С помощью вероятностных показателей
Авиационное происшествие – случайное событие. Оно может произойти при условии, что в полете появится опасный фактор (группа факторов) и его последствия не будут парированы экипажем (летчиком). Опасные факторы, являясь следствием вполне конкретных причин, возникают в произвольные моменты времени, и в этом заключается их случайность.
За событие парирования примем событие невыхода определяющих параметров за свои предельные значения
. Строго говоря, событие
не всегда обязательно приводит к АП. В ряде случаев после превышения
летчик своими действиями может возвратить ЛА в область
, например, парировать режим сваливания самолета и возвратить его на нормальные углы атаки. В дальнейшем для однозначности суждений выход одного или нескольких определяющих параметров за их предельные значения будем полагать за неблагоприятный исход полета (АП).
Обозначим: ,
– вероятности непоявления и появления
-го опасного фактора;
,
– условные вероятности парирования и непарирования его последствий. В принятых обозначениях, учитывая, что
,
, вероятностные показатели БзП будут иметь очевидные выражения
(1.13)
(1.14)
Формула (1.13) имеет простой физический смысл, который можно интерпретировать следующим образом: по отношению к i-му опасному фактору полет с вероятностью будет безопасным, если i-й фактор с вероятностью
не проявится, а если и проявится с вероятностью
, то его последствия с условной вероятностью
будут парированы экипажем (летчиком). По аналогии читатель может раскрыть смысл формулы (1.14).
Сложнее обстоит вопрос получения развернутых выражений для и
с учетом возможного воздействия на ЛА в полете совокупности опасных факторов.
Задача определения аналитической зависимости уровня риска (или вероятности
) в течение времени полета
с учетом всех свойств авиационной системы и внешней среды, потенциально влияющих на БзП, является ключевой в теории безопасности полетов и до настоящего времени в конечном виде не решена. Сложность решения этой задачи заключается в том, что, во-первых, свойства авиационной системы и внешней среды представляются обширным множеством физически разнородных параметров, что приводит к большой размерности решаемой задачи; во-вторых, не все свойства авиационной системы, отрицательно влияющие на БзП, выявлены достаточно четко; в-третьих, отдельные свойства авиационной системы и внешней среды не могут быть формализованно представлены набором определенных параметров, являющихся статистически контролируемыми. По поводу последнего можно привести такой пример: известно, что возможность столкновения самолета с птицами влияет на уровень риска, однако рассчитать вероятность этого события в общем случае не представляется возможным. Можно лишь указать на периоды времени или режимы полета, где столкновение наиболее вероятно.
По указанным выше причинам задача определения аналитической зависимости уровня риска от времени полета решается только в частных случаях для отдельных совокупностей опасных факторов. Методика расчета
и
при этом зависит от специфики опасных факторов и их последствий. Эта специфика может быть отображена набором признаков, показанных на рис. 1.5.
Вероятность появления дискретных во времени факторов не зависит от времени полета, а определяется в основном характером выполняемого этапа полета, уровнем подготовки летчика. К таким факторам можно, например, отнести отказы дискретно функционирующих систем ЛА, ошибки в технике пилотирования при выполнении сложного маневра. Вероятность появления непрерывных по времени факторов является функцией времени полета. К таким факторам можно отнести отказы непрерывно функционирующих систем ЛА, ошибки летчика в технике пилотирования при выполнении стационарных режимов полета, выбросы перегрузки из-за воздействия турбулентности и др. Однократно появляющиеся факторы могут возникать в полете только один раз, многократно появляющиеся факторы в полете могут повторяться несколько раз при условии, если предыдущее появление фактора парировано экипажем.
![]() |
Независимые факторы могут появляться в полете в любой последовательности, зависимые – в такой последовательности, которая определяется зависимостью факторов друг от друга. Последствия факторов можно считать независимыми, если они не зависят от того, в какой последовательности факторы появляются в полете, и зависимыми – в противном случае. Примером последних могут быть отказы в системе САУ–блок контроля. Если САУ отказывает при работающем блоке контроля, то ее отказы, как правило, не опасны; если САУ отказывает при уже отказавшем блоке контроля, то ее отказы могут быть опасными.
Математическим формулировкам методов расчета показателей и
, изложенным в параграфах 1.5 и 1.6, предпишем следующие исходные положения:
1. Для исследуемого случая расчета показателей и
возможно возникновение в полете n опасных факторов.
2. Полет продолжительностью состоит из
последовательно (в соответствии с заданием) выполняемых этапов (1, 2,...,
,...,
).
3. Величина условной вероятности парирования последствий факторов зависит от этапа полета и изменяется от этапа к этапу ступенчато.
4. Считаются известными для каждого -го этапа величины
– соответственно вероятности невозникновения и возникновения
-го фактора и условные вероятности его парирования и непарирования.
