Тема 9. числовые характеристики систем случайных величин
9.1. Случайная точка (X,Y) распределена с постоянной плотностью вероятностей внутри квадрата R: х + у = 1, у - х = 1, х+ у = -1, х -у = 1. Определить коэффициент корреляции между X и Y.
9.2. В интервале (0,1) зафиксирована точка А. Случайная точка X распределена равномерно в том же интервале. При каком значении А будет равен нулю коэффициент корреляции между случайной величиной X и расстоянием Y=|A-X| от точки А до X ?
9.3 Случайная величина X распределена по нормальному закону с М(х)=1, D(x)=l. Случайные величины Y и Z связаны с X зависимостями: . Найти ковариацию Cov(y,z).
9.4. По одной и той же цели производится три независимых пуска ракет. Вероятность попадания в цель одной ракетой Р=0.9. Случайная величина X - число попаданий в цель, а случайная величина Y - число промахов. Найти коэффициент корреляции между X и Y.
9.5. X и Y связаны линейной зависимостью Y=7X+2. Найти коэффициент корреляции X и Y.
9.6. В радиолокационной системе с разнесенным приемом приемники находятся на таких расстояниях друг от друга, что сигналы на выходах приемников X, Y и Z статистически независимы. Законы, распределения вероятностей для сигналов X, Y и Z нормальные с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями . Найти коэффициент корреляции для сигналов V=X+Z и W=Y+Z.
9.7. Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-1,1), (m - целое положительное). Найти коэффициент корреляции X и Y. Рассмотреть случаи четного и нечетного m. Вычислить коэффициент корреляций для m=2.
9.8. Функция распределения системы двух случайных величин (X,Y), заданных в интервалах , имеет вид:
. Определить коэффициент вариации
случайной величины X.
9.9. Система двух случайных величин (X,Y) подчинена закону равномерного распределения в треугольнике, ограниченном прямыми Х=0, Y=0, X+Y=2. Определить коэффициент корреляции случайных величин X и Y.
9.10. Случайные величины и
независимы и равномерно распределены в интервале (0,1). Расстояние между точками
и
случайная величина
. Найти коэффициент корреляции между
и Y.
9.11. Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно в круге радиусом 6 с центром в точке (0,1). Найти коэффициент корреляции между X и Y.
9.12. Плотность вероятностей двумерной случайной величины (X,Y)
Определить коэффициент корреляции между Х и У.
9.13. Случайный вектор (X,Y) с неотрицательными компонентами имеет функцию распределения
Найти коэффициент корреляция между X и Y.
9.14. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в круге радиусом А с центром в начале координат. Найти отношение математического ожидания расстояния точки (X,Y) от начала координат к среднеквадратическому отклонению этого расстояния.
9.15. Дана плотность вероятностей системы двух случайных величин X и Y:
Определить ковариацию между X и Y.
9.16. Случайные величины X и Y независимы и нормально распределены с одними и теми же параметрами: . Найти коэффициент корреляции величин
и
.
9.17. Случайные величины (n>m) независимы, одинаково распределены и имеют дисперсию
. Найти коэффициент корреляции между суммами:
, если n=50, m=20.
9.18. Случайный вектор (X,Y) равномерно распределен в круге радиусом R с центром в начале координат. Найти коэффициент: корреляции X и Y.
9.19. Плотность вероятностей системы двух случайных величин (X,Y) имеет вид
Определить коэффициент корреляции X и Y.
9.20 Дана плотность вероятностей двумерного случайного вектора (X,Y)
Найти коэффициент корреляции X и Y.
9.21. Плотность распределения вероятности системы двух случайных величин (X,Y) равна
Найти коэффициент корреляции между X и Y.
9.22. Некоторая величина отклоняется от своего среднего значения под воздействием двух случайных факторов А и В. Среднее квадратичное отклонение, вызванное фактором А, равно 1.2, а фактором В - 1.1. Коэффициент корреляции между этими отклонениями равен 0.3. Найти среднее квадратическое отклонение этой величины, вызываемое совместным действием (А+В) обоих факторов.
9.23. В продукций завода брак вследствие дефекта А составляет 3%, а вследствие дефекта В - 4%. Годная продукция составляет 95%. Найти коэффициент корреляции дефектов А и В.
9.24. Брак продукции завода вследствие дефекта А составляет 6%; причем среди забракованной по признаку А продукций в 4% случаев встречается дефект В, а в продукций свободной от дефекта А, дефект В встречается в 1% случаев. Найти коэффициент корреляции между признаками А и В.
9.25. Случайная величина Z есть сумма двух случайных величин
Z==X+Y. М(Х)=1, M(Y)=2, D(X)=0.01, D(Y)=4, . Найти
.
8.26. Дан случайный вектор (X,Y). M(X)=M(Y)=0, D(X)=100, D(Y)=25, cov(X,Y)=16. Используя линейное преобразование , привести данный вектор к вектору
с некоррелированными составляющими. Найти дисперсию
.
8.27. События А и В имеют одинаковую вероятность 0.4. Какова должна быть условная вероятность Р(А/В), чтобы коэффициент корреляции между А и В был равен 0.7.
8.28. В таблице записано распределение двух дискретных случайных величин X и Y
![]() | |||
1/4 | 1/8 | 1/8 | |
1/8 | 1/16 | 1/16 | |
1/8 | 1/16 | 1/16 |
Найти коэффициент корреляции между X и Y.
9.29. В урне лежит 100 шаров, из них 25 - белых. Из урны последовательно вытаскивают два шара. Пусть - число белых шаров, появившихся при вытаскивании i-гo шара (i=l,2). Найти коэффициент корреляции между
и
.
8.30. Случайные величины взаимно некорреклированы и имеют одинаковую дисперсию. Пусть
Найти коэффициент корреляции между