Принятые обозначения и символика

Лекция 1

Начертательная геометрия – это наука о способах изображения 3-х мерных форм на плоскости (чертеже).

Задачи НГ:

1. изображение пространственных форм на плоскости;
2. обратная задача: воссоздание по чертежу 3-х мерной модели
3. способы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

Принятые обозначения и символика

1. Т-ки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…

2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….

3. Поверхности (пл-ти – простейшая пов-ть) – прописными буквами греческого алфавита: Σ, Г,

4. Углы - строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ…..

5. Линии уровня: горизонталь – h, фронталь – f

6. Основные операции:

∩- пересечение или сечение;

- объединение, союз;

≡- тождество, совпадение ;

Î (Ï ) - принадлежность;

^ - перпендикулярность;

|| - параллельность;

Þ - результат действия;

−- касание;

- перекрещивание, скрещивание

Требования, предъявляемые к чертежу:

1. Наглядность чертежа.

2. Обратимость чертежа, т.е. возможность определять по данному чертежу формы, размеры и положение в пространстве изображаемого предмета.

3. Точность построений чертежа.

4. Простота изображения.

В основе всех способов плоского изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей, лежит операция проецирования.

Сущность операции проецирования

В пространстве дан экран (пл-ть) П₀, выбирается произвольная

точка А,

S – центр проецирования

А₀ – проекция т-ки А на плоскость П₀

Итак, чтобы получить проекцию т-ки на пл-ть проекций, необходимо из центра проекций и т-ку в пространстве провести проецирующий луч до пересечения с пл-тью проекций. Полученная т-ка наз-ся проекцией т-ки или изображением т-ки.

Эта простая задача лежит в основе НГ.

Обозначим все эти действия с помощью условных обозначений.

Дано: П₀ и S

А А₀ - ?

Решение: 1) S А Þ SА - принцип проецирования

2) SА ∩ П₀ Þ А₀

Собственные элементы пространства (т-ка, прямая, пл-ть)- это элементы, расположенные на конечном расстоянии.

Несобственные элементы - это элементы, бесконечно удалённые от зрителя.

Собственная т-ка изображается след. образом: ° А

Несобственная задаётся направлением : А^∞

Виды проецирования

В зависимости от положения т-ки S относительно пл-ти проекций, проецирование делится на 2 вида:

1. Центральное проецирование

S – конечная т-ка (собственная).

А, В, С – произвольные т-ки, Î - щие линии ℓ.

Лучи создают коническую поверхность Σ, она пересекается с

плоскостью П₁.

Σ ∩ П₁

Σ Î ℓ. Þ ℓ₁ (А₁, В₁, С₁ ) – центральная проекция линии ℓ.

1. Параллельное проецирование

Создали цилиндрическую поверхность Σ и решили ту же задачу, что и выше.

В свою очередь, параллельное проецирование делится на 2 вида, которые зависят от угла наклона проецирующих лучей к пл-ти проекций:

а)прямоугольное или ортогональное проецирование

Каждый из лучей лежит относительно пл-ти П₁ под углом 90⁰.

б) косоугольное проецирование

φ - ∕ наклона проецирующего

луча к пл-ти проекций

Ортогональные проекции

(прямоугольные проекции или мет. Монжа)

Плоскости пр-ий

П₃ – профильная пл-ть пр-ий.

Пересечение П₁ и П₂ - ось Х₁₂,

Пересечение П₁ и П₃ - ось Y₁₃,

Пересечение П₂ и П₃ - ось Z₂₃.

А₃ – профильная пр-ия т-ки А.

О – т-ка пересечения осей.

Пл-ть П₁ развернём вниз, а пл-ть П₃ – назад. Ось Y раздваивается.

Развернув плоскости, получаем плоский чертёж.

На этом основан координатный способ построения т-ки.

Лекция 2

Определитель линии

Определитель – это совокупность условий, задающих геометрический образ.

Определитель линии – это т-ка и направление её движения.

Частным случаем плоской линии является прямая линия. Определитель прямой – пара т-ек.

Прямые частного положения.

