Приведение исходной системы к виду, удобному для применения сходящегося итерационного процесса

Теорема сходимости итерационного процесса накладывает жесткие условия на коэффициенты системы (4.3). Однако, если , то с помощью элементарных преобразований системы (4.3) ее можно заменить эквивалентной системой , такой, что условия теоремы сходимости будут выполнены.

Умножим левую и правую часть соотношения (4.3) слева на матрицу , где - матрица с малыми по модулю элементами.

Проведем преобразования:

Если обозначить , , то получим .

Если элементы матрицы достаточно малы по модулю, т.е. ú , то элементы матрицы будут удовлетворять достаточному условию сходимости итерационного процесса.

Итерационный процесс заканчивается, если для двух приближений и выполнено условие , где - заданная точность.

2. Метод Зейделя

Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простых итераций. Основная его идея состоит в том, что при вычислении -го приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ранее -е приближения неизвестных . Т.е. найденное -е приближение сразу же используется для получения -го приближения последующих координат (Рис.4.1).

Предполагая, что -е приближения корней системы (4.4) известны, -е приближения корней будут находиться по следующим итерационным формулам метода Зейделя:

. (4.8)

Теорема 4.3(достаточное условие сходимости метода Зейделя).

Если для приведенной системы выполнено хотя бы одно из условий:

1) , где ;

2) , где ;

3) , где ,

то процесс Зейделя сходится к единственному решению системы при любом выборе начального вектора.

Запишем систему (4.8) в сокращенном виде:

(4.9)

Введем обозначения:

,

где

, .

Тогда формулу (4.9) можем переписать в матричном виде:

, (4.10)

где

, , .

Теорема 4.4 (необходимые и достаточные условия сходимости метода Зейделя).

Для сходимости процесса Зейделя, заданного формулой (4.9), для приведенной системы линейных уравнений (4.4) при любом выборе свободного члена и начального вектора необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения были по модулю меньше единицы.

3. Метод релаксации

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений (4.1), в которой .

Сделаем преобразования: для этого свободные члены перенесем в левую часть и каждое -тое уравнение поделим на . Таким образом, получим систему, удобную для релаксации:

(4.12)

где .

Введем понятие невязки для приближенного решения .

Пусть дана система , тогда точное решение можно записать в виде , где -правка корня . Подставим в систему, получим

Введем обозначение . Тогда . Выражение называется невязкой для приближенного решения .

Пусть задано начальное приближение системы (4.12):

.

Подставим данное приближение в систему (4.12) и получим невязки :

(4.13)

Если одной из неизвестных дать приращение , то соответствующая невязка уменьшится на величину , а все остальные невязки изменятся на величину . Чтобы обратить очередную невязку в нуль, нужно величине дать приращение , следовательно, , а остальные невязки будут равны

.

Метод релаксации (метод ослабления) заключается в том, что на каждом шаге обращают в нуль максимальную по модулю невязку путем изменения значения соответствующей компоненты приближения. Процесс заканчивается, когда все невязки последней преобразованной системы будут равны нулю с заданной точностью.