Деформации при чистом изгибе

При чистом изгибе в сечении возникает только один внутренний силовой фактор — изгибающий момент.

Деформации при чистом изгибе - student2.ru Рассмотрим деформацию бруса, нагруженного внешней парой сил с моментом т (рис. 32.1а).

При чистом изгибе выполняются гипотезы плоских сечений и ненадавливаемости слоев.

Сечения бруса, плоские и пер­пендикулярные продольной оси, после деформации остаются плоскими и пер­пендикулярными продольной оси.

Продольные волокна не давят друг на друга, поэтому слои испытывают простое растяжение или сжатие.

Действуют только нормальные на­пряжения.

Поперечные размеры сечений не меняются.

Продольная ось бруса после дефор­мации изгиба искривляется и образует дугу окружности радиуса ρ (рис. 32.1б). Материал подчиняется закону Гука.

Можно заметить, что слои, расположенные выше продольной оси, растянуты, расположенные ниже оси — сжаты (рис. 32.1б). Так как деформации по высоте сечения меняются непрерывно, имеется слой, в котором нормальные Деформации при чистом изгибе - student2.ru напряжения σ равны нулю; такой слой называют нейтральным слоем (НС). Доказано, нейтральный слой проходит через центр тяжести сечения; ρ — радиус кривизны ней­трального слоя.

Рассмотрим деформа­цию слоя, расположенного на расстоянии у от ней­тральной оси (участок АВ, рис. 32.1).

Длина участка до дефор­мации равна длине нейтраль­ной оси:

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Абсолютное удлинение слоя

Деформации при чистом изгибе - student2.ru (рис. 32.1б).

Относительное удлинение

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Относительное удлинение прямо пропорционально расстоянию слоя до нейтральной оси.

Используем закон Гука при растяжении: σ = Еε.

Получим зависимость нормального напряжения при изгибе от положения слоя:

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Формула для расчета нормальных напряжений при изгибе

Деформации при чистом изгибе - student2.ru Рассмотрим изогнутый участок бруса dz (рис. 32.2).

dN — элементарная продоль­ная сила в точке сечения;

dA — площадь элементарной площадки;

dm — элементарный момент, образованный силой относитель­но нейтрального слоя.

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Суммарный изгибающий момент сил упругости в сечении

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Деформации при чистом изгибе - student2.ru — осевой момент инерции сечения (лекция 25). Таким образом,

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Откуда: Деформации при чистом изгибе - student2.ru Ранее получено Деформации при чистом изгибе - student2.ru

После ряда преобразований получим формулу для определения нормальных напряжений в любом слое поперечного сечения бруса:

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Деформации при чистом изгибе - student2.ru где Jx — геометрическая характеристика сечения при изгибе.

Эпюра распределения нормальных напряжений при изгибе изоб­ражена на рис. 32.3.

По эпюре распределения нор­мальных напряжений видно, что максимальное напряжение возникает на поверхности.

Подставим в формулу напряжения значение у = ymax

Получим

Деформации при чистом изгибе - student2.ru Деформации при чистом изгибе - student2.ru

 
  Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Отношение принято обозначать

Эта величина называется моментом сопротивления сечения при изгибе, или осевым моментом сопротивления. Размерность — мм3.

Wx характеризует влияние формы и размеров сечения на проч­ность при изгибе. Напряжение на поверхности

Деформации при чистом изгибе - student2.ru

Наши рекомендации