Прямые частного положения – это прямые, параллельные или перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий. Существуют 6 прямых частного положения, которые, в свою очередь, делятся на две группы:

1. Прямые уровня – это прямые, параллельные какой-либо плоскости пр-ий, их три:

f – фронталь h – горизонталь p-профиль. прямая

f || П₂ в простр-ве h || П₁ в простр-ве р || П₃ в простр-ве

f₂ – НВ на черт. h₁ – НВ на черт. р₃ – НВ на черт.

f₁ || оси Х₁₂ h ₂ || оси Х₁₂ р₁ и р₂ ^ Х₁₂ на черт.

φ - угол с пл-тью П₁ φ - угол с пл-тью П₂

2. Проецирующие прямые – это прямые, перпендикулярные какой-либо пл-ти пр-ий, их три:

АВ ^ П₁ в простр-ве СD ^ П₂ в простр-ве КL ^ П₃ в простр-ве

А₂В₂ ^ Х₁₂ и явл-ся НВ С₁D₁ ^Х₁₂ и явл-ся НВ K₂ L₂ и K₁L₁ || Х₁₂ и

на черт. на черт. явл-ся НВ на черт.

А₁≡ В₁ – т-ка С₂ ≡ D₂ – т-ка K₃ ≡ L₃ – т-ка

АВ-горизонт. проецир. СD-фронт. проецир. KL-профильно

прямая прямая проецир. прямая

Если в пространстве прямая расположена в пл-ти пр-ий, то на черт. одна из её пр-ий совпадает с осью Х₁₂

АВ Î П₂ – в пространстве CD Î П₁ – в пространстве

А₁В₁ ≡ Х₁₂ – на черт. С₂D₂ ≡ Х₁₂ – на черт.

Принадлежность т-ки линии.

Теорема : Т-ка принадлежит линии, если одноимённые пр-ии т-ки лежат на одноимённых пр-ях линии.

Следы прямой линии.

Определитель прямой m задаётся 2-мя т-ми: m (А, В).

m является прямой общего положения, т.е. произвольно наклонена к плоскостям пр- ий.

На прямой имеются характерные т-ки, т.е. следы прямой.

След прямой– это точка, в которой прямая пересекается с плоскостью пр-ий.

Прямая m пересекается с П₁ – получаем горизонт. след прямой М, и соответственно, пересечение прямой m с фронт. пл-тью пр-ий дает нам фронт. след прямой – N.

Фронтальная пр-ия N совпадает с N₂ , горизонт. пр-ия совпадает с N₁₂. И, соответственно М ≡ М₁ , М₂ ≡ М₁₂.

Теорема о прямом угле.

Лекция 3

Плоскость

Пл-ть - частный случай поверхности на чертеже и задаётся определителем:

∑ ( Г, А ), где ∑ - обозначение пл-ти (поверхности);

Г, А - совокупность условий, задающих закон

образования плоскости.

Пл-ти могут быть заданы следующими определителями:

1. Тремя т-ми, не лежащими на одной прямой. (тремя несовпадающими т-ми).

∑ (А,В,С)

2. Прямой и т-кой, не лежащей на ней.

∑ (ℓ, А)

3.Двумя пересекающимися прямыми.

∑ (a ∩ b)

4. Двумя параллельными прямыми.

∑ (a || b)

5. Плоской фигурой.

∑ (D АВС)

6. Следами.

∑ ( ∑_П1, ∑_П2 )

Следы плоскости.

Следами пл-ти называются линии пересечения её с пл-ми проекций.

∑ - пл-ть общего положения

∑_П1 – горизонтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с горизонт. пл-тью пр-ий.

∑_П2 – фронтальный след пл-ти – это линия пересечения пл-ти ∑ с фронт. пл-тью пр-ий.

∑₁₂ – т-ка схода следов.

В зависимости от того как расположена заданная пл-ть относительно пл-тей пр-ий, различают:

I. Пл-ти общего положения – пл-ть ни параллельная, ни перпендикулярная ни одной из пл-тей пр-ий. Все чертежи таких плоскостей были рассмотрены выше в классификации определителей.

