Кафедра «Информационных технологий и математики»

Кафедра «Информационных технологий и математики»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания

к контрольнымработам для студентов

заочной формы обучения

Санкт-Петербург

Одобрено на заседании кафедры «Информационных технологий и математики»протокол №____от «___» ________2015 г.

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочной формы обучения.

Сборник содержит задачи контрольных работ по теории вероятностей и математической статистики для студентов заочной формы обучения всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПбУУЭ.

Составители:

к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская

к.э.н. Т.А. Черняк;

Рецензент:

© Санкт-Петербургский университет управления и экономики

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Требования к оформлению контрольных работ
	Контрольная работа № 1. Элементы теории вероятностей
	Краткое содержание (программа) курса
	Приложение 1. Значения функции Лапласа
	Приложение 2. Таблица значений

Требования к оформлению

Контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки решения задач и методических указаний проверяющего работу.

3. Условия задач переписывать полностью необязательно, достаточно указать номера задач по данному сборнику. В условия задач следует сначала подставить конкретные числовые значения параметров т и п, после чего выполняется их решение.

4. Задачи в контрольной работе нужно располагать в порядке возрастания номеров.

Формирование исходных данных к задачам

Каждая контрольная работа состоит из задач одного или нескольких разделов сборника.

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от личного шифра студента, выполняющего работу.

Числовыезначения параметров т и п определяются по двум последним цифрам личного шифра (А – предпоследняя цифра, В– последняя цифра). Значение параметра т выбирается из таблицы 1, а значение параметра п – из таблицы 2. Числат и пследует подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1 (выбор параметра т)

А
т

Таблица 2 (выбор параметра п )

В
п

Например, если шифр студента 1037, то А = 3, В = 7, и из таблиц находим, что т = 4, п = 1. Полученные т = 4 и п = 1 подставляются в условия всех задач контрольной работы студента.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

а) основная литература:

1. Волкова В.Н. Теория систем и системный анализ. Учебник для вузов. — М. : Издательство Юрайт, 2010 г. — 679 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9916-0229-7

2. Гусева Е.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. — М. : Флинта, 2011 г. — 220 с. — Электронное издание. — ISBN 978-5-9765-1192-7

3. Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. Стандарт третьего поколения. — СПб. : Питер, 2012 г. — 192 с. — Электронное издание. — УМО. — ISBN 978-5-496-00120-5

4. Маталыцкий М.А. Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы. — Минск: Вышэйшая школа, 2012 г. — 720 с. — Электронное издание. — МО. — ISBN 978-985-06-2105-4

5. Данко, П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах : учеб. Пособие : в 2 ч. / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Оникс 21 век, 2005.

б) дополнительная литература:

6. Богомолов, Н.В., Математика: учебник для бакалавриата: рекомендовано Мин. образования/ Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - М.: Юрайт, 2012. - 396 с. - (Бакалавр). - ISBN 978-5-9916-1631-7: 291.61 р.

7. Гмурман, В. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для вузов: рекомендовано Мин. образования/ В. Е.Гмурман. - 11-е изд., перераб. и доп.. - М.: Юрайт, 2011. - 404 с. - (Основы наук). - Приложения: с. 388.. - ISBN 978-5-9916-1266-1: 336.71 р.

Краткие теоретические сведения для выполнения контрольной работы № 1 и решение типовых задач

Пример 1

В ящике находятся 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наудачу выбирают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынуты 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара (событие А)?

Решение

В ящике всего 30 шаров. При данном испытании число всех равновозможных элементарных исходов будет . Подсчитаем число элементарных исходов, благоприятствующих событию А. Три красных шара из 15 можно выбрать способами, два синих шара из 9 можно выбрать способами, один зеленый из 6 – способами. Следовательно (в силу принципа произведения в комбинаторике), число исходов, благоприятствующих событиюА, будет .

По формуле находим искомую вероятность

.

Пример 2

На пяти одинаковых карточках написаны буквы И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово МИНСК?

Решение

Из пяти различных элементов можно составить перестановок

.

Значит, всего равновозможных исходов будет 120, а благоприятствующих данному событию – только один. Следовательно,

.

Пример 3

Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и помнил лишь, что эти цифры различные. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

Решение

Событие А – набраны три нужные цифры. Вероятность , – число исходов, благоприятствующих событиюА, – число всех возможных вариантов набора, поэтому искомая вероятность

.

Формула полной вероятности

Пусть имеется n попарно несовместных и единственно возможных событий H_i, i=1,2,…,n и пусть событие А может осуществиться в результате реализации одного из событий H_i, которые называют гипотезами.

