Разложение вектора по базисным ортам. Направляющие косинусы.
Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. Выделим на координатных осях Ox,Oyи Oz единичные векторы (орты), обозначаемые ,
,
соответственно (см. рис 12).
Рис. 12. |
y |
x |
z |
O |
M1 |
M2 |
M3 |
α |
β |
γ |
![]() |
![]() |
![]() |
N |
M |
Выберем произвольный вектор пространства и совместим его начало с началом координат:
.
Найдем проекции вектора на координатные оси. Проведем через конец вектора
плоскости, параллельные координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с координатными осями обозначим соответственно через M1, М2 и М3. Получим прямоугольный параллелепипед, одной из диагоналей которого является вектор
. Тогда прх
, прy
, прz
. По определению суммы нескольких векторов находим
А так как , то
(5.1)
Но (5.2)
Обозначим проекции вектора на оси Ox, Oy и Oz соответственно через
,
и
, т.е.
,
,
. Тогда из равенств (5.1) и (5.2) получаем
![]() |
Эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ,
,
называются координатами вектора
, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси.
Векторное равенство (5.3) часто записывают в символическом виде: .
Равенство означает, что
Зная проекции вектора , можно легко найти выражение для модуля вектора. На основании теоремы о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда можно написать
, т.е.
.
Отсюда
![]() |
т.е. модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.
Пусть углы вектора с осями Ox, Oy и Oz соответственно равны α, β, γ. По свойству проекции вектора на ось, имеем
(5.5)
Или, что то же самое,
Числа называются направляющими косинусами вектора
.
Подставим выражения (5.5) в равенство (5.4), получаем
Сократив на получим соотношение
![]() |
т.е. сумма направляющих косинусов ненулевого вектора равна единице.
Легко заметить, что координатами единичного вектора являются числа
, т.е.
Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его модуль и направление, т.е. сам вектор.
21.Коллинеарные и компланарные вектора. Условия коллинеарности и компланарности.
Векторы и
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают
||
.
Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.
Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.
Два вектора и
называются равными (
=
), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Рис. 1. |
На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство =
, но
. Векторы
и
– противоположные,
. Равные векторы также называют свободными.
Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или в параллельных
плоскостях.
Если среди трех векторов хотя бы один нулевой
или два любых коллинеарны, то такие векторы компланарны.