Линейная функция, ее свойства и график

Функция, заданная формулой , где к и b - некоторые числа, называется линейной.

Коэффициент к=tgα характеризует угол α, который образует прямая с положительным направлением оси ОХ, и называется угловым коэффициентом. Если к>0, то угол острый; если к<0, то угол тупой; если к=0, то прямая совпадает с осью Оx или ей параллельна.

Свойства:

1. D(y)=R.

2. Е(y)=R.

3. Функция ни четная, ни нечетная, т.к. не является четной; не является нечетной.

4. у = 0 при (нули функции).

5. Промежутки знакопостоянства:

§ если к > 0, у < 0 при ; у > 0 при ;

§ если к < 0, у < 0 при ; у > 0 при .

6. Функция возрастает при к>0 и убывает при к<0 на R.

7. Функция неограниченна, непрерывна.

Графиком функции является прямая. Для ее построения можно найти точки пересечения с осями координат:

§ с осью ОХ: у = 0, А( ; 0);

§ с осью ОУ: х = 0, у = b В(0; b).

График функции может быть построен с помощью параллельного переноса на |b| единиц вверх (b>0), или вниз (b<0) графика функции . Зависимость называется прямой пропорциональностью.

Рассмотрим частные случаи линейной функции.

Если b = 0, то .	Если k=0, то y=b.
Свойства: 1. D(y)=R. 2. Е(y)=R. 3. Функция нечетная, т.к. . 4. у = 0 при . 5. Промежутки знакопостоянства: § если к > 0, у < 0 при ; у > 0 при ; § если к < 0, у < 0 при ; у > 0 при . 6. Функция возрастает при к>0 и убывает при к<0 на R. 7. Функция неограниченна, непрерывна. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.	Свойства: 1. D(y)=R. 2. Е(y)=b. 3. Функция четная, т.к. . 4. у 0. 5. Промежутки знакопостоянства: § если b > 0, у > 0;   § если b < 0, у < 0.   6. Функция постояннана R.   7. Функция непрерывна.   Графиком функции является прямая, параллельная оси Ox.

Функция , ее свойства и график

Если переменная у обратно пропорциональна переменной х, то эта зависимость выражается формулой , где - коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства:

1. D(у) = .

2. Е(у) = .

3. Нечетная, т.к. .

4. Промежутки знакопостоянства:

§ если k > 0, то y > 0 при ;

y < 0 при ;

§ если k < 0, то y > 0 при ;

y < 0 при .

5. Монотонность:

§ при функция возрастает на и ;

§ при функция убывает на и .

Графиком обратной пропорциональности является кривая, состоящая из 2-х ветвей, симметричных относительно начала координат. Такая кривая называется гиперболой.

Функция ее свойства и график

Функция вида ,где а – некоторое число, а 0, называется квадратичной.

График функции может быть получен с помощью графика функции :

§ если а>1 , то растяжение вдоль оси Оу в а раз;

§ если 0<a<1, то сжатие вдоль оси Оу в раз;

§ если а<0, то симметрично относительно оси Ох.

Рассмотрим свойства и график функции в зависимости от знака а.

а > 0	а < 0
1. Д (у) = R. 2. E (y) = . 3.Функция четная, т.к. . 4. у = 0 при х = 0. 5. у>0 при . 6. Монотонность: § функция возрастает на ; § функция убывает на . 7. унаим = 0 при х=0. 8. Функция ограничена снизу нулем, непрерывна.	1. Д (у) = R. 2. E (y) = . 3.Функция четная, т.к. . 4. у = 0 при х = 0. 5. у<0 при . 6. Монотонность: § функция возрастает на ; § функция убывает на . 7. унаиб = 0 при х=0. 8. Функция ограничена сверху нулем, непрерывна.

Графики функций и . Преобразование графика

Графиком функции является парабола, которая может быть получена из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оy на |n|единиц вверх, если n>0; или на единиц вниз, если n<0.

Рассмотрим графики функции при a > 0.

n > 0	n < 0
1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Четная. 4. Нулей нет. 5. y > 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаим = n при х = 0. 8. Ограничена снизу n, непрерывна.	1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Четная. 4. у = 0 при . 5. y > 0 при ; y < 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаим = n при х = 0. 8. Ограничена снизу n, непрерывна.

Рассмотрим графики функции при a < 0.

n > 0	n < 0
1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Четная. 4. у = 0 при . 5. y > 0 при ; y < 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаиб = n при х = 0. 8. Ограничена сверху n, непрерывна.	1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Четная. 4. Нулей нет. 5. y < 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаиб = n при х = 0. 8. Ограничена сверху n, непрерывна.

Графиком функции является парабола, которая может быть получена в результате параллельного переноса графика функции вдоль оси Оx на |m| единиц вправо, если m>0; или на |m| единиц влево, если m<0.

a > 0	a < 0
1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Ни четная, ни нечетная. 4. у = 0 при х=т. 5. y > 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаим = 0 при х = т. 8. Ограничена снизу нулем, непрерывна.	1. D(y)=R. 2. E(y)= . 3. Ни четная, ни нечетная. 4. у = 0 при х=т. 5. y < 0 при . 6. Возрастает на ; убывает на . 7. унаиб = 0 при х = т. 8. Ограничена сверху нулем, непрерывна.

График функции может быть получен с помощью 2-х параллельных переносов описанных выше.

Преобразование графиков

1. График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу на |n|единиц вверх, если n>0; или на единиц вниз, если n<0.

2. График функции можно получить из графика функции с помощью параллельного переноса вдоль оси Ох на |m| единиц вправо, если m>0; или на единиц влево, если m<0.

3. График функции можно получить из графика функции с помощи 2-х параллельных переносов: вдоль оси Оу на |n|единиц вверх, если n>0; или на единиц вниз, если n<0., вдоль оси Ох на |m| единиц вправо, если m>0; или на единиц влево, если m<0.

4. График функции можно получить из графика функции с помощью симметричного отображения относительно оси Ох.

5. График функции можно получить из графика функции с помощью симметричного отображения относительно оси Оу.

6. График функции можно получить из графика функции с помощью сжатия вдоль оси Ох к оси Оу в а раз, если a>1; или растяжения вдоль оси Ох от оси Оу в раз, если 0<a<1.

7. График функции можно получить из графика функции с помощью растяжения вдоль оси Оу от оси Ох в а раз, если а>1; или сжатия вдоль оси Оу к оси Ох в раз, если 0<a<1.

8. График функции можно получить из графика функции следующим образом: часть графика , лежащая над осью Ох сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

9. График функции можно получить из графика функции следующим образом: при график сохраняется, а при х<0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.