1.5. Определение вероятности
безопасного полета
Методом перебора гипотез
В основу математической формулировки метода может быть положена формула полной вероятности, предусматривающая рассмотрение всех физически возможных гипотез, связанных с отдельными опасными факторами и их комбинациями.
Вероятность благополучного исхода полета при n возможных опасных факторах в любых их сочетаниях можно записать в виде
(1.15)
где – вероятность того, что не возникает ни один опасный фактор;
,
– вероятность того, что возникают только один опасный фактор и исход полета будет благополучным, два опасных фактора и т.д.
Слагаемые в (1.15) при условии, что факторы независимы, определяются следующими выражениями:
(1.16)
Вероятность авиационного происшествия определяется из очевидного условия, что каждый последующий опасный фактор во время полета физически возможен, если перед этим опасные факторы не возникали, а если и возникали, то они парировались. В соответствии с этим условием получим
(1.17)
Вообще говоря, уровень риска можно вычислить и более простым способом – как вероятность противоположного события, то есть
. (1.18)
Рассмотрим элементарный пример. Определить выражение для при воздействии двух независимых факторов. В соответствии с (1.15) и (1.16) имеем
(1.19)
Нетрудно заметить, что выражение (1.19) может быть представлено произведением
.
Обобщая этот результат для n независимых факторов, получим
. (1.20)
Формула (1.20) является компактной записью развернутых выражений, представленных (1.15) и (1.16).
С учетом воздействия на ЛА только одного фактора, который может возникать в полете неоднократно, например m раз, на основании (1.20) имеем
. (1.21)
Учитывая, что ,
, из (1.21) следует
, (1.22)
где – уровень риска при однократном появлении фактора.
Раскладывая функцию (1.22) в ряд и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, получим
.
Заметим, что это соответствует разложению функции при ограничении его первыми двумя членами разложения. Следовательно, приближенно можно представить
. (1.23)
Пример. При выполнении маневра вероятность ошибки летчика , условная вероятность ее непарирования
. Оценить безопасность выполнения 100 таких маневров.
Расчеты проводим в соответствии с формулой (1.22):
и формулой (1.23) :
.
Как видно, погрешность от замены точной формулы приближенной сказывается только начиная с седьмого знака после запятой.
До сих пор все рассуждения и выкладки относительно методики расчета показателей и
велись без учета этапности выполнения полета. К решению этой задачи можно подойти, рассматривая вероятности благополучного
и неблагополучного
исходов по каждому i-му фактору с учетом этапности выполнения полета.
Для фактора i-го типа последовательность событий по этапам полета, связанная с возможностью его появления на одном из этапов, может быть представлена графом (деревом состояний), изображенным на рис. 1.6. Граф характеризует многошаговый процесс (1,..., ,
,...,
) перехода системы из одного состояния (события) к другому с учетом возможности появления i-го фактора на рассматриваемом этапе, начиная от первого и заканчивая последним. На стрелках графа проставляются вероятности перехода от одного состояния к другому, при этом должно соблюдаться условие: сумма вероятностей на всех стрелках, выходящих из одного состояния, должна равняться единице.
Рис. 1.6
На рис. 1.6 обозначено: – событие непоявления i-го фактора на s-м этапе;
,
– события благополучного и неблагополучного исходов при появлении i-го фактора на s-м этапе.
Вероятности этих событий определяются как произведение всех вероятностей, указанных на стрелках, начиная от рассматриваемого события и заканчивая начальным . Заметим, что вероятность
, то есть в начале полета i-й фактор отсутствует.
В соответствии с изложенным
; (1.24)
; (1.25)
. (1.26)
Для всех z этапов полета показатели и
с учетом воздействия только одного i-го фактора на основании формул (1.24) – (1.26) приобретают вид:
; (1.27)
. (1.28)
По всем n факторам, учитывая их независимость, имеем
. (1.29)
Уровень риска за полет с учетом возможного воздействия всех n факторов определим как
. (1.30)
Раскрывая почленно произведение , на основании формулы (1.30) определяем
. (1.31)
Условие нормировки выполняется. Учитывая, что
, в ряде случаев формулу (1.31) можно ограничить только первым слагаемым, то есть
.
В заключение укажем, что метод перебора гипотез при расчете показателей и
может применяться как для дискретных, так и непрерывных факторов, как зависимых, так и независимых.
При расчете показателей и
для зависимых факторов целесообразно пользоваться графической интерпретацией перехода системы от одного состояния (события) к другому, так как умозрительный перебор всех гипотез, связанных с появлением отдельных факторов и их комбинаций, затруднен. Граф (дерево состояний) должен строиться по правилам, реализованным при построении графа, показанного на рис. 1.6.
В качестве примера рассмотрим случай воздействия двух зависимых факторов: второй фактор может появиться при условии, если первый уже появился. Граф для этого случая указан на рис. 1.7. Как видно из него, сложные события
и
представляются суммами событий:
;
.
Вероятности элементарных событий равны:
.
Отсюда .
В правильности выкладок читатель может убедиться по условию
.