Понятия: плотность, удельный вес, модуль упругости

Теперь легко вводятся такие понятия как плотность, удельный вес, модуль упругости.

1) Плотностью жидкости называется ее масса, заключенная в единице объема

, (2.1)

где М – масса жидкости в объеме V

Если жидкость неоднородна, то формула (2.1) определяет лишь среднюю плотность жидкости.

Вводится понятие плотность жидкости в точке

(2.2)

2) В практических приложениях о массе жидкости судят по ее весу.

Вес жидкости, приходящийся на единицу объема, называется удельным весом

(2.3)

где G – вес жидкости в объеме V

Если жидкость неоднородна, то формула (2.3.) определяет лишь средний удельный вес жидкости.

Вводится понятие удельный вес жидкости в данной точке

(2.3)

плотность и удельный вес связаны между собой соотношением

(2.4)

где g – ускорение свободного падения.

3) Плотность и удельный вес меняются с изменением давления и температуры. Эта зависимость существенно различна для капельных жидкостей и газов.

Сжимаемость капельных жидкостей под действием давления характеризуется коэффициентом объемного сжатия β_v, который представляет собой относительное изменение объема жидкости на единицу изменения давления

(2.5)

где v – первоначальный объем жидкости,

ΔV – изменение этого объема при увеличении давления на величину ΔP.

Знак минус в этой формуле обусловлен тем, что положительному приращению давления ΔP соответствует отрицательное приращение (т.е. уменьшение) объема жидкости.

Величина, обратная коэффициенту объемного сжатия, называется модулем упругости жидкости

(2.6)

Температурное расширение капельных жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения β_t, выражающем относительное увеличение объема жидкости при увеличении температуры на 1 градус, т.е.

(2.7)

где V – первоначальный объем жидкости,

ΔV – изменение этого объема при повышении температуры на величину ΔТ.

Силы, действующие в жидкости

Объемные (массовые) силы

Объемными (массовыми) силами назовем силы, которые действуют на все частицы жидкости внутри любого выделенного объема.

Такими силами являются гравитационные (сила тяжести) и инерционная (сила инерции, возникающая при изменении скорости движения жидкости).

Роль этих сил неодинакова. Так:

1. Сила тяжести оказывает слабое влияние на процесс течения и ею будем пренебрегать.

2. Пренебрежение силами инерции недопустимо. Т.к. исключение их из уравнений движения жидкости существенно искажает истинную картину течения.

Примечание: инерционные силы не проявляют себя лишь тогда, когда жидкость движется без ускорения.

Поверхностные силы

Поскольку нами принята гипотеза сплошности, то, выделяя некоторый объем ΔV, мы можем говорить о поверхности, отделяющей этот объем от остальной массы жидкости.

По этой поверхности будут распределены каким-то образом силы взаимодействия выделенного объема с окружающими его частями среды или твердыми стенками.

Таким образом, мы вводим понятие поверхностных сил.

Возьмем достаточно малых элемент ΔS этой поверхности, чтобы его можно было считать плоским.

Разложим силу Δ , действующую на выделенный элемент, на две составляющие: нормальную и касательную.

Рассмотрим их по отдельности.

Касательные силы

Ранее мы отметили, что жидкость отличается от твердых тел - текучестью. Т.е. если к жидкости приложены силы, то она ни на мгновение не способна их сдерживать и начинает течь. Мера легкости, с которой течет жидкость определяется ее вязкостью.

Введем математическое определение этого важнейшего свойства жидкости.

Вначале введем понятие напряжения касательных сил в точке. Для этого перейдем к пределу в отношении при ΔS → 0 и получим значение напряжения касательной силы в некоторой точке, принадлежащей элементарной площадке ΔS:

(2.8)

Ранее мы отмечали, что касательные напряжения в неподвижной жидкости отсутствуют. Они возникают только при проскальзывании одних частиц среды относительно других, т.е. зависят от относительной скорости скольжения жидкости по поверхности ΔS. Очевидно, что чем больше эта скорость, тем больше касательные усилия и тем заметнее проявляется вязкость жидкости.

Казалось бы в рассматриваемой точке не может быть разности скорости (т.е. скорости скольжения) из-за введения нами гипотезы сплошности и следующей из нее непрерывности изменения скорости жидкости. Однако в различных точках движущейся жидкости скорость различна. Значит, можно говорить об изменении скорости в данной точке, т.е. о производной от скорости, которая и определяет скорость относительного смещения одних точек жидкости относительно других. Поскольку нас интересует взаимное скольжение частиц жидкости вдоль поверхности ΔS, то логично взять производную от касательной составляющей скорости к этой поверхности по нормали к ней. Эта величина и будет определять скорость взаимного скольжения в интересующей нас точке.

Но в какой мере касательные напряжения зависят от производной (здесь с – касательная сост. скор. к рассматр. пов. ΔS)

Ньютон в 1687 году предложил гипотезу, между величинами и существует прямопропорциональная зависимость. Т.е. касательные напряжения (напряжение трения) могут вычисляться в движущихся средах по формуле

(2.9)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом динамической вязкости.

