Тема: «Метод парных сравнений»
В последние годы широкое развитие и применение получил метод парных сравнений, предложенный Т. Саатти.
Суть метода парных сравнений состоит в том, сто альтернативы сравниваются попарно и составляется матрица.
(1)
– приближенное значение
где указывает на то, во сколько раз i альтернатива «лучше» j.
Будем считать, что - это истинные оценки альтернатив, которые мы не знаем, но хотим найти хотя бы приближенно.
– обратно симметричная матрица (2)
- истинное значение
То, что , справедливо тогда, когда матрица
будет совпадать с матрицей
и в этом случае матрица
называется согласованной.
Равенство 3 выполняется тогда, когда матрица и
совпадают и матрица
в этом случае называется согласованной.
При согласованной матрице n является собственным числом матрицы
, а вектор
собственным вектором матрицы
Отсюда вытекает следующий алгоритм поиска приближенного значения вектора
ранжирующего альтернативу.
Так как матрица как правило, не является согласованной, то она приближенно равна матрице
, а поэтому собственные числа и собственные векторы матрицы
близки к соответствующим собственным числам и собственным векторам матрицы
Тема: «Анализ методов парных сравнений (индекс согласованности; неустойчивость корней; достоинства проведения опросов в виде парных сравнений)»
Известно, что у матрицы собственные числа равны 0,0,…,0,n, поэтому у матрицы
будет n-1 собственное число мало отличающееся от нуля, а последнее число будет близким к n. Поэтому для ранжирования альтернатив находят собственные числа матрицы
выбирают среди них самое большое
находят собственный вектор соответствующий максимальному собственному числу и по этому вектору ранжируют альтернативу.
Для оценки близости матрицы парных сравнений используются отношения индекса согласованности:
где - максимальное собственное число матрицы парных сравнений
n - ее порядок к случайному индексу матрицы соответствующего размера.
Если оценка согласованности не превосходит 0,1, то матрицу считают близкой к согласованной и в этом случае можно применять описанные процедуры.
Таблица – Значения случайных индексов для матриц различных порядков
Порядок матрицы | Случайный индекс | Порядок матрицы | Случайный индекс |
0,58 | 1,49 | ||
0,90 | 1,51 | ||
1,12 | 1,48 | ||
1,24 | 1,56 | ||
1,32 | 1,57 | ||
1,41 | 1,59 | ||
1,45 |
Описанный метод имеет существенные ограничения в применении, связанные с трудностями сравнения альтернатив, имеющих большое число параметров и, как следствие, трудностями получения согласованных матриц. Справедливости ради, необходимо отметить, что после появления метода парных сравнений появились и методы корректировки матрицы сравнений , позволяющие улучшить ее согласованность. Тем не менее, получить удовлетворительные результаты при решении производственных задач удается далеко не всегда.
Пример.
Задана матрица парных сравнений 3 альтернатив. Проверить согласованность этой матрицы, провести ранжирование этих альтернатив методом парных сравнений (методом Саатти).
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
3,136 |
3,1 |
3,15 |
+ |
- |
2,8 |
3,2 |
+ |
+ |
+ |
- |
3,1 |
Индекс согласованности:
IC = = (3,136-3) / (3-1) = 0,068
Оценка согласованности:
ОС = 0,068 / 0,58 = 0,117