Проверка на случайность производится по критерию пиков. Результаты расчетов следует представить в виде таблицы 3.4.

Таблица 3.4

Проверка на случайность по критерию пиков

ti	Хti			Пик*
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
S	-	-	S	S	S	S	S	-	S

Параметры пика рассчитываются по данным графы 4. Наличие пика характеризуется условиями:

и (3.6)

Проверка случайности колебаний уровня остаточной компоненты E_t состоит в оценке гипотезы о независимости величин E_t от времени.

Проверка осуществляется на основе критерия пиков. Введем следующие обозначения:

р – число пиков (определяется по данным графы 4 таблицы 3.4 с учетом условий (3.6));

- математическое ожидание числа пиков, определяемое по формуле:

, (3.7)

где n – количество значений t_i. - дисперсия.

Условие независимости выглядит следующим образом: (3.8)

(при расчете учитывается только целая часть числа, заключенного в круглые скобки).

Если, условие (3.8) выполняется, то ряд остатков является случайным.

б) Проверка соответствия распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения.

Введем некоторые характеристики ряда остатков:

1) Выборочная характеристика асимметрии :

; (3.9)

2)Выборочная характеристика эксцесса (характеристика временного ряда) :

; (3.10)

3) Средняя квадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии :

; (3.11)

4) Средняя квадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса:

. (3.12)

Гипотеза о нормальном распределении остаточной компоненты принимается, если одновременно выполняются неравенства:

и (3.13)

Если выполняется хотя бы одно условие:

или , (3.14)

то данные не являются нормальными даже приближенно. Их применение в дальнейшем анализе не рекомендуется.

в) Проверка равенства математического ожидания значения остаточной компоненты нулю

Проверка равенства математического ожидания значения остаточной компоненты нулю осуществляется с помощью t – критерия Стьюдента:

, (3.15)

где m - генеральная средняя; v – число степеней свободы, v = n – 1;

E – средняя арифметическая; G – среднее квадратическое отклонение.

В данной задаче рекомендуется выполнить расчет суммы значений ряда остатков E_i (таблица 3.5).

Таблица 3.5

Расчет суммы значений ряда остатков E_i

ti	Xi		Ei
-	-	-	S

Если cумма значений ряда остатков E_i близка к нулю, тогда нет необходимости использовать приведенную формулу (3.15)

г) Проверка независимости (некоррелированности) значений ряда остаточной компоненты (оценка наличия автокорреляции).

Осуществляется на основе критерия Дарбина – Уотсона:

(3.16)

Значения критерия d находятся в интервале [0;4]. Для оценки независимости следует вычислить эмпирическое значение d и сравнить его с табличным значением. Отсутствие автокорреляции имеет место, если d близко к двум. Вообще для этого критерия справедливы следующие соотношения:

d < d₁ - в ряду автокорреляция есть;

d > d₂ - в ряду автокорреляции нет;

d₁ < d < d₂ – гипотеза о независимости выполняется условно и необходимо дальнейшее исследование границ критерия;

d₁, d₂ – нижняя и верхняя границы критерия.

Если 2 < d < 4, то для проверки нужно найти величину d¢ = 4 – d.

Табличные значения d – критерия для n = 17 равны: d₁ = 1,13, d₂ = 1,38.

По результатам проверки всех свойств ряда остатков исследуемого многочлена модели в целом можно сделать вывод о ее соответствии (адекватности) исследуемому процессу и возможности ее использования для анализа и прогнозирования.

6. Проверка точности модели.

Проводится с целью оценки ошибки в подборе полинома.

Выражение для стандартной ошибки:

, (3.17)

где m – число факторов в модели.

Необходимо рассчитать также следующие показатели.

Коэффициент сходимости:

. (3.18)

Коэффициент детерминации:

. (3.19)

Коэффициент (индекс) корреляции:

. (3.20)

Средняя ошибка аппроксимации:

. (3.20)

Для вычисления последней рекомендуется составить таблицу 3.6.

Таблица 3.6

Xi
…	…	…
-	-	S

Модели, для которых показатели , Ф², имеют минимальное значение, а показатели D и R – максимальное, лучше отображают исследуемый процесс

Порядок выполнения работы

1. Изучить методику исследования товарных рынков.

2. Осуществить выбор аппроксимирующего полинома и его параметров для данного временного ряда объемов производства готовых изделий.

2.1. Используя метод наименьших квадратов рассчитать показатели модели при линейной аппроксимации.

2.2. Рассчитать показатели модели при аппроксимации параболической зависимостью.

2.3. Осуществить сравнительную оценку моделей.

3. Провести оценку выбранного полинома (тренда U_t) и определить характер составляющей E_t.

3.1. Провести проверку на случайность составляющей E_t по критерию пиков.

3.2. Провести проверку соответствия распределения остаточной компоненты нормальному закону распределения.

3.2.1. Рассчитать выборочную характеристику асимметрии .

3.2.2. Рассчитать выборочную характеристику эксцесса .

3.2.3. Рассчитать среднюю квадратическую ошибку выборочной характеристики асимметрии .

3.2.4. Рассчитать среднюю квадратическую ошибку выборочной характеристики эксцесса.

3.3. Выполнить проверку равенства математического ожидания значения остаточной компоненты нулю.

4. Провести проверку независимости значений ряда остаточной компоненты (оценка наличия автокорреляции).

5. Провести проверку точности модели.

6. Выполнить прогнозирование на будущие периоды.

Варианты заданий

Для исходных данных, представленных в таблицах выполнить разработку и провести исследования математических моделей развития товарных рынков.

№ недели	Объемы производства
Варианты
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	Варианты
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Задание 5. Лаговые независимые переменные

1. Имеется модель Койка

- частный случай модели с распределенными лагами.

Требуется:

1. Показать, что это уравнение является моделью с лаговыми эндогенными переменными.

2. Определить средний лаг.

2. Для линейного уравнения с лаговыми независимыми переменными

y_t =a₀ х_t + a₁ х_t–1 + a₂ х_t–2 +... +e_t (t=1,...,Т)

имеются следующие данные (см. табл. 1).

Таблица 1.

хt
yt	–	–	–	–	–
хt										–
yt										–

Требуется:

1. Оценить параметры уравнения с помощью метода Ш. Алмон, если максимальный лаг равен 5, а порядок аппроксимирующего многочлена – 3.

2. Построить ретроспективный точечный прогноз целевой переменной y_t (т.е. спрогнозировать данные прошедшего периода и сопоставить полученные значения переменных по модели с известными (фактическими) данными).

Использовать: «Эконометрика» Учебник для магистров. Под редакцией Елисеевой И.И.