II. Пл-ти частного положения:

1. Пл-ти уровня– это пл-ти, || -ые одной из пл-тей пр-ий, и ^-ые двум остальным пл-тям пр-ий (дважды проецирующие).

а) Пл-ть горизонтального уровня - || П₁

б) Пл-ть фронтального уровня - || П₂

в) Пл-ть профильного уровня -|| П₃

Свойство пл-тей уровня:

Лекция 4

Преобразование чертежа.

В НГ решаются три группы задач:

1) конструктивные – задачи на построение геометрических фигур, отвечающих заданным условиям.

2) позиционные – это задачи на взаимное расположение геометрических образов.

3) метрические задачи – это задачи на определение натуральных величин расстояний, углов и самих геометрических элементов.

Для решения метрических задач, возникает необходимость преобразования чертежей, т.е. изменения их. Это позволяет перевести геометрический элемент из общего положения в частное, при котором он будет проецироваться на плоскости пр-ий без искажения.

Итак, рассмотрим 2 вида преобразования чертежа:

1. перемена пл-тей пр-ий;
2. вращение.

Лекция 5

Способ вращения.

При решении задач способом вращения положение заданных геометрических элементов изменяют путём вращения их вокруг проецирующей оси.

Соответствующий выбор оси вращения, направления вращения и угла поворота заданной системы геометрических элементов даёт возможность привести эту систему в частное положение относительно той или иной плоскости пр-ий, при котором поставленная задача будет решена или упростится её решение. В некоторых случаях для этой цели геометрические элементы приходится вращать дважды: сначала вокруг одной, а затем и второй оси вращения.

Базовые пл-ти пр-ий остаются неизменными. Относительно этих пл-тей пр-ий меняется положение геометрического элемента. Желательно, чтобы ось вращения проходила хотя бы через одну т-ку отрезка, который необходимо повернуть, т.е. одна т-ка – неподвижна, другая – вращается.

Известно, что т-ка при вращении

её вокруг какой-либо оси

описывает траекторию, представ-

ляющую собой окружность, распо-

ложенную в плоскости, ^ -ой к

оси вращения.

Рассмотрим задачи:

Задача 1. Повернуть т-ку вокруг проецирующей оси i на 90⁰ : а) по часовой стрелке, при этом ось вращения – фронтально проецирующая;

б) против часовой стрелки, ось вращения – горизонтально проецирующая (самост.).

Решение:

Задача 2. Определить НВ отрезка АВ вращением вокруг проецирующей оси.

Решение:

Задача 3. Определить НВ Δ АВС вращением вокруг проецирующих осей.

Решение:

Лекция 6

Поверхности

Поверхности рассматриваются как непрерывное движение линии в пространстве по определённому закону, при этом линия, которая движется в пространстве и образует поверхность, называется образующей, а неподвижная линия, по которой движется образующая – направляющей.

На черт. любая поверхность задается определителем– совокупностью условий и геометрических элементов. Определитель записывается в символической форме:

Σ ( Г, m ), где Г – геометрический элемент, который движется в пространстве, m – условие.

Для изображения пов-ти необходимо иметь данные, позволяющие построить непрерывный каркас. Каркасом пов-ти наз-ся множество линий, заполняющих пов-ть.

Также на черт. для наглядности строится очерк поверхности – это пр-ия линии контура поверхности на пл-ти пр-ий. Очерк пов-ти отделяет видимую часть пов-ти от скрытой, невидимой части на данной пл-ти пр-ий.

Условно все поверхности в НГ разделены на 5 групп:

1. линейчатые поверхности;

2. винтовые поверхности;

3. поверхности вращения;

4. циклические поверхности;

5. графические поверхности.

Линейчатые поверхности.

Линейчатые поверхности образуются непрерывным движением прямойобразующей по некоторой направляющей, которая может быть прямой, ломаной или кривой линией.

1. Линейчатые поверхности с одной направляющей

И т-кой (вершиной)

Эти поверхности образуются движением прямой образующей, один конец которой проходит через неподвижную т-ку S, а второй - перемещается по направляющей m. В зависимости от того, какой линией является направляющая, образуется тот или иной вид поверхности.

