Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы.

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox,Oyи Oz единичные векторы (орты), обозначаемые , , соответственно (см. рис 12).

Рис. 12.

y

x

z

O

M1

M2

M3

α

β

γ

N

M

Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат: .

Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим соответственно через M₁, М₂ и М₃. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор . Тогда пр_х , пр_y , пр_z . По определению суммы нескольких векторов находим

А так как , то

(5.1)

Но (5.2)

Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через , и , т.е. , , . Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем

Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа , , называются координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.

Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: .

Равенство означает, что

Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать , т.е.

.

Отсюда

т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем

(5.5)

Или, что то же самое,

Числа называются направляющими косинусами вектора .

Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем

Сократив на получим соотношение

т.е. сумма направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.

Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа , т.е.

Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.

21.Коллинеарные и компланарные вектора. Условия коллинеарности и компланарности.

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают || .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектора и называются равными ( = ), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Рис. 1.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точкуО пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство = , но . Векторы и – противоположные, . Равные векторы также называют свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными,

если они лежат в одной плоскости или в параллельных

плоскостях.

Если среди трех векторов хотя бы один нулевой

или два любых коллинеарны, то такие векторы компланарны.