Пусть вероятности Р(Н_i) наступления случайных событий H_i известны и известны условные вероятности Р(А/Н_i) случайного события А по каждому из событий Н_i.

Требуется найти вероятность Р(А) случайного события А, которая называется полной вероятностью события А, она определяется по формуле

.

Следует обратить внимание на то, что , так как гипотезы образуют полную группу событий.

Пример

Имеются две коробки, в которых находятся по 8 красных карандашей и 4 синих и четыре коробки, в которых находятся по 5 красных карандашей и 7 синих. Наудачу выбирается коробка и из нее наудачу извлекают карандаш. Найти вероятность того, что вынутый карандаш красный.

Решение

Событие А – вынут красный карандаш.

Возможны следующие гипотезы:

– выбрана коробка, в которой 8 красных и 4 синих карандаша,

– выбрана коробка, в которой 5 красных и 7 синих карандашей.

Вероятности гипотез равны: .

Условные вероятности событияА при этих гипотезах равны: , .

По формуле полной вероятности

.

Следствия формулы Бернулли

1. Вероятность того, что в серии из n опытов событиеА появится хотя бы один раз вычисляется по формуле: .

2. Вероятность того, что в серии из n опытов событиеА появится не менее k раз (k и больше) находится по формуле: .

3. Вероятность того, что в серии из n опытов событиеАпоявится не более k раз (k и меньше) находится по формуле: .

4. Число опытов необходимых для того, чтобы событие А появилось хотя бы один раз с вероятностью не менее заданной Р находится по формуле: , где Р – заданная вероятность, р – вероятность появления событияА в каждом опыте.

5. Число наступлений события А называется наивероятнейшим, если оно имеет наибольшую вероятность по сравнению с вероятностями наступления события А любое другое количество раз. Наивероятнейшее число наступлений событияА в nиспытаниях заключено между числами np-q и np+p .

Пример 1

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для данного стрелка 0,7 и не зависит от номера выстрела. Найти вероятность того, что при 5 выстрелах произойдет ровно 2 попадания в мишень.

Решение

Поскольку , то . По условию , , по формуле Бернулли получим

.

Пример 2

Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее восьми машин, а имеется их десять. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна 0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы на ближайший день.

Решение

Автобаза будет работать нормально (событие D), если на линию выйдет или восемь (событие А), или девять (событие В), или все десять (событие С) автомашин.

По теореме сложения вероятностей

.

Каждое слагаемое найдем по формуле Бернулли. Поскольку вероятность невыхода каждой автомашины на линию равна 0,1, то вероятность выхода автомашины на линию будет равна 0,9, т.е. . Из условия следует, что . Следовательно,

.

Пример 3

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах и соответствующую этому числу вероятность.

Решение

Воспользуемся неравенством

.

Поскольку , , то . Вероятность находим по формуле Бернулли:

.

Пример 4

Вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная . Найти вероятность того, что среди 5 деталей будет не более двух нестандартных (событие А).

Решение

Искомую вероятность находим, используя следствие из формулы Бернулли:

.

Числовые характеристики ДСВ

Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.

Обозначение математического ожидания:

М.О. .

Таким образом:

.

ДисперсиейСВ Х называется МО квадрата отклонения СВ от ее математического ожидания:

.

Дисперсия ДСВ, принимающей конечное число значений, определяется формулой

.

Замечание. Дисперсию также можно находить, используя свойство дисперсии, по формуле

.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

.

Пример

Ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

	0,1	0,2	0,3

Найти вероятности , если математическое ожидание . Построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения и построить ее график. Вычислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Решение

Сумма вероятностей ряда распределения . В нашем случае

.

Математическое ожидание находится по формуле , в нашем случае

.

Получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными для нахождения и :

,

решая которую находим

.

Тогда ряд распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

Построим многоугольник распределения, для этого в прямоугольной системе координат строим точки , , , , , затем соединяем эти точки отрезками прямых. Ломаная является многоугольником распределения данной случайной величины.

0,3 М₃ М₄

М₂ 0,2

М₁ 0,1 М₅

0 2 4

Для нахождения функции распределения ДСВ Х используем формулу :

при ,

при ,

при ,

при

,

при

,

при

.

Итак,

.

График функции распределения :

1

0,9

0,6

0,3

0,1

0 2 4 х

Дисперсия дискретной случайной величины находится по формуле , в нашем случае

.

Среднее квадратическое отклонение находится по формуле , в нашем случае

.

Числовые характеристики НСВ

Математическое ожидание для НСВ, все значения которой принадлежат отрезку определяется формулой:

.

