Векторы и линейные операции над ними
В геометрии вектором называют направленный отрезок с начальнойАи конечной В точками, который можно перемещать параллельно самому себе. Таким образом, считается, что два направленных отрезка
и
, имеющие равные длины и одно и то же направление, определяют (изображают) один и тот же вектор
, и пишут
.
Длиной (или модулем) вектора
называется число, равное длине отрезка АВ, изображающего вектор.
Векторы, параллельные одной прямой, называются коллинеарными и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Если вектор изображается направленным отрезком
, то вектор, изображаемый направленным отрезком
, называется вектором, противоположным вектору
и обозначается -
.
Для векторов вводятся операции сложения и вычитания. При этом заметим, что знаки «+» и «-», которые ставятся между векторами, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение векторов по правилу треугольника или параллелограмма.
Произведением вектора на число
называется вектор
, имеющий длину
, направление которого совпадает с направлением вектора
, если
, и противоположно ему, если
.
Сложение векторов и умножение их на число называются линейными операциями над векторами. Эти операции обладают свойствами по форме аналогичными свойствам сложения и умножения чисел.
Если в прямоугольной системе координат точкиА и В имеют координаты и
, то координаты вектора
находятся как разности соответствующих координат конца В и начала А этого вектора, т.е.
,
а модуль его определяется как расстояние между двумя точками:
.
Линейные операции над векторами, заданными своими координатами и
, выполняются по следующим правилам:
1) при сложении двух векторов их одноименные координаты складываются: ;
2) при умножении вектора на число
все его координаты умножаются на это число:
.
Два вектора равны, если равны их соответствующие координаты, т.е. .
Два вектора коллинеарные, если их координаты пропорциональны.
Итак, если ½½
, то
или
.
Умножение векторов
Умножение вектора на вектор бывает двух типов: скалярное и векторное. В результате скалярного умножения двух векторов получаем число (скаляр). В результате векторного произведения двух векторов получаем вектор. Скалярным произведением двух ненулевых векторов
и
называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
, где
.
Свойства скалярного произведения во многом сходны со свойствами произведения действительных чисел.
Векторным произведением двух векторов и
называется вектор
, который:
1) имеет модуль, численно равный площади параллелограмма, построенного на векторах и
:
;
2) перпендикулярен к плоскости этого параллелограмма;
3) направлен в такую сторону, с которой кратчайший поворот от к
рассматривается совершающимся против часовой стрелки (такое расположение векторов
,
и
называется правой тройкой векторов).
Отличительная особенность векторного произведения состоит в том, что для него переместительное свойство (коммутативность) не имеет места. От перестановки векторов – сомножителей векторное произведение изменяет знак на противоположный: .
Три вектора могут быть перемножены несколькими способами. Чаще всего рассматривают смешанное произведение двух векторов векторно и на третий скалярно.В результате получают число.
Смешанное произведение трех векторов ,
и
, которое обозначается
или
, есть скаляр, абсолютная величина которого равна обьему параллелепипеда, построенного на векторах
,
и
, как на ребрах.
Пусть заданы два вектора и
.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:
.
Угол между векторами вычисляется по формуле
,
или в координатной форме .
Условием перпендикулярности ненулевых векторов и
является равенство нулю их скалярного произведения:
.
Векторное произведение ненулевых векторов выражается через координаты данных векторов
и
следующим образом:
.
Равенство нулю векторного произведения двух ненулевых векторов является условием их коллинеарности, т.е.
½½
.
Скаляр , представляющий смешанное произведение трех векторов, равняется определителю третьего порядка, составленному из координат этих трех векторов:
.
Равенство нулю смешанного произведения трех ненулевых векторов является условием их компланарности: .
Задача. Определить внутренние углы c вершинами
.
Решение. Найдем . Для этого надо найти векторы
и
. Зная векторы
и
, из формулы (2) получим
Легко видеть, что . Тогда
.
Отсюда .
Аналогично, находя предварительно, что , получим
.
Отсюда и
.
Задача.Вычислить площадь треугольника с вершинами .
Решение. Найдем вначале площадь параллелограмма, построенного на векторах
как на сторонах. По определению векторного произведения
. Но
.
Тогда .
Следовательно, .
Задача. Вычислить объем пирамиды с вершинами
.
Решение. Найдем координаты векторов . Очевидно, что
.
Тогда . Но
. .
Следовательно, .