Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.
32. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной и их свойства. Пусть функция зависит от переменной
и дифференцируема в точке
. Может оказаться, что в точке
дифференциал
, рассматриваемый как функция от
, есть также дифференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от дифференциала
данной функции, который называется дифференциалом второго порядкафункции
. Дифференциал второго порядка обозначается следующим образом:
Аналогично определяются дифференциалы более высоких порядков. Дифференциалом
-го порядка
функции
называется дифференциал от дифференциала
-го порядка этой функции, то есть
Случай независимой переменной Пусть - функция независимой переменной
, имеющая дифференциалы любого порядка. Первый дифференциал функции
где - некоторое приращение независимой переменной
, которое мы задаем сами и которое не зависит от
. По определению
Переменной является аргумент
. Значит, для дифференциала величина
является постоянной и поэтому может быть вынесена за знак дифференциала. То есть дифференциал второго порядка
Для вычисления дифференциала применим формулу дифференциала первого порядка к функции
. Тогда получим:
Итак,
Рассматривая последовательно дифференциалы все более высокого порядка, получим формулу дифференциала
-го порядка:
Задание. Найти дифференциал третьего порядка функции Решение. По формуле
Найдем третью производную заданной функции:
Тогда
Ответ.
d2 f |
dx2 |
Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x Î (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y =f '(x) .Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).
Вторая производная обозначается символами f ''(x) или
Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x) (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f(n) (x). Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x0, то для существования f(n) (x0) необходимо существованиеf(n − 1) (x) не только в точке x0, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии f(n) (x0)=d dx f(n − 1) (x0).
Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.
Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций
Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой
( u + v )(n) = u(n) + v(n) , |
а производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница
( u · v)(n) = u(n) · v + n u(n − 1) · v' +
u(n − 2) · v'' + … + u · v(n) . |
Формула Лейбница может быть записана в виде
(u · v)(n) =
Cnk · u(n − k) v(k) , |
n! |
k! (n − k)! |
где u(0) = u(x), v(0) = v(x) и Cnk = — биномиальные коэффициенты.
33. Теорема Ролля, Лагранжа и Коши.
Теорема Ролля Пусть функция f (x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и на концах отрезка принимает равные значения f(a) = f(b). Тогда существует точка c Î (a, b), в которой f ' (c) = 0. Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a, b],то по свойству непрерывных функций она достигает на этом отрезке максимальное значение М и минимальное значение m. Возможны два случая: максимум и минимум достигаются на концах отрезка или что – либо (или максимум, или минимум) попадает вовнутрь интервала. В первом случае f (x) = const = M = m. Поэтому производная равна нулю f ' (c) = 0 в любой точке отрезка [a, b], и теорема доказана. Во втором случае, так как f (x) дифференцируема в точке c, из теоремы Ферма следует, что f ' (c) = 0.
Геометрический смысл теоремы Ролля Геометрическитеорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a, b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах f(a) = f(b) равные значения, существует точка (c; f(c)), в которой касательная параллельна оси Оx.
Теорема Лагранжа Если функция f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a, b], дифференцируема внутри него, то существует такая точка с Î (a, b), что выполняется равенство f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Составим уравнение хорды, проходящей через точки (a, f(a)), (b, f(b))
y = f(a) + Q·(x - a), где есть угловой коэффициент хорды. Рассмотрим разность ординат функции и хорды F(x) = f(x) − f(a) − Q·(x − a). Очевидно, что функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Поэтому на интервале (a, b) найдётся такая точка с, для которой F ' (c) = 0. То есть F ' (c) = f ' (c) − Q = 0. Откуда следует
. И, наконец, f(b) − f(a) = f '(c)·(b − a).
Геометрический смысл теоремы Лагранжа Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки M1 (a; f(a)) и M2(b; f (b)) графика функции у = f(x), a f ' (c) — угловой коэффициент касательной к графику в точке (c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка "c" такая, что касательная к графику в точке (c; f(c)) параллельна секущей M1M2. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует. Замечание. Формула Лагранжа по структуре похожа на формулу линеаризации f (x) − f (x0) ≈ f '(x0)·(x −x0).
Отличие только лишь в выборе точки для подсчета значения производной и в знаке равенства.
Теорема Коши Пусть функции f (x) и g(x) непрерывны на [a, b] и дифференцируемы на (a, b). Пусть, кроме того, во всех точках интервала (a, b) функция g(x) имеет ненулевую производную g ' (x) ≠ 0. Тогда существует точка c Î (a, b), такая, что справедлива формула
Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем сначала, что знаменатель левой части формулы не обращается в ноль. Если допустить, что g(b) = g(a), то по теореме Ролля для функции g(x) найдется точка x Î (a, b), в которой g ' (x) = 0. А это противоречит условию, что g ' (x) ≠ 0 на (a, b). Рассмотрим функцию
.Функция F(x) на [a, b] удовлетворяет условиям теоремы Ролля: F(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), и, кроме того, на концах интервала принимает равные значения F(a) = F(b) = 0. По теореме Ролля для F(x) существует точка c Î (a, b) , такая ,что F ' (c) = 0. Так как
, то
. Откуда, учитывая, что g '(c) ≠ 0, следует искомое соотношение.
Правило Лопиталя.
Первое правило Лопиталя
Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны на отрезке [а, b] и дифференцируемы на интервале (а, b), и пусть g ' (x) ≠ 0 всюду в (а, b). Пусть, далее, известно, что f (а) = g (а) = 0. Тогда говорят, что отношение при х → а + 0 представляет собой неопределённость вида 0/0.Теорема. Если при указанных условиях
, то и
. Доказательство. Предположим, что ∞ < A < + ∞. Для заданного как угодно малого числа e > 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, x0) выполнялось неравенство
.
Применим теорему Коши к отрезку [а, x0], Если х [а, x0], то существует такая точка с
[а, x], что
и, следовательно, для всех х
[а, x0] справедливо неравенство
. Это означает, что
. Второе правило Лопиталя Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в интервале (a, b) (может быть, бесконечном) и g' (x) не обращается в нуль в (a, b). Пусть известно, что
. Тогда говорят, что отношение
прих → а + 0 представляет собой неопределённость вида
. Теорема. Если при указанных условиях
, то и
. Доказательство. Пусть А конечно. Для заданного как угодно малого числа ε > 0 выберем х0 так, чтобы в интервале (а, x0) выполнялось неравенство
. Определим функцию D(x, x0) из условия
. Имеем
при x → a + 0. Применяя к отрезку [x, x0] теорему Коши, получаем, что некоторой точки с
[x, x0]
Отсюда для всех х, для которых | D( x, x0) - 1 | < ε, находим
Так как ε произвольно мало, то
, что и требовалось доказать.