Учет возможности безрискового заимствования

Рассмотрим случай, когда имеется возможность заимствования денежных средств. Инвестор не ограничен своим начальным капиталом при принятии решения о том, сколько денег инвестировать в рисковые активы. Но, если инвестор занимает деньги, он должен платить процент по займу. Если процентная ставка известна и неопределенность с выплатой займа отсутствует, то это часто называется безрисковым заимствованием.

Сначала предположим, что процентная ставка по займу равна ставке, которая может быть заработана инвестированием в безрисковые активы. Это означает, что инвестор имеет возможность не только инвестировать в безрисковый актив под процентную ставку , но также он может получить заем, за который обязан платить процентную ставку, равную .

Прежде считалось, что доля, инвестированная в безрисковый актив, является положительным числом от 0 до 1. Так как теперь имеется возможность получать заем по той же процентной ставке, эти ограничения снимаются, так как в случае займа доля безрискового актива будет отрицательной.

Пусть портфель инвестора с капиталом, равным , составлен из рисковых ценных бумаг в количествах со стоимостями , . Тогда бюджетное ограничение при наличии безрискового заимствования средств размером В будет иметь вид

,

Причем

,

где , - доли ценных бумаг в портфеле, - доля заимствованных средств.

Покажем, как меняется эффективное множество, если введена возможность как предоставления, так и получения займа по одной и той же безрисковой процентной ставке. Как и в случае безрискового кредитования, портфели, являющиеся комбинацией безрискового актива и рискового портфеля А, лежат на прямой (рис.2.5.1). Оптимальные портфели в случае безрискового заимствования будут лежать на продолжении прямой вправо-вверх. Кроме «касательного» портфеля М ни один из портфелей, которые находились в эффективном множестве модели Марковица, не является эффективным после введения возможности предоставления и получения займа. Это следует из того, что для любого портфеля, принадлежащего эффективному множеству Марковица, найдется альтернативный портфель, лежащий на верхнем луче (рис.2.5.1.), с большей ожидаемой доходностью при том же самом среднеквадратическом отклонении.

Рис. 2.5.1. Эффективное множество в случае возможности безрискового заимствования и кредитования

Пример 2.5.1. На формирование рискового портфеля с математическим ожиданием 18% заимствовано 20% средств. Определить состав данного портфеля и его дисперсию, если даны вектор ожидаемых доходностей и матрица ковариаций

М= , = .

Безрисковая ставка равна 5%.

Решение. Пусть искомый портфель. Справедливо равенство

.

Математическое ожидание доходности портфеля и дисперсия определяются формулами

,

.

Решением системы

будут , . Теперь вычисляем дисперсию портфеля

.

Имеем портфель с дисперсией 173,3.

Теперь посмотрим, как изменится эффективное множество, если инвестор получает займ по ставке, превышающей доходность от инвестирования в безрисковый актив.

Обозначим через ставку по безрисковому активу, через ставку, по которой инвестор может получить заем. Заметим, что .

Если получение и предоставление займа возможно по одной и той же ставке, то результирующее эффективное множество является прямой линией, проходящей через и (рис. 2.5.2). Если величину ставки увеличить до , то результирующее эффективное множество будет прямой линией, проходящей через и . Причем расположена на эффективном множестве выше . Если инвестор не может получить заем по ставке , то часть линии, которая продолжается правее , недоступна и поэтому далее не рассматривается. Если инвестор не может предоставить кредит по ставке , то часть линии, которая лежит левее , также не рассматривается.

В результате, эффективное множество будет состоять из трех различных частей (рис.2.5.2). Первой частью является отрезок, соединяющий и , который представляет собой различные комбинации безрисковых активов в сочетание с инвестированием в портфель рискового актива М. Второй частью является участок кривой из эффективного множества Марковица, соединяющий точки и . Третьей частью является луч, выходящий из точки (это точка касания прямой, проходящей через ), которая представляет собой различные комбинации заимствования в сочетании с инвестированием в рисковой портфель .

Рис.2.5.2. Эффективное множество при неравных безрисковых ставках

Упражнения

1. Инвестор владеет рисковым портфелем, имеющим 25%-ное стандартное отклонение. Если на формирование данного портфеля было заимствовано 30% средств, то чему равно стандартное отклонение этого портфеля, если даны вектор ожидаемых доходностей и матрица ковариаций

М= , = .

Безрисковая ставка равна 6%.

2. Портфель, состоящий из обыкновенных акций, имеет 20%-ную ожидаемую доходность. Какова ожидаемая доходность портфеля, если его владелец инвестирует 110% своих средств в рисковый портфель? Безрисковая ставка равна 6%.

3. На рынке имеются два вида акций, доходности которых независимы и равномерно распределены на интервалах (0,1; 0,3) и (0,15; 0,2). Инвестор для их покупки заимствовал 20% средств. Определить среднеквадратическое отклонение доходности, если безрисковый процент и ожидаемое значение доходности полученного портфеля равны соответственно

а) 8% и 0,2;

б) 5% и 0,22.

4. В портфеле инвестора акций А в два раза меньше акций В и в пять раз меньше акций С. На его формирование он занял 30% своего капитала под 4% годовых. Определить состав данного портфеля и его среднюю доходность, если дан вектор ожидаемых доходностей

М= .

§2.6. Модель ценообразования финансовых активов

Данная теория известна как САРМ. В ней изучаются свойства случайной процентной ставки некоторого финансового актива А по отношению к “глобальной” процентной ставке большого рынка. Модель оценки финансовых активов САРМ (Capital Asset Pricing Model) была впервые сформулирована Уильямом Шарпом в 1964 году, а также независимо от него Джоном Линтнером и Жаном Моссэном.

Предполагается, что активы можно размещать в банке, дающем процентную ставку , которая обычно меньше, чем ожидаемое значение рисковых процентных ставок, отображаемое в процентная ставка большого рынка . Случайная процентная ставка актива А обозначим , тогда можно определить коэффициент пропорциональности из уравнения

.

В рамках теории САРМ устанавливается, что этот же коэффициент является оптимальным при оценивании центрированных значений по центрированным значениям . Другими словами, случайные величины и связаны уравнением

, (2.6.1)

где случайная величина некоррелирована с . Следствием последней формулы является уравнение

.

Таким образом, бетой актива называется величина

. (2.6.2)

С другой стороны эту же величину можно выразить так:

. (2.6.3)

Теория САРМ и ее выводы применимы лишь к равновесному рынку, в модели которого предполагается, что участники имеют равный доступ к информации и их решения основываются на средних значениях и ковариациях цен.

В обеих формулах (2.6.2) и (2.6.3) значение выступает как коэффициент пропорциональности между глобальными ценами рынка и ценами актива А. В формуле (2.6.2) этот коэффициент связывает средние премии за риск по отношению к безрисковому вложению в банк, в (2.6.3) – случайное отклонение от средних значений.

Одним словом, величина есть “мера чувствительности” актива А к изменениям на рынке.

Из уравнения (2.6.1) следует, что

.

Первое слагаемое характеризует систематический риск, оно определяется состоянием рынка в целом и влиянием рынка на данный актив . Второе слагаемое характеризует несистематический риск, связанный с колебаниями цен конкретного актива.

При выборе портфеля ценных бумаг невозможно подавить систематический риск иначе, чем подбором активов, некоррелированных с глобальным рынком, то есть с малыми значениями . Несистематический риск можно подавить диверсификацией.

График линейной функции от аргумента называют также “прямая САРМ”.