Указания к выполнению контрольной задачи Д3

Рекомендуемая учебная литература: [1], часть 2: гл. X, §58 -69, с.484–508; [2]: гл. XXV, §121–127, с.301–323.

Задача Д3– на применение теоремы об изменении кинетической энергии системы:

. (3.43)

Равенство (3.43) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системыв интегральной форме: изменение кинетической энергии Т механической системы при ее перемещении из начального в текущее (конечное) положение равно сумме работ на этом перемещении всех внешних А^e и внутренних Аⁱ сил, приложенных к точкам системы.

Кинетическая энергия механической системы, состоящей из п отдельных материальных точек, определяется по формуле

,

где – скорость k-й материальной точки массой т_k. Соответственно для абсолютно твердою тела

,

где интеграл распространен по массе тела.

Формулы для вычисления кинетической энергии тел в разных случаях движения будут следующими:

1) Поступательное движение:

, (3.44)

где М – масса тела, V_c – скорость его центра масс.

2) Вращательное движение:

, (3.45)

где I_z – момент инерции тела относительно оси вращения z, w – его угловая скорость.

3) Плоскопараллельное движение. В этом случае кинетическая энер­гия тела вычисляется по формуле Кенига:

, (3.46)

где – момент инерции тела относительно оси z, проходящей через его центр масс С.

Если механическая система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия будет равна сумме кинетических энергий T_k всех тел, входящих в систему:

.

Для определения работы силы на элементарном перемещении вводится понятие элементарной работы силы. Элементарная работ силы DА равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения :

DА = × .

Вектор элементарного перемещения направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 38) и по модулю ранен элементарной дуге ds. Исходя из определения скалярного произведения векторов, элементарную работу можно вычислить по следующим формулам:

, (3.47)

где .

При этом знак элементарной работы будет положительным, если угол a острый. Если угол a тупой, то элементарная работа будет отрица­тельной.

Работа силы на конечном переме­щении M₁M₂ (рис. 38) равна криволи­нейному интегралу, взятому вдоль дуги кривой от M₁ до M₂, от элементарной работы:

. (3.48)

Знак работы имеет следующий смысл: если сила способствует движению, то работа положительна, если не способствует движению – отрицательна.

Единицей измерения работы в системе СИ является 1 джоуль (Дж) = 1 Н×м = 1 кг×м²/с².

Примеры работы сил, наиболее часто используемые в задачах

1) Работа сил тяжести:

. (3.49)

При перемещении абсолютно твердого тела из положения с центром масс в точке С₁ (рис. 39) в положение с центром масс и точке С₂ работа силы тяжести тела равна произведению веса тела на вертикальное перемещение его центра масс.

Рис. 39 Рис. 40

2) Работа силы трения скольжения

Величина силы трения, действующей на матери­альную точку при ее движении по шероховатой поверхности (рис. 40), определяется по формуле Кулона–Амонтона , где f – коэффициент трения, N – величина нормальной реакции поверхности. Тогда по формуле (3.48)

.

Если величина силы трения постоянная, то

. (3.50)

3) Работа силы, приложенной к вращающемуся телу

Элементарная работа силы , приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг непод­вижной оси, равна:

. (3.51)

где М_z – момент силы относи­тельно оси вращения z, dj – эле­ментарное угловое перемещение тела.

Работа силы на конечном угле поворота Dj = j₂ – j₁, где j₂ и j₁ –конечное и начальное значения угла j, определяющего положения тела, вычисляется по формуле

. (3.52)

где M_z – момент силы относительно оси вращения z.

В случае постоянного момента

. (3.53)

4) Работа внутренних сил твердого тела

Сумма работ всех внут­ренних сил Аⁱ абсолютно твердого тела на любом его перемещении равна нулю.

При решении задач теоремой об изменении кинетической энергии системы целесообразно воспользоваться, когда по условиям задачи необходимо определить скорости точек механической системы в заданные моменты времени, при условии, что можно вычислить, зная перемещения системы за заданный промежуток времени, работу всех приложенных к системе сил.

В соответствии с вышеизложенным задачу Д3следует решать в следующей последовательности:

1) изобразить механическую систему в начальном и при необхо­димости в конечном положениях;

2) приложить к механической системе все внешние силы;

3) записать теорему об изменении кинетической энергии системы;

4) вычислить кинетическую энергию системы в начальном и конечном ее положениях;

5) вычислить сумму работ всех внешних сил на перемещении системы из начального положения в конечное; если сумма работ при положительном изменении кинетической энергии получится отрицательной, то необходимо ее пересчитать, изменив направление движения механизма на противоположное;

6) подставить результаты пп. 4 и 5 в п. 2;

7) используя уравнение, полученное в п. 6, определить искомую величину.

Пример выполнения задания

Механическая система (рис. 41) состоит из груза 1, коэффициент трения которого о плоскость f, ступенчатых шкивов 2 и 3 с радиусами R₂, r₂, R₃, r₃ и цилиндрического катка 4, соединенных друг с другом не­растяжимыми нитями, намотанными на шкивы. Система приходит в движение из состояния покоя под действием силы тяжести груза 1 и переменной силы F = f(s), приложенной к грузу 1 и зависящей от его перемещения s. На шкивы 2 и 3 при движении действуют постоянные моменты сил сопротивления М₂, и M₃. Учитывая трение скольжения тела 1, моменты сил сопротивления шкивов и пренебрегая другими силами сопротивления, массами нитей, их проскальзыванием по шкивам, определить скорость груза V₁, когда он переместится на расстояние s = s₁. Массу каждого шкива считать равномерно распределенной по его внешнему ободу. Каток считать однородным круглым цилиндром.