Если все значения непрерывной случайной величины принадлежат промежутку , то математическое ожидание определяется формулой:

,

если несобственный интеграл сходится абсолютно

Дисперсия НСВ, все значения которой принадлежат отрезку , определяется формулой

.

Если непрерывная случайная величина принимает значения, принадлежащие промежутку , то ее дисперсия определяется формулой

,

если несобственный интеграл сходится абсолютно.

Среднее квадратическое отклонение случайной величины находится по формуле

.

Пример

Плотность распределения непрерывной случайной величины Х имеет вид

.

Найти: параметрА, функцию распределения , вероятность попадания случайной величины Х в интервал , математическое ожидание и дисперсию .

Решение

Для определения значенияА воспользуемся условием . Вычислим интеграл

,

плотность распределения случайной величины Х примет вид

Для того, чтобы найти функцию распределения , воспользуемся формулой .

При получаем ,

при находим

,

при : .

Таким образом, искомая функция распределения имеет вид

Вероятность попадания СВХвинтервал найдем по формуле , она будет равна

.

Математическое ожидание находим по формуле :

.

Дисперсию найдем по формуле :

,

тогда .

Краткое содержание (программа) курса

Теория вероятностей

Элементы комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки).Основные понятия теории вероятностей.Алгебра событий.Аксиомы теории вероятностей. Следствия из аксиом теории вероятностей.Классическое определение вероятности.Геометрическое определение вероятности.Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.Теорема сложения вероятностей.Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли. Следствия из формулы Бернулли. Формула Пуассона.

Понятие случайной величины (СВ) и ее закона распределения. ДСВ и НСВ. Ряд распределения. Многоугольник распределения. Функции распределения, ее свойства. Плотность распределения, ее свойства. Числовые характеристики СВ (математическое ожидание, мода, медиана, дисперсия, СКО). Начальные и центральные моменты СВ.Биномиальное распределение.Распределение Пуассона. Равномерное распределение. Показательное распределение. Нормальный закон распределения и его параметры.Вероятность попадания СВ, подчиненной нормальному закону, на заданный участок. Функция Лапласа. Дискретные и непрерывные системы случайных величин (ССВ). Система 2-х СВ, матрица распределения.Функция распределения двумерной СВ, ее свойства. Числовые характеристики ССВ. Корреляционный момент, коэффициент корреляции, корреляционная матрица. Закон больших чисел. Предельные теоремы.

