Гидромеханический смысл некоторых операций векторного анализа

Основные уравнения гидродинамики, записанные в символах векторного анализа, приобретают свойственную им физическую простату и ясность.

В гидромеханике важную роль играют следующие основные понятия векторного анализа:

Ø дивергенция вектора,

Ø градиент скаляра,

Ø ротор вектора

В общем случае они определяются интегралами

(3.17)

- скорость

- вектор внешней нормали

(3.18)

p – давление

(3.19)

div представляет наибольший интерес

Разберем физическое содержание этих понятий применительно к задачам гидромеханики.

3.2.1. div (дивергенция скорости)

а) Первая интерпретация

Подынтегральное выражение равенства (3.17) содержит скалярное произведение скорости на единичный нормальный вектор к элементарной площадке dF. Величина есть не что иное, как нормальная составляющая U_n скорости по отношению к площадке dF.

Произведя интегрирование по всей замкнутой поверхности F, ограничивающей некоторую часть пространства объемом ΔV, получим расход жидкости Q, протекающей через этот объем в единицу времени.

Если разделим этот расход жидкости на величину объема ΔV, то получим среднее значение расхода, приходящееся на единицу выделенного объема ΔV.

Если перейдем к пределу при ΔV → 0 найдем не среднее, а истинное значение удельного расхода жидкости в фиксированной точке пространства.

Следовательно, дивергенция вектора скорости движущейся жидкости представляет собой (истинный) удельный объемный расход жидкости в этой точке пространства, где эта величина вычисляется.

Замечание:

Если вместо вектора скорости возьмем вектор, равный произведению скорости жидкости на ее плотность (т.е. ), то, проведя аналогичные рассуждения, получим, что:

div представляет собой удельный массовый расход жидкости, протекающий через бесконечно малый объем, окружающий какую-то точку пространства.

Примечание: именно такой смысл будем вкладывать в понятия div и div при рассмотрении нашего курса гидромеханики.

Замечание:

Дивергенция вектора есть величина скалярная (это вытекает из проведенных нами выше рассуждений)

В общем случае дивергенция вектора выражает удельный расход (правильнее сказать поток) некоторого вектора через малый объем, описанный около рассматриваемой точки.

Это может быть поток тепла, поток количества движения и поток вещества (как было рассмотрено выше).

б) Вторая интерпретация

Возьмем некоторую часть жидкости, заключенную в объеме ΔV, и будем следить за ее перемещением в пространстве.

Рассмотрим элементарную часть dF поверхности F, отделяющей выделенный объем от остальной массы жидкости.

Пусть площадка dF характеризуется единичным нормальным вектором , а скорость жидкости на ее поверхности – вектором .

Вследствие движения поверхности F все точки, принадлежащие площадке dF, переместятся за интервал времени dt на расстояние dl и займут новое положение на площадке dF’ поверхности F’ (см. рис.1)

dF

dF’

F’

F

dl

Un

dln=Un∙dt

рис.1.

элемент dF поверхности F за время опишет в пространстве объем dV.

Величина этого объема определяется отношением

Полное приращение δV, которое получит объем ΔV за время dt, может быть найдено, если сложить все элементарные приращения, т.е. проинтегрировать по всей замкнутой поверхности F:

(*)

Разделив выражение (*) на интервал времени dt и на величину исходного объема ΔV, получим секундное относительное изменение объема выделенной массы жидкости.

Устремив объем ΔV → 0, приведем к выражению для дивергенции скорости (3.17).

Следовательно, дивергенция скорости может трактоваться как относительное секундное изменение объема ΔV одной и той же бесконечно малой частицы жидкости.

т.о. (3.20)

где D – символ субстанционарной производной (от слова субстанция – вещество.

Эту производную называют еще полной производной, либо вещественной, либо эйлеровой.

Примечание:

Символ D употребляется вместо обычно применяемого знака дифференциала d, для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что производная относится к одной и той же массе жидкости (ко всей), заключенной внутри объема ΔV.

Замечание:

Таким образом, в гидродинамики, в зависимости от подхода к изучаемому вопросу, дивергенции скорости придается двоякий смысл:

1. При рассмотрении различных точек пространства div исчисляется как удельный объемный расход жидкости, протекающий через поверхность бесконечно малого объема, описанного вокруг избранной точки.

2. При слежении за одной и той же элементарной массой жидкости div рассматривается как скорость относительного изменения объема этой массы.

Примечание:

Говоря о расходе жидкости через поверхность, ограничивающую некоторый объем, понимаем, что через отдельные части этой поверхности жидкость может втекать в данный объем, а через другие – вытекать из него.

Суммарный объем считается положительным, если жидкости вытекает больше чем втекает. При обратном балансе расход считается отрицательным.

Если следить за отдельной частицей жидкости, то ее объем может увеличиваться (положительное значение относительного прироста объема) или уменьшаться (отрицательное…).

В этом смысле и понимается отрицательное и положительное значение дивергенции скорости.

Примечание:

1. Судостроение 1988г. 240с.

Павленко В.Г. Основы механики жидкости

стр. 10,11 (Дифференциальные операторы скалярного и и векторного полей)

Будем считать, что в области V задано скалярное поле, если в каждой точке М V определена скалярная величина

Скалярное поле называется однородным, если во всех точках поля величина скаляра одинакова и зависит только от времени.

В этом случае .

Скалярное поле называется стационарным или установившимся, если в каждой точке поля величина скаляра не зависит от времени.

Тогда очевидно

Возникает вопрос – как оценить степень нестационарности или неоднородности произвольного скалярного поля?

В качестве меры нестационарности естественно принять величину частной производной в каждой точке поля.

Для оценки степени неоднородности рассмотрим величину производной φ по произвольному направлению .

