. Знак ∧ - обозначает показатели надежности, имеющие статистические эмпирические характеристики, подсчитанные по результатам наблюдения над конкретной партией изделий; без значка - вероятности подсчитанные из теоретических соображений; t_i - значение наработки в интервале.

5. Построим графики изменения опытной вероятности безотказной работы и эмпирической интегральной функции: - с использованием значений для интервалов из табл. 4.1 и 4.2. Между обоими показателями существует взаимосвязь, обусловленная уравнением:

.

Таблица 4.2. Определение статистических оценок и .

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначение и формула расчета	Номера интервалов наработки, тыс. км
	Границы интервалов наработки
	Число отказов в интервале
	Число отказавших изделий к концу интервала
	Число работоспособных изделий к началу интервала
	Статистическая оценка вероятности безотказной работы
	Статистическая оценка интенсивности отказов
	Эмпирическая интегральная функция распределения наработки до 1 – ого отказа

При построении графика Р(t_i) и функции F_э(t_i) на горизонтальной оси следует отложить значения, соответствующие границам интервалов, а на вертикальной - частости (W_i ) или частоты (m_i).

6. Определить значения теоретической интегральной функции F(t) для заданных частичных интервалов значений наработки Т, построить график функции F(t).

Рис. 4.2. Эмпирическая и теоретическая интегральные функции распределения наработки до первого отказа и вероятность безотказной работы по данным испытания на надежность.

Значения теоретической интегральной функции F(t_i) (рис. 4.2) для нормального распределения с известными параметрами Т определяются по табличному интегралу Ф(t_i), который непосредственно показывает вероятность того события, что значение случайной величины находится в пределах от 0 до t. Значение функции F(t_i) в конце i-го интервала принимается равным значению интеграла Ф(t) по табл. 4.11. Значение случайной величины - X_i, интервала Ф(t_i) заносят в табл. 4.3.

Таблица 4.3. Проверка соответствия эмпирического и теоретического распределений наработки неремонтируемых изделий до первого отказа по критерию согласия λ.

№ п/п	Определяемый параметр	Обозначения и формулы расчета	Номера интервалов наработки, тыс. км.
	Границы интервалов наработки
	Верхняя граница интервала
	Значение случайной величины
	Значение теоретической интегральной функции наработки до первого отказа
	Наибольшая абсолютная разность
	Расчетное значение критерия согласия
	Значение критерия Колмогорова

7. Проверить соответствие между выбранным теоретическим законом распределения и эмпирического распределения наработки Т по критерию λ (А. Н. Колмогорова). В технических расчетах для различных уровней вероятностей приняты различные уровни значимости.

Таблица 4.4. Уровень вероятности и значимости.

Уровень вероятности α	0,80	0,90	0,95	0,99
Уровень значимости γ	0,20	0,10	0,05	0,009

Если по условиям задания уровень доверительной вероятности α = 90, тогда уровень значимости γ = 0,10, это означает, что в 10 случаях из 100 возможность ошибки первого рода, связанной с риском отбросить правильную статистическую гипотезу. Результаты проверки соответствия эмпирического и теоретического распределения наработки неремонтируемых изделий до первого отказа по критерию λ в табл. 4.3. Для полученного значения по табл. 4.10 (прил. 4) следует найти значение Р(λ). Если значение Р(λ) > λ, то гипотеза о применимости закона нормального распределения к эмпирическому распределению наработки неремонтируемых изделий до первого отказа не отвергается. Тем самым можно говорить о соответствии теоретического и эмпирического распределений.

8. Определить доверительные границы средней наработки неремонтируемых изделий до первого отказа при доверительной вероятности α. Нижняя m_нi и верхняя m_нi границы доверительного интервала для средней наработки Т определяются по уравнениям:

где t_γ(ν) - квантиль распределения t (коэффициент Стьюдента) выбирается из табл. 4.6 (прил. 4); с v = N - 1 степенями свободы для статистической выборки для статистической выборки из N значений.

9. Дать заключение, о том, что среднее значение наработки неремонтируемых изделий до первого отказа с вероятностью α будут находиться в интервале от - до.

Лабораторная работа № 5

ПРИЛОЖЕНИЯ.

Приложение 1.

Таблица 1.1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ № 1.