Приложение 1

Значения функции Лапласа

х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
0,00	0,0000	0,30	0,2358	0,60	0,4515	0,90	0,6319
0,01	0,0080	0,31	0,2434	0,61	0,4581	0,91	0,6372
0,02	0,0160	0,32	0,2510	0,62	0,4647	0,92	0,6424
0,03	0,0239	0,33	0,2586	0,63	0,4713	0,93	0,6476
0,04	0,0319	0,34	0,2661	0,64	0,4878	0,94	0,6528
0,05	0,0399	0,35	0,2737	0,65	0,4843	0,95	0,6579
0,06	0,0478	0,36	0,2812	0,66	0,4907	0,96	0,6629
0,07	0,0558	0,37	0,2886	0,67	0,4971	0,97	0,6680
0,08	0,0638	0,38	0,2961	0,68	0,5035	0,98	0,6729
0,09	0,0717	0,39	0,3035	0,69	0,5098	0,99	0,6778
0,10	0,0797	0,40	0,3108	0,70	0,5161	1,00	0,6827
0,11	0,0876	0,41	0,3182	0,71	0,5223	1,01	0,6875
0,12	0,0955	0,42	0,3255	0,72	0,5285	1,02	0,6923
0,13	0,1034	0,43	0,3328	0,73	0,5346	1,03	0,6970
0,14	0,1113	0,44	0,3401	0,74	0,5407	1,04	0,7017
0,15	0,1192	0,45	0,3473	0,75	0,5467	1,05	0,7063
0,16	0,1271	0,46	0,3545	0,76	0,5527	1,06	0,7109
0,17	0,1350	0,47	0,3616	0,77	0,5587	1,07	0,7154
0,18	0,1428	0,48	0,3688	0,78	0,5646	1,08	0,7199
0,19	0,1507	0,49	0,3759	0,79	0,5705	1,09	0,7243
0,20	0,1585	0,50	0,3829	0,80	0,5763	1,10	0,7287
0,21	0,1663	0,51	0,3899	0,81	0,5821	1,11	0,7330
0,22	0,1741	0,52	0,3969	0,82	0,5878	1,12	0,7373
0,23	0,1819	0,53	0,4039	0,83	0,5935	1,13	0,7415
0,24	0,1897	0,54	0,4108	0,84	0,5991	1,14	0,7457
0,25	0,1974	0,55	0,4177	0,85	0,6047	1,15	0,7499
0,26	0,2051	0,56	0,4245	0,86	0,6102	1,16	0,7540
0,27	0,2128	0,57	0,4313	0,87	0,6157	1,17	0,7580
0,28	0,2205	0,58	0,4381	0,88	0,6211	1,18	0,7620
0,29	0,2282	0,59	0,4448	0,89	0,6265	1,19	0,7660
х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)	х	F(х)
1,20	0,7699	1,50	0,8664	1,80	0,9281	2,50	0,9876
1,21	0,7737	1,51	0,8690	1,81	0,9297	2,55	0,9892
1,22	0,7775	1,52	0,8715	1,82	0,9312	2,60	0,9907
1,23	0,7813	1,53	0,8740	1,83	0,9328	2,65	0,9920
1,24	0,7850	1,54	0,8764	1,84	0,9342	2,70	0,9931
1,25	0,7887	1,55	0,8789	1,85	0,9357	2,75	0,9940
1,26	0,7923	1,56	0,8812	1,86	0,9371	2,80	0,9949
1,27	0,7959	1,57	0,8836	1,87	0,9385	2,85	0,9956
1,28	0,7995	1,58	0,8859	1,88	0,9399	2,90	0,9963
1,29	0,8029	1,59	0,8882	1,89	0,9412	2,95	0,9968
1,30	0,8064	1,60	0,8904	1,90	0,9426	3,00	0,9973
1,31	0,8098	1,61	0,8926	1,91	0,9432	3,10	0,9981
1,32	0,8132	1,62	0,8948	1,92	0,9451	3,20	0,9986
1,33	0,8165	1,63	0,8969	1,93	0,9464	3,30	0,9990
1,34	0,8198	1,64	0,8990	1,94	0,9476	3,40	0,9993
1,35	0,8230	1,65	0,9011	1,95	0,9488	3,50	0,9995
1,36	0,8262	1,66	0,9031	1,96	0,9500	3,60	0,9997
1,37	0,8293	1,67	0,9051	1,97	0,9512	3,70	0,9998
1,38	0,8324	1,68	0,9070	1,98	0,9523	3,80	0,9999
1,39	0,8355	1,69	0,9090	1,99	0,9534	3,90	0,9999
1,40	0,8385	1,70	0,9109	2,00	0,9545	4,00	0,9999
1,41	0,8415	1,71		2,05	0,9596	4,42	1-10-5
1,42	0,8444	1,72	0,9146	2,10	0,9643	4,89	1-10-6
1,43	0,8473	1,73	0,9164	2,15	0,9684	5,33	1-10-7
1,44	0,8501	1,74	0,9181	2,20	0,9722
1,45	0,8529	1,75	0,9199	2,25	0,9756
1,46	0,8557	1,76	0,9216	2,30	0,9786
1,47	0,8584	1,77	0,9233	2,35	0,9812
1,48	0,8611	1,78	0,9249	2,40	0,9836
1,49	0,8638	1,79	0,9265	2,45	0,9857

Приложение 2

Таблица значений c² в зависимости от r=n-1 и p.

