Указания к выполнению контрольной задачи К1

Рекомендуемая учебная литература: [1], часть 1: гл. .VII- IX, § 63-76, с.143–176; [2]: гл. IX, § 36–46, с.95–116.

Задача К1 – на определение скорости и ускорения точки no заданным в координатной форме уравнениям ее движения.

По определению скорость точки в данный момент времени – это вектор, равный производной от радиуса-вектора движущейся точки по вре­мени и направленный по касательной к траектории точки в сторону движе­ния

. (2.1)

В декартовой системе координат Охуz, принимаемой за неподвижную, радиус-вектор движущейся точки (рис. 13) определяется равенством:

,

где – орты координатных осей;

x = x(t), y = y(t), z = z(t). (2.2)

Уравнения (2.2) являются уравнениями движения точки, заданные коор­динатным способом. Эти же уравнения являются уравнениями траектории точки (рис. 13) в параметриче­ском виде, где параметром является время t. Для опреде­ления траектории точки в слу­чае задания ее движения ко­ординатным способом необ­ходимо из уравнения (2.2) ис­ключить время t. Для опреде­ления скорости точки, задан­ной координатным способом, по формуле (2.1) имеем

= , (2.3)

где – проекции вектора скорости точки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль скорости определяется формулой

. (2.4)

Направление вектора скорости определяется направляющими косину­сами:

.

Ускорение точки определяется как первая производная от вектора ско­рости по времени:

= , (2.5)

где – проекции вектора ускорения точки на неподвижные декартовы координаты.

Модуль вектора ускорения вычисляется аналогично модулю вектора скорости:

, (2.6)

а направление вектора ускорения – направляющими косинусами:

.

Движение точки может быть задано также естественным способом. При этом способе должна быть известна траектория точки и задан закон движения точки М по этой траектории: s = s(t), где – дуга, отсчиты­ваемая на траектории от начального положения точки M₀.

Для определения положения точки на траектории задается также направление положительного отсчета дуги (рис. 14).

Рис. 14 Рис. 15

При этом способе ис­пользуются естественные оси с началом в текущем положении точки М на траектории (рис. 15) и единичными векторами . Единичный вектор на­правлен по касательной к тра­ектории в сторону положитель­ного отсчета дуги, единичный вектор направлен по главной нормали траектории в сторону се вогнутости, единичный век­тор направлен по бинормали траектории в точке М.

Орты и лежат в соприкасающейся плоскости, орты и в нормальной плоскости, орты и – в спрямляющей плоскости.

Скорость точки при естественном способе задания движения точки определяется формулой

,

где проекция вектора скорости на касательную определяется по формуле:

. (2.7)

Модуль вектора скорости .

Вектор ускорения точки лежит в соприкасающейся плоскости и раскладывается на касательную и нормальную составляющие:

,

где проекция вектора ускорения на касательную

(2.8)

называется касательным (тангенциальным) ускорением.

Касательное ускорение характеризует «быстроту» изменения величины скорости. При (векторы касательного ускорения и скорости на­правлены в одну сторону) точка в данный момент времени движется уско­ренно, при (векторы касательного ускорения и скорости направ­лены в разные стороны) – замедленно.

Проекция ускорения на главную нормаль

, (2.9)

где r – радиус кривизны траектории в точке М, называется нормальным уско­рением.

Модуль вектора ускорения определяется по формуле

. (2.10)

Направление вектора ускорения определяется направляющими косину­сами

.

В соответствии с вышеизложенным задачу К1необходимо решать в следующей последовательности:

1) выбрать систему координат;

2) исключив время из уравнений движения точки, определить уравне­ние траектории точки и изобразить ее график;

3) определить на графике положение точки в заданный момент време­ни;

4) по заданным уравнениям движения точки определить проекции ско­рости точки и модуль скорости по формулам (2.3) и (2.4) соответственно;

5) построить на рисунке вектор скорости точки в заданный момент времени;

6) по формулам (2.5) и (2.6) определить ускорение точки;

7) построить на рисунке вектор ускорения точки в заданный момент времени;

8) взять производную по времени от модуля скорости и составить вы­ражение для квадрата касательного ускорения;

9) используя формулу (2.10), вычислить нормальное ускорение;

10) используя формулу нормального ускорения (2.9), вычислить радиус кривизны траектории в заданный момент времени;

11) разложить ускорение точки на касательную и нормальную составляющие на рисунке;

12) определить по касательному ускорению характер движения точки в заданный момент времени.

Пример выполнения задания

Движение точки М в плоскости х,у задано уравнениями

(х, у – в см, t – в с) (2.11)

Определить траекторию точки и для момента времени t₁ = 1/2 с найти положение точки M на траектории, ее скорость, полное, касательное и нор­мальное ускорения. Определить также радиус кривизны траектории в точке М.

Решение. Определим траекторию точки М, исключив из уравнений движения (2.11) время t. С этой целью преобразуем уравнения (2.11), приведя тригонометрические функции к одному аргументу:

. (2.12)

Подставляя (2.12) и первое уравнение (2.11), получим или .

Траекторией точки является парабола (рис. 16).

Определим начальное положение точки М₀: при t = 0 x₀ = 5 cos² 0 – 2 = 3, у₀= 4 sin² 0 = 0.

В момент времени t₁ = 1/2 с точка M имеет координаты:

.

Определим проекции скорости точки по формулам (2.3):

,

. (2.13)

Рис. 16

По формуле (2.4) определим модуль скорости:

. (2.14)

Определим проекции и модуль скорости в момент времени t₁ = 1/2 с:

Вектор скорости строим (рис. 16) по составляющим:

.

Определим проекции ускорения точки М, вычисляя производные по времени от проекций се скорости (2.13):

По формуле (2.6) определим модуль ускорения:

.

При t₁ = 1/2 с , , следовательно, a₁ = 3,48 см/с², и вектор ускорения направлен верти­кально вверх.

Найдем производную от функции скорости (2.14) по времени:

При t₁ = 1/2 с .

Учитывая, что , вычислим нормальное ускорение по формуле (2.10):

.

Радиус кривизны вычислим по формуле (2.9)

.

Поскольку векторы скорости и касательного ускорения направлены в од­ну сторону, точка в данный момент времени движется ускоренно.