Расчет теоретических данных.

На практике одной из частых задач научного исследования является определение соответствия эмпирического и теоретического распределений или нескольких эмпирических распределений.

При решении выдвигается нулевая гипотеза - предположение об отсутствии существенных различий между сравниваемыми данными, в частности между встречаемостью признака при различных методах лечения.

Пользуясь данным предположением, производят расчет теоретических данных:

1. Высчитывают, какой процент от общего числа наблюдаемых (n) составляет общее число встречаемости признака (а+с).

2. Поскольку, согласно нулевой гипотезе, различий во встречаемости признака в методах лечения нет, то найденный процент должен сохраняться для встречаемости признака каждого метода лечения. Т.о. рассчитываются ожидаемые (теоретические) числа.

	встречаемость признака	не встречаемость признака	итого
1 метод лечения	%*( a+b)/100		a+b
2 метод лечения	%*( c+d)/100		c+d
всего	(a+c)/n*100=%	b+d	n

Для таблицы 2х2 расчет ведется так:

1. (a+c)/n*100=%

2. %*( a+b)/100=Х

	встречаемость признака	не встречаемость признака	итого
1 метод лечения	Х	a+b-Х	a+b
2 метод лечения	a+c-Х	c+d- (a+c-Х)	c+d
всего	a+c	b+d	n

Обратите внимание: теоретические числа рассчитываются до второго знака после запятой.

Определение соответствия эмпирических и теоретических данных. Критерий χ2.

Критерий χ2 для произвольной таблицы.

Для принятия или отклонения нулевой гипотезы используется непараметрический критерий χ². Общая формула для вычисления критерия , где О – фактически наблюдаемое число, Е – теоретически ожидаемое число.

Следовательно, чтобы определить χ² необходимо:

1. Найти ожидаемые величины;

2. Определить разности (отклонения) между фактическими и ожидаемыми величинами;

3. Возвести эти разности в квадрат;

4. Разделить полученные квадраты разностей на ожидаемые величины;

5. Суммировав результаты деления, получить χ².

Полученную величину χ² необходимо оценить, сравнив ее с табличными значениями, которые зависят от числа степеней свободы df и принятого уровня значимости. df =(число строк - 1)*(число столбцов - 1). Для таблицы 2х2 df =(2 - 1)*(2 - 1)=1.

Нулевая гипотеза отвергается, если вычисленная величина χ² больше табличного значения χ2 при уровне значимости 0,01, т.е. . И принимается, если .

При полном совпадении эмпирических и теоретических величин χ² равен нулю. По мере увеличения различий между сравниваемыми частотами значение χ² возрастает.

Критерий χ2 для таблицы 2х2.

	+	-	итого
+	a	b	a+b
-	c	d	c+d
всего	a+c	b+d	a+b+c+d=n

В таблице 2х2 расчет χ² можно производить также по следующей формуле: .