	р
n-1	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,70	0,50	0,30	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
	0,000	0,001	0,004	0,016	0,064	0,148	0,455	1,074	1,642	2,71	3,84	5,41	6,64	10,83
	0,020	0,040	0,103	0,211	0,446	0,713	1,386	2,41	3,22	4,60	5,99	7,82	9,21	13,82
	0,115	0,185	0,352	0,584	1,005	1,424	2,37	3,66	4,64	6,25	7,82	9,34	11,84	16,27
	0,297	0,429	0,711	1,064	1,649	2,20	3,36	4,88	5,99	7,78	9,49	11,67	13,28	18,46
	0,554	0,752	1,145	1,610	2,34	3,00	4,35	6,06	7,29	9,24	11,07	13,39	15,09	20,5
	0,872	1,134	1,635	2,20	3,07	3,93	5,35	7,23	8,56	10,64	12,59	15,03	16,81	22,5
	1,239	1,564	2,17	2,83	3,82	4,67	6,35	8,38	9,80	12,02	14,07	16,62	18,48	24,3
	1,646	2,03	2,73	3,49	4,59	5,53	7,34	9,52	11,03	13,36	15,51	18,17	20,1	26,1
	2,09	2,53	3,32	4,17	5,38	6,39	8,34	10,66	12,24	14,68	16,92	19,68	21,7	27,9
	2,56	3,06	3,94	4,86	6,18	7,27	9,34	11,78	13,44	15,99	18,31	21,2	23,2	29,6
	3,05	3,61	4,58	5,58	6,99	8,15	10,34	12,90	14,63	17,28	19,68	22,6	24,7	31,3
	3,57	4,18	5,23	6,30	7,81	9,03	11,34	14,01	15,81	18,55	21,0	24,1	26,2	32,9
	4,11	4,76	5,89	7,04	8,63	9,93	12,34	15,12	16,98	19,81	22,4	25,5	27,7	34,6
	4,66	5,37	6,57	7,79	9,47	10,82	13,34	16,22	18,15	21,1	23,7	26,9	29,1	36,1
	5,23	5,98	7,26	8,55	10,31	11,72	14,34	17,32	19,31	22,3	25,0	28,3	30,6	37,7
	5,81	6,61	7,96	9,31	11,15	12,62	15,34	18,42	20,5	23,5	26,3	29,6	32,0	39,3
	6,41	7,26	8,67	10,08	12,00	13,53	16,34	19,51	21,6	24,8	27,6	31,0	33,4	40,8
	7,02	7,91	9,39	10,86	12,86	14,44	17,34	20,6	22,8	26,0	28,9	32,3	34,8	42,3
	7,63	8,57	10,11	11,65	13,72	15,35	18,34	21,7	23,9	27,2	30,1	33,7	36,7	43,8
	8,26	9,24	10,85	12,44	14,58	16,27	19,34	22,8	25,0	28,4	31,4	35,0	37,6	45,3
	8,90	9,92	11,59	13,24	15,44	17,18	20,3	23,9	26,2	29,6	32,7	36,3	38,9	46,8
	9,54	10,60	12,34	14,04	16,31	18,10	21,3	24,9	27,3	30,8	33,9	37,7	40,3	48,3
	10,20	11,29	13,09	14,85	17,19	19,02	22,3	26,0	28,4	32,0	35,2	39,0	41,6	49,7
	10,86	11,99	13,85	15,66	18,06	19,94	23,3	27,1	29,6	33,2	36,4	40,3	43,0	51,2
	11,52	12,70	14,61	16,47	18,94	20,9	24,3	28,2	30,7	34,4	37,7	41,7	44,3	52,6
	12,20	13,41	15,38	17,29	19,82	21,8	25,3	29,2	31,8	35,6	38,9	42,9	45,6	54,1
	12,88	14,12	16,15	18,11	20,7	22,7	26,3	30,3	32,9	36,7	40,1	44,1	47,0	55,5
	13,56	14,85	16,93	18,94	21,6	23,6	27,3	31,4	34,0	37,9	41,3	45,4	48,3	56,9
	14,26	15,57	17,71	19,77	22,5	24,6	28,3	32,5	35,1	39,1	42,6	46,7	49,6	58,3
	14,95	16,31	18,49	20,6	23,4	25,5	29,3	33,5	36,2	40,3	43,8	48,0	50,9	59,7

Кафедра «Информационных технологий и математики»

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Методические указания

к контрольнымработам для студентов

заочной формы обучения

Санкт-Петербург

Одобрено на заседании кафедры «Информационных технологий и математики»протокол №____от «___» ________2015 г.

Теория вероятностей и математическая статистика. Сборник заданий. Методические указания по контрольным работам для студентов заочной формы обучения.

Сборник содержит задачи контрольных работ по теории вероятностей и математической статистики для студентов заочной формы обучения всех направлений и специальностей СПбУУЭ, предусмотренные учебной программой в соответствии с ФГОС ВО. Задания и методические указания могут быть использованы в курсах математических дисциплин всех направлений и специальностей СПбУУЭ.

Составители:

к.п.н., доцент С.Д. Прозоровская

к.э.н. Т.А. Черняк;

Рецензент:

© Санкт-Петербургский университет управления и экономики

ОГЛАВЛЕНИЕ

	Требования к оформлению контрольных работ
	Контрольная работа № 1. Элементы теории вероятностей
	Краткое содержание (программа) курса
	Приложение 1. Значения функции Лапласа
	Приложение 2. Таблица значений

Требования к оформлению

Контрольных работ

1. Контрольные работы следует выполнять в отдельной тетради. На обложке тетради необходимо указать: название института Университета; название кафедры; название и номер контрольной работы; название (номер) специальности; фамилию,имя, отчество и личный шифр студента.

2. На каждой странице следует оставить поля размером 4 см для оценки