Определительтакой поверхности имеет вид: Σ (S, m),

где S – конечная т-ка, m – направляющая.ъ

Поверхности, образующиеся в данной группе:

а) коническая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

б) пирамидальная поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m и проходящей через одну фиксированную т-ку (вершину) S.

в) цилиндрическая поверхностьобразуется движением прямолинейной образующей ℓ, по криволинейной направляющей m, при условии, что S бесконечно удалена. (т.е. все образующие двигаются относительно друг-друга параллельно)

г) призматическая поверхность образуется движением прямолинейной образующей ℓ по ломаной направляющей m, при этом S бесконечно удалена.

2. Поверхности, образованные 2-мя направляющими и пл-тью параллелизма

Поверхности данной группы образуются при движении в пространстве прямой образующей ℓ по двум направляющим m и n, оставаясь при этом параллельной заданной пл-ти Г, которая называется пл-тью параллелизма.

В данную группу входят следующие поверхности:

а) цилиндроид – поверхность, образованная движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум криволинейным направляющим m и n, не лежащим в одной плоскости.

б) коноид образуется движением прямой образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум направляющим m и n, одна из которых является прямой линией, а вторая – какой-либо кривой.

в) гиперболический параболоид (гипар) образуется движением прямолинейной образующей ℓ ||-но плоскости параллелизма Г по двум прямолинейным направляющим m и n, представляющие собой две скрещивающиеся прямые.

Рассмотрим решение задач.

Задача 1: По заданному определителю построить каркас и очерк поверхности. Построить недостающую пр-ию т-ки А, принадлежащую данной поверхности.

Решение:

Итак, поверхность задана определителем Σ (S, m), S-конечная точка, проекция направляющей – ломаная линия, следовательно, это пирамидальная поверхность.

Винтовые поверхности.

Винтовые поверхности образуются при сложном винтовом движении прямой образующей, когда каждая т-ка этой образующей вращается вокруг неподвижной оси, а один конец этой образующей равномерно перемещается по этой оси. Т.е. это совокупность 2-х движений образующей – поступательного перемещения вдоль оси поверхности и вращательного вокруг оси.

Определительповерхности:

Σ (ℓ, i, H, φ ), где ℓ – образующая; i – ось; Н – шаг винтовой линий; φ - угол наклона образующей к оси.

Поверхность, образованная при вращательном поступательном движении прямой образующей, наз-ся геликоидом. В зависимости от угла наклона образующей к оси геликоид может быть прямой (φ = 90⁰) и наклонный (φ ≠ 90⁰). Если образующая пересекается с осью поверхности, геликоид называют закрытым (б), если не пересекается – открытым (а). (Поверхность пандусов многоэтажных гаражей и некоторых других зданий представляет собой прямой открытый геликоид).

Открытый геликоид Закрытый геликоид

Лекция 7

Лекция 8

Пересечение поверхностей.

Большое место в НГ уделяется решению позиционных задач, в которых рассматривается взаимная принадлежность геометрических образов относительно плоскостей проекций и друг друга.

Итак, к позиционным задачам начертательной геометрии относятся задачи на пересечение поверхностей.

Линия пересечения2-х поверхностей – это линия, каждая т-ка которой принадлежит одновременно обеим поверхностям. Строится она в общем случае методом вспомогательных секущих поверхностей или, иначе, методом посредников. В качестве посредников могут применяться пл-ти уровня, пл-ти общего положения, сферические поверхности и т.д. Это зависит от конкретных условий задачи.

Решение задачи упрощается, если обе поверхности или одна из них занимает частное положение в пространстве, т.е. являются проецирующими. В этом случае одна из пр-ий линии пересечения (ЛП) будет лежать на следе проецирующей поверхности, и задача сводится к построению недостающей пр-ии линии, лежащей на поверхности.

Свойство проецирующей поверхности:

Если одна из пр-ий линии, принадлежит проецирующей поверхности, то другая проекция линии совпадает со следом этой поверхности

Конические сечения

Линии, образующиеся при пересечении прямого кругового конуса различными проецирующими плоскостями, называются коническими сечениями.

