Представление дифференциальных операций векторного анализа в декартовой системе координат
Декартова система координат является наиболее распространенной для описания движения жидкости в трехмерном пространстве.
Рассмотрим представление всех рассмотренных понятий и операций в декартовой системе координат, обращая главное внимание лишь на физическое содержание векторных операций и правила их использования и не ставя перед собой задачу строгого доказательства тех или иных положений.
С учетом этого сразу можем написать
1. 
(3.31)
Таким образом, проекции вектора набла на оси прямоугольной декартовой системы координат есть операторы (производные) 
. Поэтому умножить проекцию вектора набла
Примечание:
5. скалярные операторы 
2…
6. ( 
)…
будучи примененными к скалярной функции 
, дадут зависимости:
Если 
есть вектор, то, представляя его тремя скалярными функциями x; 
y; z (проекции на оси координат) для 2 и ( ) получим по три формулы, аналогичные приведенным (выше).
Например:
на проекцию какого-либо другого вектора – это значит продифференцировать ее по соответствующей координате.
Учитывая это и применяя правило действия над векторами, получаем:
2. 
(3.32)
3. 
(3.33)
4. 
(3.34)
5. 
(3.35)
6. 
(3.36)
3.4.1. Примеры, имеющие самостоятельное значение
1. Положение точки или частицы жидкости в декартовой системе координат характеризуется радиус-вектором 
С помощью этого вектора распределене скоростей в пространстве дается соотношением 
, что эквивалентно трем скалярным уравнениям:
Приращение вектора - величина d (расстояние между двумя близкими точками) определяется равенством:
а скорость движения некоторой частицы представляется очевидным соотношением
где D – символ субстационарной производной.
Умножим элементарный вектор d на градиент некоторой скалярной функции φ:
Замечаем, что правая часть этого равенства представляет собой полный дифференциал скалярной функции φ.
Т.о. имеем важную формулу:
(3.37)
2. Составим скалярное произведение единичного вектора 
и grad φ:
(здесь единичный вектор в проекциях на оси координат представляется равенством:
)
Найдем производную от φ по направлению
т.к.
то
Замечание:
Из формулы (3.38) видно, что производная 
достигает своего наибольшего значения для направления , совпадающего с направлением grad φ, при этом ее наибольшее значение равно величине grad φ. Поэтому градиент скалярной функции можем определять как вектор, имеющий направление быстрейшего роста скалярной величины φ и равный производной от нее по этому направлению.
Именно поэтому, например, результирующая сила давления равна – grad P, т.к. она должна быть направлена в сторону быстрейшего падения давления, а результирующий тепловой поток – в сторону наибольшего уменьшения температуры, т.е. в сторону – grad T, как это следует из закона Фурье.
Замечание к разделу:
Координатное представление вектора набла позволяет во многих случаях упрощать формулы, записанные в символическом виде, и, таким образом, является существенным дополнением к нему.
Пример:
Найдем выражение для 
, где 
- постоянный вектор:
Далее, из соотношений сделанных при выводе формулы (3.28), получаем
В этом выражении последующие преобразования невозможны.
Но, если обратиться к координатному представлению рассмотренных нами операций, сразу замечаем, что величина 
оказывается равной
т.о. 
rot = 0, т.к. производные от одних независимых переменных по другим тождественно равны нулю (см. 3.34).
Кроме того:
т.о. получим простое соотношение:
Казалось бы, что этот пример наталкивает на мысль, что символический метод совершенно не нужен, т.к. непосредственным вычислением в координатном представлении можно получить все необходимые преобразования.
Это действительно так, однако если попытаться вывести такие простые зависимости, как:
опираясь лишь на координатное выражение оператора Гамильтона, можно сразу оценить существенную экономию труда и бумаги, а также элегантность операций, которые сопутствуют символическому методу исчисления.
3.5. Преобразование объемных интегралов в поверхностные
Приведем без доказательства формулы Гаусса и Остроградского, известные из курса математического анализа, в символах векторного анализа.
Формула Гаусса:
(3.39)
Формула Остроградского:
(3.40)
Дифференциальные тензоры
Составим диадное произведение вектора набла и какого-нибудь переменного вектора, например .
Помня, что умножить на составляющую символического вектора - это значит продифференцировать по соответствующей координате, находим:
(3.44)
Этот тензор по аналогии с градиентом скалярной величины (см. формулу 3.33) назовем градиентом вектора:
(3.42)
Его составляющие легко выявляются, если рассмотреть диадные произведения ортов на скалярные производные от вектора в равенстве (3.41), и записываются в виде матрицы:
Примечание:
Свойство сопряженного тензора:
Величина произведения вектора на тензор, не изменится, если при перестановке сомножителей тензор заменить на сопряженный.
(3.43)
Умножим тензор grad на дифференциал радиус вектора слева:
(3.44)
Полученное соотношение совершенно аналогично (3.37) полному дифференциалу скалярной функции. Т.е. имеем:
(3.44а)
Если в тензоре (3.43) заменить элементы строк на элементы столбцов, то получим сопряженный тензор:
(3.45)
Если в другой записи (с учетом (3.6) и (3.7)):
(3.46)
но по свойству сопряженного тензора равенство (3.44а) можно переписать в следующем виде:
(3.47)
Следовательно, тензор ( ∙ )* можно рассматривать как производную от векторной функции по векторному аргументу .