Примитивно вычислимые функции

Базисными функциями называются следующие функции: – нулевая функция; – функция следования; – функция выбора.

Оператор суперпозиции (подстановки) ставит в соответствие –местной операции и – местным операциям –местную операцию , удовлетворяющую тождеству:

Оператор примитивной рекурсии ставит в соответствие – местной операции и – местной операции – местную операцию , удовлетворяющую схеме примитивной рекурсии:

Функция называется примитивно рекурсивной (ПРФ), если существует последовательность функций , в которой и всякая является либо базисной функцией, либо получается из предыдущих функций с помощью оператора суперпозиции или примитивной рекурсии .

Пример 1.Функция сложения является ПРФ:

Пример 2.Функция умножения является ПРФ:

Частично рекурсивные функции

Оператор минимизации ставит в соответствие – местной операции –местную операцию так, что

В этом случае введем обозначение:

Функция называется частично рекурсивной (ЧРФ), если существует последовательность функций , в которой и всякая является либо базисной функцией, либо получается из предыдущих функций с помощью оператора суперпозиции , примитивной рекурсии или минимизации .

Пример 1.Нигде не определенная функция является ЧРФ:

.

Пример 2.Функция

является ЧРФ:

ЗАДАНИЯ ДЛЯ домашних И КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

Совершенные дизъюнктивные нормальные формы, совершенные конъюнктивные нормальные формы

Построить таблицы истинности для следующих формул алгебры высказываний и привести эти формулы к СДНФи СКНФ.

1. (x∧y)→(y∧z);

2. (x→y)→(y∧z);

3. ((x∧y)→x)→z;

4. (x∧(y→z)→x∨(y∧z);

5. z→(x∧y)∨(y∧z);

6. ((x∨z)∧y)→(y→z);

7. (x∧(z→y)→y)∨z);

8. ((x∧y)→z∨(y∧z);

9. (((x→y)→z)∨y)∧z;

10) x∧(z→y)→z∨y; 11) ((x∨z)∧y)→(y→z);

12) (x→y)→z∨(y∧z);

13) x→(y→z)∧(z∨x);

14) ((x∧z)→y)∨z;

15) ((x→y)∧z→z)∨y;

16) x∨(z→y)→(y∧z);

17) ((x∧z→y)→z)∨z;

18) (x∧z →y)→z∨y;

19) (x→y∧z)∨y→z;

20) x→(y→z)∨(y∧z);

21) ((x∨y)→z)→(y∧z);

22) (x→y)→(z∨y)∧z;

23) ((x→y)∧z)∨y)→z;

24) (z→y)→x∧(z∨y)∧z;

25) ((x∧z)∨y)→z∧(x→y).

Логическое следствие в алгебре высказываний

Проверить истинность соотношений тремя способами(используя определение логического следствия и пп. 3,4 теоремы 2.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21.

22.

23. ;

24. ;

25.

Исчисление высказываний

Пусть - формулы исчисления высказываний. Построить вывод формулы исчисления высказываний из данного множества гипотез.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7.

8.

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

Логика предикатов. Алгебраические системы.

Построить подсистемуалгебраической системы , порожденную множеством (через обозначен булеан множества B,т.е. множество всех подмножеств множества B):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24. Ø,

25.

26. Ø,

27.

28.

29. Ø,

Формулы ЛП

Выписать все подформулы данной формулы сигнатуры иопределить свободные и связанные переменные формулы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

Пусть - атомарные формулы логики предикатов.Выписать все подформулы данной формулы и определить свободные и связанные переменные формулы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. ,

16.

17.

18.

19.

20.

Истинность формулыЛП

В алгебраической системе

Написать формулу Ф(х), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. х=1;

2. х=2ⁿдля некоторого натуральногоn;

3. х>4;

4. х – нечетное число;

5. х – простое число.

Написать формулу Ф(х,y), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. ;

2. ;

3. х делит ;

4. ;

5. , где p - простое число.

Написать формулу Ф(х,y,z), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. xделится на yс остатком 2;

2. x+3y>2z;

3. z – общий делитель yи z;

4. z = НОК (x,y);

5. z = НОД (x,y).

Написать формулу Ф(х,y,z), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. x=0;

2. x=-1;

3. 2x-3y – четное число;

4. 3z=4x-5y;

5. z-2yделится на3x.

Пусть – булеан множества B,т.е. множество всех подмножеств множества B.Написать формулу Ф(х,y,z), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. есть пересечение и ;

2. есть объединение и ;

3. Ø;

4. ;

5. есть дополнение .

Пусть – булеан множества B,т.е. множество всех подмножеств множества B.Написать формулу Ф(х,y,z), истинную в алгебраической системе тогда и только тогда, когда

1. ;

2. Ø;

3. есть одноэлементное множество;

4.

5.

Написать формулу , такую что

Логическое следствие в ЛП

Пусть – формулы логики предикатов, и . .Доказать следующие соотношения.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. .

Пусть – формулы логики предикатов.Проверить следующие соотношения.

1. ;

2. ;

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Исчисление предикатов

Пусть - формулы исчисления предикатов. Построить вывод формулы исчисления предикатов из данного множества гипотез.

Пренексная нормальная форма

Пусть –атомарные формулы логики предикатов.Привести следующие формулы логики предикатов к пренексной нормальной форме.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. ,

16.

17.

18.

19.

20.

Машины Тьюринга

Построить машину Тьюринга , вычисляющую следующую функцию.

1. x+1;

2. x+y;

3.

4.

5.

6.

7.

8.