Возможны 5 сечений конуса:

а) окружность

пл-ть Г ^ оси i и || основанию

m₂ – линия, m₂ ≡ Г _П2

m₁ – окружность

б) эллипс

m₂ – линия, m₂ ≡ Г _П2

пл-ть Г ∩ось i

m₁ – эллипс

в) парабола

пл-ть Г || одной образующей

m₂ – линия, m₂ ≡ Г _П2

m₁ – парабола

г) гипербола

пл-ть Г || двум образующим,

т.е. || оси конуса

m₂ – линия, m₂ ≡ Г _П2

m₁ – гипербола

д) образующая

пл-ть Г Î S (проходит через вершину)

Задача 6 Построить ЛП поверхностей вращения.

Решение:

∑ ∩ Г _ m – ЛП, m - ?

∑ ^ П₁

m₁ Î ∑_П1 , m₁ –окружность

.

Лекция 9

Лекция 10

Развёртки поверхностей.

Построение развёрток – это инженерная задача, встречающаяся при выполнении технических деталей из тонкого листового материала, например, кожух вентилятора, воздуховод, патрубки и колпаки в вентиляционной системе и т.д.

Итак, развёрткой поверхности наз-ся плоская фигура, получаемая при последовательном совмещении пов-ти с пл-тью, без образования складок и разрывов.

К развёртываемым линейчатым поверхностям относятся только три поверхности: цилиндрическая, коническая, торсовая.

Развёртки прямых круговых конусов и цилиндров могут быть выполнены точно. Боковая поверхность цилиндрапредставляет собой прямоугольник со сторонами Н, πD. Боковая поверхность конусапредставляет собой сектор круга, радиус которого равен ℓ - длине образующей конуса, а угол при его вершине j = 360⁰ R / ℓ.

Развёртки наклонного конуса и цилиндра – приближённые. В первый вписывается n – гранная пирамида, во второй – n –гранная призма.

Поверхности вращения (исключая конус и цилиндр) относятся к неразвёртываемым поверхностям. Для них строят условные развёртки, заменяя части этих поверхностей отсеками развёртываемых поверхностей.

Т.к. все элементы поверхности на развёртке изображаются в нат. величину, то построение её сводится к определению нат. величин элементов заданной поверхности.

Между поверхностью и развёрткой существует взаимооднозначное соответствие, т.е. каждой т-ке поверхности соответствует единственная т-ка на развёртке, и наоборот.

Свойства взаимооднозначного соответствия:

1. Прямая на пов-ти переходит в прямую на развёртке.
2. || - ые прямые на пов-ти переходят в || -ые прямые на разв-ке.
3. Длины линий на развёртке и на поверхности равны.
4. Площадь поверхности равна площади развёртки.

Лекция 1

Начертательная геометрия – это наука о способах изображения 3-х мерных форм на плоскости (чертеже).

Задачи НГ:

1. изображение пространственных форм на плоскости;
2. обратная задача: воссоздание по чертежу 3-х мерной модели
3. способы решения позиционных, метрических и конструктивных задач.

Принятые обозначения и символика

1. Т-ки - прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D… или цифрами 1, 2, 3, 4…

2. Прямые и кривые линии– строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,d….

3. Поверхности (пл-ти – простейшая пов-ть) – прописными буквами греческого алфавита: Σ, Г,

4. Углы - строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ…..

5. Линии уровня: горизонталь – h, фронталь – f

6. Основные операции:

∩- пересечение или сечение;

- объединение, союз;

≡- тождество, совпадение ;

Î (Ï ) - принадлежность;

^ - перпендикулярность;

|| - параллельность;

Þ - результат действия;

−- касание;

- перекрещивание, скрещивание

Требования, предъявляемые к чертежу:

1. Наглядность чертежа.

2. Обратимость чертежа, т.е. возможность определять по данному чертежу формы, размеры и положение в пространстве изображаемого предмета.

3. Точность построений чертежа.

4. Простота изображения.

В основе всех способов плоского изображения пространственных форм на плоскости, которые применяют при составлении чертежей, лежит операция проецирования.