Вращение вокруг линии уровня.

При решении задач этим способом пр-ия окружности на одной плоскости пр-ий – прямая линия, а на другой – эллипс. Построение эллипса заменяют определением НВ радиуса вращения т-ки, когда фигура займёт положение пл-ти уровня.

Чтобы повернуть плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости пр-ий, за ось вращения принимается одна из горизонталей данной плоскости. Если плоскость д/б повёрнута до положения, параллельного плоскости П₂, то за ось вращения принимается одна из её фронталей.

Задача 4. Определить НВ Δ АВС способом вращения вокруг линии уровня.

Решение:

Δ АВС является пл-тью общего положения, для определения его НВ, необходимо превратить Δ АВС в пл-ть частного положения. Задача решается вращением вокруг линии уровня данной плоскости Δ-ка АВС .

Таким образом, за ось вращения следует принять такую прямую в плоскости Δ –ка, которая ещё до вращения была бы ||-на П₁ , т.е. одну из его горизонталей. В пл-ти Δ АВС проводим h₂ → h₁.(хотя можно использовать и фронталь плоскости).

В тот момент, когда пл-ть Δ –кА будет ||-на П₁, горизонтальные проекции каждой из перемещающихся вершин окажутся удалёнными от оси вращения на расстояние, равное R_вращ данной точки. Длину R_вращ можно определить способом прямоугольного треугольника.

Г_П1А - след пл-ти вращения т-ки А, ^ оси вращения i.

Лекция 6

Поверхности

Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определённому закону, при этом линия, которая движется в пространстве и образует поверхность, называется образующей, а неподвижная линия, по которой движется образующая – направляющей.

На черт. любая поверхность задается определителем– совокупностью условий и геометрических элементов. Определитель записывается в символической форме:

Σ ( Г, m ), где Г – геометрический элемент, который движется в пространстве, m – условие.

Для изображения пов-ти необходимо иметь данные, позволяющие построить непрерывный каркас. Каркасом пов-ти наз-ся множество линий, заполняющих пов-ть.

Также на черт. для наглядности строится очерк поверхности – это пр-ия линии контура поверхности на пл-ти пр-ий. Очерк пов-ти отделяет видимую часть пов-ти от скрытой, невидимой части на данной пл-ти пр-ий.

Условно все поверхности в НГ разделены на 5 групп:

1. линейчатые поверхности;

2. винтовые поверхности;

3. поверхности вращения;

4. циклические поверхности;

5. графические поверхности.

Линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямойобразующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или кривой линией.

1. Линейчатые поверхности с одной направляющей

И т-кой (вершиной)

Эти поверхности образуются движением прямой образующей, один конец которой проходит через неподвижную т-ку S, а второй - перемещается по направляющей m. В зависимости от того, какой линией является направляющая, образуется тот или иной вид поверхности.

Определительтакой поверхности имеет вид: Σ (S, m),

где S – конечная т-ка, m – направляющая.ъ

Поверхности, образующиеся в данной группе:

а) коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

б) пирамидальная поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

в) цилиндрическая поверхностьобразуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m, при условии, что S бесконечно удалена. (т.е. все образующие двигаются относительно друг-друга параллельно)

г) призматическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом S бесконечно удалена.

2. Поверхности, образованные 2-мя направляющими и пл-тью параллелизма

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной пл-ти Г, которая называется пл-тью параллелизма.

В данную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости.

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой.

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющие собой две скрещивающиеся прямые.

Рассмотрим решение задач.

Задача 1: По заданному определителю построить каркас и очерк поверхности. Построить недостающую пр-ию т-ки А, принадлежащую данной поверхности.

Решение:

Итак, поверхность задана определителем Σ (S, m), S-конечная точка, проекция направляющей – ломаная линия, следовательно, это пирамидальная поверхность.