Дано: m₁ = 10 кг, т₂ = 12 кг, т₃ = 10 кг, т₄ = 5 кг, R₂ = 0,3 м, r₂ = 0,1 м, R₃ = 0,4 м, r₃ = 0,2 м, f = 0,1, M₂ = 0,5 Н×м, M₃ = 0,3 Н×м, F = 10(1 + 3s) H, s₁ = 1,5 м, a = 45⁰, b = 60°.

Решение. На рис. 41 механическая система показана в начальном положении. На систему действуют внешние силы: силы тяжести , переменная сила , моменты сил сопротивления M₂ и М₃, реакции и силы трения . Запишем теорему об изменении кинетической энергии системы (3.43):

,

Рис. 41

где Т₀ и Т – кинематические энергии системы и начальном и конечном положениях. Так как в начальный момент система находилась в покое, то Т₀ = 0. Для рассматриваемой системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, Аⁱ = 0. Следовательно, имеем

(3.54)

Величина кинетической энергии Т равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃ + Т₄. (3.55)

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, опре­деляется по формуле (3.44):

. (3.56)

Кинетическая энергия шкива 2, вращающегося вокруг неподвижной оси, определяется но формуле (3.45):

.

где угловую скорость шкива w₂ необходимо выразить через искомую скорость . Учитывая, что момент инерции шкива с распределенной по ободу массой относительно оси, проходящей через точку О, определяется по формуле для тонкого однородного кольца (см. выше п.2 примеров вычисления моментов инерции однородных тел) имеем

. (3.57)

Кинетическая энергия шкива 3 также определяется по формуле (3.45):

.

где

.

Следовательно,

. (3.58)

Кинетическую энергию катка 4, совершающего плоскопараллельное движение, определим по формуле Кенига (3.46):

.

где момент инерции катка 4 относительно оси, проходящей через его центр масс, вычисляется но формуле для однородного цилиндра (см. п.5 примеров вычисления моментов инерции однородных тел) . В формуле радиус катка обозначен R₄. Скорость центра масс катка . Учитывая, что каток катится без проскальзывания, имея мгновенный центр скорости в точке К, выразим угловую скорость катка через скорость груза V₁.

.

Тогда

. (3.59)

Подставляя выражения (3.56), (3.57), (3.58), (3.59) в равенство (3.55), получим выражение кинетической энергии системы в конечном положении, когда груз 1 переместится на расстояние s₁, имея в этот момент скорость V₁:

. (3.60)

Подставляя в (3.60) числовые значения, имеем

. (3.61)

Найдем сумму работ всех внешних сил системы на ее перемещении, выражая перемещения системы через перемещение s₁ груза 1. При этом зависимости между перемещениями в задаче будут такими же, как междусоответствующими скоростями: .

Работу сил тяжести и определим по формуле (3.49):

,

, (3.62)

, так как силы тяжести приложены к неподвижным точкам. По этой же причине , так как сила перпендикулярна перемещению; , так как силы и приложены в мгновенном центре скоростей К катка (V_k = 0).

Работу переменной силы вычислим но формуле

. (3.63)

Работу постоянных моментов М₂ и М₃ вычислим по формуле (3.53):

. (3.64)

. (3.65)

Работу силы трения определим по формуле (3.50), учитывая, что :

. (3.66)

Складывая выражения работ всех внешних сил (3.62)–(3.б6) и подставляя числовые значения всех величин, получим

. (3.67)

Подставляя выражения (3.61) и (3.67) в равенство (3.54), имеем . Откуда определяем скорость груза при s₁ = l,5 м V₁ = 3,37 м/с.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ . . . . . . 3

Общие рекомендации по работе над курсом "Теоретическая механика" . . . . 4

s Самостоятельная работа с книгой . . . 4

s Самопроверка . . . . 5

s Выполнение упражнений и решение задач . . 6

s Контрольные задания . . . . 6

s Практические занятия . . . . 7

s Лекции . . . . . 7

s Зачет . . . . . . 7

s Экзамен . . . . . . 7

Программа дисциплины "Теоретическая механика"8

s Учебный план по дисциплине . . . . 8

s Самостоятельное изучение материала . . . 8

s Содержание обзорных лекций . . . . 9

s Содержание практических занятий . . . 10

s Литература . . . . . . 11

Варианты контрольных заданий . . . 12

s Раздел 1. СТАТИКА . . . . . 14

s Раздел 2. КИНЕМАТИКА . . . . 22

s Раздел 3. ДИНАМИКА . . . . 32

Краткие сведения из теории и методические указания по решению задач контрольной работы . . 42

s Раздел 1. СТАТИКА . . . . . 42

s Раздел 2. КИНЕМАТИКА . . . . 56

s Раздел 3. ДИНАМИКА . . . . 80

Учебное издание

Гайфутдинов Айдар Наилович

кандидат физико-математических наук, доцент

Теоретическая механика

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

Корректор Белова И.М.

Худ. редактор Фёдорова Л.Г.

Сдано в набор 19.05.16.

Подписано в печать 25.05.16.

Бумага офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 7. Тираж 100.

Заказ №58.

НХТИ ФГБОУ ВО «КНИТУ», г. Нижнекамск, 423570,

ул. 30 лет Победы, д. 5а