Оптимальный приемник известных сигналов с активной паузой

Пусть S₁(t) = A cos w₁t, S₂(t) = A cos w₂t, 0 £ t £ T (дискретная частотная модуляция - ДЧМ).

Преобразуем выражение (4.4)

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x²(t) - 2x(t)S₁(t) + S²₁(t) < х²(t) - 2x(t)S₂(t) + S²₂(t) , то S₁.

_ _ _ _ _ _

Здесь S²₁(t) = S²₂(t), так как это мощности сигналов S₁(t) и S₂(t), а эти мощности равны между собой из-за равенства амплитуд этих сигналов. После очевидных сокращений получаем следующее оптимальное правило решения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x(t)S₁(t) > x(t)S₂(t) , то S₁

или, более кратко

B_xS1(0) > B_xS2(0) , то S₁ . (6.1)

Смысл полученного выражения очевиден: если функция взаимной корреляции входного сигнала x(t) и сигнала S₁(t) больше, чем функция взаимной корреляции сигналов x(t) и S₂(t), то x(t) содержит, кроме помехи, сигнал S₁(t).

Cигналы S₁(t) и S₂(t), используемые для вычисления функций взаимной корреляции, должны генерироваться в схеме приемника и совпадать по частоте и фазе с оптимальными сигналами, которые поступают или могут поступать на вход приемника.

Схема, реализующая правило решения (6.1), также называется корреляционным приемником и приведена на рис. 6.1.

Схема содержит два коррелятора по числу передаваемых сигналов При приеме сигналов ДЧМ местные генераторы генерируют сигналы A cos w₁t и A cos w₂t. Эта же схема пригодна для приема дискретной фазовой мо-дуляции (ДФМ), если в качестве опорных сигналов использовать сигналы S₁(t) = A cos w₀t и S₂(t) = - A cos w₀t.

Если вероятности передачи сигналов S₁(t) и S₂(t) не одинаковы, т.е. P(S₁)¹ P(S₂), то неравенство (6.1) принимает несколько другой вид

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

x(t)S₁(t) - s²_n lnP(S₁) > x(t)S₂(t) - s²_n lnP(S₂) , то S₁ , (6.2)

а в структурной схеме рис.6.1 перед схемой сравнения добавляются выравнивающие устройства, аналогично показанным на рис.4.2 .

Однако для приема сигналов ДФМ схему рис.6.1 можно упростить, если использовать один общий коррелятор (рис. 6.2).

Если x(t) содержит сигнал S₁(t) = A cos w₀t, на выходе интегратора имеем напряжение, равное B_xUг (0) > 0 . Если же x(t) содержит сигнал S₂(t) = - A cos w₀t, то на выходе интегратора имеем напряжение, равное B_xUг (0) < 0. Напряжение на выходе интегратора сравнивается с пороговым напряжением, равным нулю, и в зависимости от результатов сравнения выдает сигналы S₁ или S₂.

В рассмотренных здесь корреляционных приемниках осуществляется когерентный прием сигналов, поэтому применяемые в приемниках генераторы должны выдавать опорные сигналы S₁(t) и S₂(t), совпадающие с аналогичными принимаемыми сигналами с точностью до фазы. Поэтому для работы рассмотренных здесь корреляционных приемников требуется синхронизация местных генераторов сигналов. На рис. 6.2, например, пунктиром показана цепь синхронизации опорного генератора Г входным сигналом x(t) с помощью специального устройства фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ).

7. Вероятность ошибки в оптимальном приемнике

Средняя вероятность ошибки в соответствии с формулой (2.4) зависит от вероятности неправильного приема сигналов S₁ и S₂ . Однако при применении идеального приемника Котельникова канал связи предполагается симметричным, т.е. P(y₂/S₁) = P(y₁/S₂). Поэтому формула (2.4) упрощается. В нашем случае P_ош = P(y₂/S₁). Эту формулу мы возьмем за основу при определении вероятности ошибки в приемнике Котельникова.

Допустим, нам известно, что на вход приемника поступает сигнал S₁(t). В этом случае, в соответствии с правилом решения приемника Котельникова (4.4), должно выполняться следующее неравенство

_{_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _}

[x(t) - S₁(t)]² < [x(t) - S₂(t)]² . (7.1)

Однако, несмотря на поступление сигнала S₁(t), при сильной помехе знак неравенства может измениться на противоположный, в результате чего приемник вместо сигнала S₁(t) выдает сигнал S₂(t), то есть произойдет ошибка. Вероятность искажения сигнала S₁(t) можно определить как вероятность изменения знака неравенства (7.1), если подставить туда x(t) = S₁(t) + n(t).

После очевидных преобразований получаем

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

p_ош = P(y₂/S₁) = P{n²(t) > [n(t) + S₁(t) - S₂(t)]²} =

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

=P{0 > 2 n(t) [S₁(t) - S₂(t)] + [S₁(t) - S₂(t)]²} =

= P{1/T 2n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt + 1/T [S₁(t) - S₂(t)]²dt < 0}.

Сокращая на Т, получаем

p_ош = P{ n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt + 0,5 [S₁(t) - S₂(t)]²dt < 0}.

Обозначим в этом выражении:

n(t) [S₁(t) - S₂(t)]dt = m , [S₁(t) - S₂(t)]²dt = Е_э (7.2)

С учетом этих обозначений вероятность искажения сигнала S₁ будет определятся формулой

P_ош = P{m < 1/2× E_э}. (7.3)

В этой формуле E_э - энергия разности сигналов S₁(t) - S₂(t), называемая "эквивалентной энергией" , а m - некоторая случайная величина, зависящая от помехи n(t) и разности сигналов S₁(t) - S₂(t).

Так как помеха n(t) имеет гауссовское распределение, а величина m есть результат линейной операции над n(t) , то и величина m распределена также по гауссовскому закону

Тогда, в соответствии с (7.3)

(7.4)

где - табулированный интеграл вероятностей.

Можно доказать,что при флюктуационной помехе на входе приемника со спектральной плотностью помехи N₀ дисперсия величины m определяется формулой s²_m = N₀E_э /2.

Подставляя это значение s²_m в (7.4) получим окончательно (7.5)

Таким образом, в приемнике Котельникова вероятность ошибки полностью определяется эквивалентной энергией сигналов и спектральной плотностью помехи и от полосы пропускания приемника не зависит. На практике обычно на входе приемника все-таки ставят полосовой фильтр, так как в канале связи, кроме флюктуационных помех, часто встречаются также другие помехи (от соседних каналов, импульсные и др.)

Формула (7.5) является достаточно общей. Для конкретных видов модуляции в канале связи эту формулу видоизменяют, для чего вычисляют соответствующее значение E_э . При этом для различных видов модуляции E_э определяют через энергию одного из сигналов, а в окончательную формулу вводят величину

h²₀ = E₁/N₀ . (7.6)

Следовательно, в приемнике Котельникова, который также называется когерентным (в приемнике известна фаза принимаемого сигнала) вероятность ошибки зависит не от отношения мощности сигнала к мощности помехи, а от отношения энергии сигнала к спектральной плотности помехи. Это позволяет, не меняя мощности сигнала, увеличить его энергию за счет увеличения его длительности, что дает дополнительные возможности в построении помехоустойчивых систем связи.