Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

Пусть твердое тело совершает вращательное движение вокруг подвижной оси с угловой скоростью , а эта подвижная ось вращается вокруг неподвижной оси с угловой скоростью так, что оси пересекаются. Тогда абсолютная угловая скорость тела определяется формулой

а б в г

Рис.7. Определение положения мгновенного центра скоростей

Вектор меняет величину и направление. Прямая, вдоль которой в данный момент времени направлен этот вектор, называется мгновенной осью вращения тела.

1.5.2. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей

Если оси относительного и переносного вращения параллельны друг другу, то тело совершает плоское движение, а его абсолютная угловая скорость равна

1.5.3. Сферическое движение твердого тела - это такое его движение в пространстве, при котором одна точка тела остается неподвижно. Таковым является, например, движение волчка (рис. 8).

Траектория каждой точки тела лежит на сфере с центром в неподвижной точке . Моделью сферического движения может служить движение сферической фигуры по сфере. Сферическое движение

в общем случае есть результат сложения его вращений вокруг трех осей. Тело имеет 3 степени свободы. Обобщенными координатами могут служить углы Эйлера: угол собственного вращения , угол прецессии и угол нутации . Термин «прецессия» (предшествование) происходит из астрономии: благодаря прецессии земной оси имеет место ежегодное предварение равноденствий примерно на секунд. Период этой прецессии 26 тысяч лет. Термин «нутация» происходит от латинского глагола «качаться», «дрожать». Нутация тела совершается вокруг линии узлов .

Перемещение тела в заданное положение из начального положения представляется как последовательность прецессии, затем нутации и, наконец, собственного вращения.

Направляющий орт (греч. «ню») линии узлов задается выражением , где - орт неподвижной оси , - орт подвижной оси (оси собственного вращения), связанной с телом.

1.5.4. Скорость и ускорение точки тела при сферическом движении

Угловая скорость тела равна векторной сумме угловых скоростей ротации, прецессии и нутации:

Рис.8. Углы Эйлера

Линия действия вектора - мгновенная ось вращения. Мгновенные скорости ее точек равны нулю. Движение плоской фигуры (см. п. 1.4.1) можно рассматривать как предельный случай движения сферической фигуры по сфере, радиус которой бесконечно велик. Скорость точки тела при сферическом движении определяется по формуле

,

где - радиус-вектор точки, проведенный из неподвижного полюса. Скорость направлена по касательной к окружности, центром которой является основание перпендикуляра, опущенного из точки на мгновенную ось.

Ускорение точки тела равно

.

«Осестремительное» ускорение направлено на мгновенную ось.

Перемещение твердого тела в заданное положение из начального положения можно осуществить одним поворотом вокруг некоторой оси. Конечные повороты можно складывать, но они, в отличие от бесконечно малых вращений, не коммутативны: результат зависит от порядка поворотов. Конечные повороты описывают в терминах кватернионов – гиперкомплексных чисел, имеющих вещественную часть (характеризующую величину угла поворота) и три мнимые части, задающие направление оси поворота.

1.5.5. Движение свободного твердого тела

Для исследования свободного движения тела некоторая точка С тела выбирается в качестве полюса. С полюсом С связывают подвижную систему отсчета движущуюся поступательно. Движение тела рассматривают как сложное его движение, состоящее из поступательного движения вместе с полюсом С и сферического движения вокруг полюса относительно системы отсчета . Обобщенные координаты тела – три координаты полюса С и три угла Эйлера. Скорость и ускорение точки тела определяются по формулам, которые выглядят так же, как формулы для скорости и ускорения точки плоской фигуры (см. п. 1.4.4):

;

.