Вариант	Выборки значений расхода топлива автомобилем на холостом ходу, [л/ч]
	0,85	0,92	1,06	1,11	1,28	1,36	1,38	1,58	1,76	1,92
	0,94	1,01	1,17	1,22	1,41	1,50	1,52	1,74	1,94	2,11
	1,02	1,10	1,27	1,33	1,54	1,63	1,66	1,90	2,11	2,30
	1,11	1,20	1,38	1,44	1,66	1,77	1,79	2,05	2,29	2,50
	1,19	1,29	1,48	1,55	1,79	1,90	1,93	2,21	2,46	2,69
	1,28	1,38	1,59	1,67	1,92	2,04	2,07	2,37	2,64	2,88
	1,36	1,47	1,70	1,78	2,05	2,18	2,21	2,53	2,82	3,07
	1,45	1,56	1,80	1,89	2,18	2,31	2,35	2,69	2,99	3,26
	1,53	1,66	1,91	2,00	2,30	2,45	2,48	2,84	3,17	3,46
	1,62	1,75	2,01	2,11	2,43	2,58	2,62	3,00	3,34	3,65
	0,94	1,02	1,18	1,23	1,42	1,51	1,53	1,75	1,95	2,13
	0,95	1,03	1,19	1,24	1,43	1,52	1,55	1,77	1,97	2,15
	0,96	1,04	1,20	1,25	1,45	1,54	1,56	1,79	1,99	2,17
	0,97	1,05	1,21	1,27	1,46	1,55	1,57	1,80	2,01	2,19
	0,98	1,06	1,22	1,28	1,47	1,56	1,59	1,82	2,02	2,21
	0,99	1,07	1,23	1,29	1,48	1,58	1,60	1,83	2,04	2,23
	0,99	1,08	1,24	1,30	1,50	1,59	1,61	1,85	2,06	2,25
	1,00	1,09	1,25	1,31	1,51	1,60	1,63	1,86	2,08	2,27
	1,01	1,09	1,26	1,32	1,52	1,62	1,64	1,88	2,09	2,28
	1,02	1,10	1,27	1,33	1,54	1,63	1,66	1,90	2,11	2,30
	1,03	1,11	1,28	1,34	1,55	1,65	1,67	1,91	2,13	2,32
	1,04	1,12	1,29	1,35	1,56	1,66	1,68	1,93	2,15	2,34
	1,05	1,13	1,30	1,37	1,57	1,67	1,70	1,94	2,16	2,36
	1,05	1,14	1,31	1,38	1,59	1,69	1,71	1,96	2,18	2,38
	1,06	1,15	1,33	1,39	1,60	1,70	1,73	1,98	2,20	2,40
	1,07	1,16	1,34	1,40	1,61	1,71	1,74	1,99	2,22	2,42
	1,08	1,17	1,35	1,41	1,63	1,73	1,75	2,01	2,24	2,44
	1,09	1,18	1,36	1,42	1,64	1,74	1,77	2,02	2,25	2,46
	1,10	1,19	1,37	1,43	1,65	1,75	1,78	2,04	2,27	2,48
	1,11	1,20	1,38	1,44	1,66	1,77	1,79	2,05	2,29	2,50
	1,11	1,21	1,39	1,45	1,68	1,78	1,81	2,07	2,31	2,52
	1,12	1,21	1,40	1,47	1,69	1,80	1,82	2,09	2,32	2,53
	1,13	1,22	1,41	1,48	1,70	1,81	1,84	2,10	2,34	2,55
	1,14	1,23	1,42	1,49	1,72	1,82	1,85	2,12	2,36	2,57
	1,15	1,24	1,43	1,50	1,73	1,84	1,86	2,13	2,38	2,59
	1,16	1,25	1,44	1,51	1,74	1,85	1,88	2,15	2,39	2,61
	1,16	1,26	1,45	1,52	1,75	1,86	1,89	2,16	2,41	2,63
	1,17	1,27	1,46	1,53	1,77	1,88	1,90	2,18	2,43	2,65
	1,18	1,28	1,47	1,54	1,78	1,89	1,92	2,20	2,45	2,67
	1,19	1,29	1,48	1,55	1,79	1,90	1,93	2,21	2,46	2,69

Приложение 2.

Варианты заданий к лабораторным работам № 2 и № 3.

Время испытаний совпадает с последним значением времени наблюдения в таблице.

Например, варианту 3 соответствует .

Таблица 2.1. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ № 2 И № 3.

Вариант задания

Номер наблюдения

n

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

Число отказов Dmj

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

<

Наши рекомендации

Время наблюдения, ч

–

Число отказов Dmj

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

Число отказов Dmj

–

Время наблюдения, ч

–

Число отказов Dmj

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

Число отказов Dmj

–

–

–

Время наблюдения, ч

–

–

–

–

Число отказов Dmj