Т.о., в соответствии с предположением Ньютона, динамическая вязкость определяется исключительно физическими свойствами среды (т.е. эти свойства, в том числе и , могут зависеть от температуры и давления, но не зависят от распределения скоростей в потоке жидкости).

Замечание:

Эта Гипотеза Ньютона является всего лишь предположением, истинность или ложность которого может быть проверена опытом или теоретическими методами других наук.

Проверка гипотезы Ньютона показала, что она справедлива для большинства жидкостей и поэтому уравнение (2.9) трактуется как математическое выражение закона трения, а величину рассматривают как физическую константу, зависящую от свойств среды.

Жидкости, которые подчиняются закону трения Ньютона, называются ньютоновскими.

Однако существует множество жидкостей (расплавы полимеров, коллоидные растворы, суспензии и т.д.), которые закону трения Ньютона не удовлетворяют.

Жидкости, которые не подчиняются закону трения Ньютона, называются неньютоновскими.

Мы в нашем курсе будем рассматривать лишь ньютоновские жидкости.

Для облегчения и удобства решения задач гидромеханики введем модель (понятия) идеальной жидкости.

Под идеальной жидкостью будем понимать воображаемую жидкость, обладающую абсолютной подвижность (т.е. лишенную вязкости), абсолютно несжимаемую, не расширяющуюся с изменением температуры, абсолютно не способную сопротивляться разрыву (растягивающим усилиям).

Оказывается там, где силы вязкости вносят небольшие поправки к основному движению, где нужно выявить главные особенности течения, модель идеальной жидкости чрезвычайно удобна.

Замечание:

Понятие идеальной жидкости не следует смешивать с понятием идеального газа, которое установилось в термодинамике.

В курсе механики жидкости идеальным газом по-прежнему (аналогично термодинамике) называется газ, подчиняющийся уравнению состояния Клапейрона.

Нормальные силы

Давление

Естественно, что изучение поведения жидкости под действием различных сил наиболее целесообразно начать с условий ее равновесия.

Говоря о равновесии жидкости, будем подразумевать под этим термином состояние покоя одних ее частиц относительно других внутри рассматриваемого объема ΔV конечных размеров.

Т.о. мы не ограничиваем себя рассмотрением лишь неподвижной жидкости (т.к., как известно, движение и покой есть понятия относительные). Т.е. жидкость может перемещаться, ставится лишь условие, чтобы вся интересующая нас масса жидкости, заключенная в выделенном объеме ΔV, двигалась как единое целое.

Рассмотрим условия, которым должны удовлетворять поверхностные силы при равновесии жидкости.

Повторим рассуждения, сделанные в начале раздела 2.3.2. (поверхностные силы).

Т.е. выделим некоторый объем ΔV жидкости, находящейся в равновесии. На поверхности, отделяющей этот объем от остальной массы жидкости, возьмем такой достаточно малый элемент ΔS, чтобы его можно было считать плоским.

Пусть равнодействующая всех сил Δ , действующая на этот элемент, приложена в некоторой точке M ΔS.

Разлагая эту силу по нормали и касательной к элементу ΔS, мы получаем 2 силы: нормальную ΔR_H и касательную ΔR_K.

Нормальная сила ΔR_H вжимает (вдавливает) элемент ΔS в объем ΔV, и, поскольку жидкость сопротивляется сжатию, возникает сила противодействия, которая уравновешивает силу ΔR_H и обеспечивает равновесие жидкости.

Касательная сила ΔR_K стремиться сдвинуть элемент ΔS. Чтобы сдвига не произошло и равновесие не нарушилось необходимо соблюдение условия, чтобы ΔR_K=0.

Т.о. для равновесия элемента ΔS необходимо, чтобы действующая на него сила была сжимающей (т.е. направлена по внутренней нормали к граничной поверхности).

Вывод:

1. Для сохранения равновесия массы жидкости необходимо, чтобы внешние силы, действующие в точках ее граничной поверхности, были направлены только по внутренним нормалям к этой поверхности.

2. Все частицы внутри жидкости, находящейся в равновесии, испытывают всестороннее сжатие.

Отношение (2.10), очевидно, представляет собой «напряжение», т.е. силу, приходящуюся на единицу площади.

Т.к. при равновесии жидкости ΔR_H является сжимающей силой, то представляет собой среднее для данного элемента поверхности напряжение сжатия, которое называют средним гидростатистическим давлением на элементе ΔS.

Для определения точного значения давления в данной точке переходят к пределу в отношении при ΔS → 0, т.е.

(2.11)

Замечание:

1. Если в жидкости, находящейся в равновесии, выделить элементарную площадку ΔS, проходящую через некоторую точку M, то при любой ориентации площадки относительно точки M сила давления на нее будет оставаться неизменной.

Примечание:

Это утверждение называется законом Паскаля или основной теоремой гидростатики.

2. Силы давления проявляют себя и в движущейся среде. Там они части взаимосвязаны со скоростью течения. Но это не означает, что изменение скорости является причиной появления или изменения давления. Взаимосвязь давления и скорости при движении жидкости объясняются тем, что под влиянием внешних воздействий в потоке энергия перераспределяется между ее различными формами, что в конечном итоге сказывается на величине давления и скорости.