Как известно:

(*)

введем векторы:

Тогда равенство (*) можно представить в виде:

(**)

Из равенства (**) видно, что изменчивость скалярного поля в данный момент времени по различным направлениям характеризуется помимо орта направления еще и вектором градиента скалярного поля. Поэтому величину grad φ можно принять в качестве меры неоднородности скалярного поля.

Вектор градиента является дифференциальным оператором скалярного поля. Он ставит в соответствие данному скалярному полю определенное векторное поле – поле градиента.

Будем считать, что в некоторой области V задано векторное поле, если в каждой точке М V определен вектор

Очевидно, что задание одного векторного поля эквивалентно заданию трех скалярных полей.

В векторном поле могут быть определены три дифференциальных оператора – скалярный, векторный, тензорный.

Скалярным дифференциальным оператором поля вектора является дивергенция (расхождение):

Векторным дифференциальным оператором векторного поля является ротор (вихрь):

Понятия однородности и стационарности легко обобщаются на случай векторного поля.

В частности, векторное поле считается стационарным, если стационарны все три определяющие его скалярные поля.

Рассмотрим производную вектора по направлению в фиксированный момент времени.

Как известно:

или в проекциях на оси координат,

(*)

Известно, что произведением тензора Р на вектор с проекциями α_x, α_y, α_z называется новый вектор , проекции которого определяются следующими равенствами:

(**)

Сопоставляя равенства (*) и (**), мы видим, что величину производной можно представить в виде произведения некоторого тензора Т_а^*, определенного выражением:

на вектор – орт направления :

Величина Т_а^* называется дифференциальным тензором векторного поля и может служить мерой неоднородности этого поля.)

Grad Р (градиент давления)

Пусть под скаляром мы будем понимать давление P.

Рассмотрим подынтегральное выражение входящее в формулу (3.18)

Под знаком интеграла содержится произведение p∙dF, которое дает величину силы давления, приложенного к площадке dF.

После умножения не единичный нормальный вектор получаем направление действия этой силы, поскольку давление всегда действует по нормали к рассматриваемой площадке.

Выделим в пространстве некоторый объем ΔV или будем рассматривать одну и ту же массу жидкости, занимающую объем ΔV, (в данном случае различие точек зрения не меняет смысла понятия градиента давления), тогда величина - pdF дает величину и направление силы давления на этот объем по площадке dF.

Знак минус поставлен на том основании, что давление действует всегда по внутренней нормали, а в формуле рассматривается внешняя нормаль к поверхности, охватывающей объем ΔV.

Проинтегрируем теперь по замкнутой поверхности F и получим суммарную силу давления на объем ΔV:

(3.21)

Разделив равенство (3.21) на величину объема ΔV, получим среднее значение силы давления, действующей на единичный объем, заключенный внутри поверхности F.

При ΔV → 0 предел этого отношения дает точное значение величины и направления суммарной силы давления, которой подвергается единичный объем, охватывающий интересующую нас точку пространства или центр инерции движущейся бесконечно малой частички жидкости.

3.2.3 rot (ротор скорости)

Анализируя выражение (3.19), т.е.

и рассматривая частицу жидкости произвольной формы, как это делали при обсуждении div и grad P, невозможно дать физическое трактование rot .

Замечание: rot представляет собой удвоенную угловую скорость вращения частицы жидкости в рассматриваемой точке пространства, т.е.

(3.22)

Символическое исчисление

Оператор Гамильтона

Рассмотрев внимательно математическое содержание операций div, grad, rot (формулы 3.17, 3.18, 3.19), замечаем, что эти три соотношения могут быть представлены одним общим выражением вида:

(*)

где символ …, называемый оператором Гамильтона или вектором Набла, обозначает предел отношения, стоящий в правой части равенств 3.17, 3.18, 3.19.

Известна запись определения производной от функции

(**)

Запись (*) и (**) имеют сходство и различие.

1. Сходство записей (*) и (**):

В записи (**) под знаком предела стоит разность значений (изменения) функции на границах интервала Δx, отнесенная к величине самого интервала.

В записи (*) также под знаком предела стоит отношение изменения (разности) значений некоторой величины (представляемое интегралом по поверхности) на границах интервала к самому интервалу ΔV.

Однако в выражении (**) рассматривается линейный интервал, в в выражении (*) трехмерный.

Поэтому знак можно трактовать, подобно символу , как оператор дифференцирования, но не по одной координате, а по всем трем координатам сразу, т.е. по объему.

2. Различие записей (*) и (**)

Известно, что оператор , примененный к скалярной функции, всегда дает скалярную величину, а к векторной – векторную. Но мы ранее установили, что дивергенция вектора – скаляр, градиент скаляра – вектор, ротор вектора – вектор.

Т.е., казалось бы, применение оператора дифференцирования к векторным и скалярным функциям не приводит к однозначности результатов. Однако будем считать, что знак имеет двойственную природу, являясь одновременно и оператором дифференцирования, и особым символическим вектором, т.е. вектором, не имеющим не определенной длины, ни направления.

Замечание:

Исходя из двойственности (двойственной природы) символа , строится изящное исчисление, широко применяемое в векторном анализе.

т.о.

(3.23)

∙ - есть скалярное произведение вектора набла на вектор скорости (и в то же время определенным образом выполненное дифференцирование), поэтому ясно, что дивергенция вектора есть скорость.

- есть вектор (умножение вектора на скаляр), но в то же время осуществляется дифференцирование скалярной функции по объему.

- есть векторное произведение вектора набла на вектор скорости, что дает производный вектор получившийся в результате определенным образом проведенного дифференцирования векторной функции по объему.

Замечание:

В векторном анализе в основном действуют все те правила, которые справедливы для дифференциального исчисления обычных скалярных функций, однако имеется и некоторое отличие.