Обобщение понятия субстанциональной производной бесконечно малой частицы жидкости
Проведем формальные рассуждения.
В общем случае движения жидкости имеются переменные во времени, которые рассматриваются как параметры жидкости.
Изменение какого-либо параметра можно представить как следствие, вытекающее из рассмотрения его в смежной точке пространства и в смежный момент времени.
Поэтому полное приращение d… определяется суммой двух приращений: временного dt … и пространственного dr…
Приращение во времени при фиксированных координатах определяется символическим равенством:
Пространственное изменение скалярного или векторного параметров на основании формул (3.37) и (3.44) в данный момент времени находится с помощью зависимости
суммируя оба приращения и деля на элемент времени dt, приходим к соотношению
в котором есть скорость перехода от одной точки пространства к другой, т.е. скорость слежения за различными точками пространства.
Если объектом слежения выбрать какую-то частицу жидкости, тогда скорость слежения совпадает со скоростью движения этой частицы
, поскольку перенос взгляда из одной точки пространства в другую будет следовать за перемещением этой массы (частички) жидкости. В этом случае производная
обращается в субстанционарную производную
(4.17)
Замечание:
Т.о. субстанционарная производная есть понятие не только математическое, но и физическое. Оно связано с изучением изменения некоторого параметра во времени при движении одной и той же массы жидкости.
Ускорение жидкой частицы
Рассмотрим в качестве параметра скорость жидкой частицы .
Воспользуемся формулой (4.17) и в результате получим векторную форму записи ускорения жидкой частицы.
(4.18)
где - называется субстанциональным (полным) ускорением;
- локальным ускорением;
(
)
- конвекторным ускорением.
Замечание:
1. Локальное ускорение определяется изменением вектора скорости в данной точке пространства.
2. Конвективное ускорение возникает вследствие того, что частица жидкости в процессе движения перемещается из данной точки в другую, в которой вектор скорости отличается от первоначального.
Из этого следует, что:
1. Если поле вектора однородно (т.е. вся жидкость перемещается поступательно как твердое тело), то конвективное ускорение равно нулю и все ускорение сводится к локальному, одинаковому во всех точках пространства, занятого движущейся жидкостью.
2. Если движение жидкости является установившимся (т.е. скорость жидкости в каждой точке не меняется с течением времени), то локальное ускорение отсутствует, а имеется лишь конвективное.
Перейдем от векторной формы записи ускорения к координатной. В результате с учетом (3.36) получим:
(4.19)
Встречается и другая векторная запись ускорения. Перепишем (4.19), заменив порядок сомножителей.
Используя формулы произведения тензора на вектор (3.4) и (3.7) и выражение дифференциального тензора векторного поля (3.42) и (3.45), можно представить вектор ускорения в следующей компактной форме:
(4.20)
где
Для исследования (изучения) вихревого движения выражение (4.20) для ускорения следует преобразовать, вводя компоненты вихря.
В соответствии с равенством (3.11) разложим тензор Tu* на симметричную и антисимметричную часть
(4.21)
причем, как это следует из (4.8)
из выражения (3.34) следует, что:
Поэтому тензор Аu можем переписать в следующем виде:
(4.22)
Умножим дифференциальный тензор Tu* поля вектора на произвольный вектор
с проекциями Nx, Ny, Nz. Очевидно, что
(4.23)
Представим произведение Аu в развернутом виде. В соответствии с (3.3) и (4.22) можем записать:
(4.24)
Этот же вектор Аu представим в другой форме. Для этого запишем (определим) векторное произведение rot
на
(4.25)
Сравнивая выражения (4.24) и (4.25), убеждаемся в справедливости тождества
откуда
прямо следует формула Гельмгольца
(4.26)
Рассмотрим произведение дифференциального тензора поля вектора на тот же вектор
.
Представим в развернутом виде одну из проекций вектора Tu* , например на ось Оx. В соответствии с (3.46) с (3.33) получим:
(4.27)
Кроме этого, как видно из формулы (4.25),
следовательно,
(4.28)
Аналогичные равенства можно записать и для остальных проекций, откуда следует справедливость векторного равенства
(4.29)
называемого формулой Ламба-Громски
Т.о. из формул (4.29) и (4.20) находим выражение для ускорения в форме Ламба-Громски, которое широко используется при анализе уравнений гидродинамики
(4.30)
Замечание:
Такая форма записи ускорения указывает на наличие или отсутствие вихрей и позволяет установить различие в особенностях вихревого и безвихревого движений жидкости.