Распределение случайных ошибок измерения

Вероятностная модель. Случайные ошибки измерения характеризуются определенным законом их распределения.

Существование такого закона можно обнаружить, повторяя много раз в неизменных условиях измерения некоторой величины и подсчитывая число m тех результатов измерения, которые попадают в любой выделенный интервал. Отношение этого числа к общему числу nпроизведенных измерений (относительная частота попадания в отмеченный интервал) при достаточно большом числе измерений оказываются близким к постоянному числу (разумеется, своему для каждого интервала).

Это обстоятельство позволяет применять к изучению случайных ошибок измерения методы теории вероятностей. В теоретико-вероятностной модели случайные ошибки z = x - a (а значит, и сами результаты измерения x = a + z) рассматриваются как случайные величины, которые могут принимать любые действительные значения, причем каждому интервалу соответствует вполне определенное число, называемое вероятностью попадания случайной величины «Z» в этот интервал и обозначаемое через .

Эта вероятность выступает как идеализированная относительная частота попадания в интервал , т.е. на практике именно к этой вероятности близки упомянутые выше относительные частоты .

Правило, позволяющее для любых интервалов находить вероятность , называется законом распределениявероятностной случайной величиныZ.

Закон распределения можно записать с помощью интеграла

,

где p(z) - некоторая неотрицательная функция, нормированная условием

;

эта функция полностью определяет соответствующий закон распределения вероятностей и называется плотностью распределения.

Если имеется случайная величина Хс математическим ожиданием М и стандартным отклонением , то случайная величина Z–оценка является стандартной случайной величиной.

Z= (Х - М) /

В метрологии в качестве точности наиболее часто рассматриваются следующие характеристики рассеивания: 1 - среднее квадратическое или квадратичное отклонение ; 2 -вероятная или срединная погрешность (ошибка); 3 - Е – погрешность, вероятность быть больше или меньше которой одинакова и равна 0,5.

Например, при нормальном распределении Х этот показатель точности равен интервалу, границы которого находятся на расстоянии 0,675 σ от математического ожидания; максимальная погрешность – погрешность, вероятность превзойти которую по абсолютной величине представляет событие малодостоверное.

Например, при нормальном распределении эта вероятность очень часто берется равной 0,0027, что соответствует вероятности попадания Хза пределы интервала, границы которого находятся на расстоянии 3σ от математического ожидания.

С помощью любой из этих характеристик можно судить о точности результата измерения (рассеивании или области неопределенности).

На рис. 3.1 приведен график плотности нормального распределения Х с нанесенными на нем значениями указанных величин.

Рис. 3.1. Показатели точности измеряемой случайной величины,

распределенной по нормальному закону (U=Z)