Разложение в ряд Маклорена некоторых функций
1.
Имеем ;
, и по формуле (5.2) получаем
. (5.3)
Областью сходимости этого степенного ряда является интервал .
2.
Имеем: ,
,
,
,
, откуда
,
,
,
,
и т.д.
Очевидно, что производные четного порядка , а нечетного порядка
,
, и по формуле (5.2) имеем
(5.4)
Область сходимости ряда .
3. .
Рассматривая аналогично функции , получим:
(5.5)
Область сходимости ряда .
4. , где
– любое действительное число.
Имеем ,
,
,
, …,
, …
При :
,
,
,
, …,
и по формуле (5.2) получаем
(5.6)
Найдем интервал сходимости ряда:
Ряд, составленный из модулей , исследуем с помощью признака Даламбера:
.
Следовательно, интервал сходимости ряда . На концах интервала при
сходимость ряда зависит от конкретных значений
.
Ряд (5.6) называется биномиальным. Если – целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при
сомножитель
равен нулю, следовательно,
-йчлен ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Выпишем некоторые разложения функции при различных
.
:
,
(5.7)
Если в это разложение подставить вместо
, получим:
(5.8)
:
,
(5.9)
:
,
(5.10)
5. .
Получить разложение для этой функции, непосредственно вычисляя коэффициенты с помощью производных, не очень просто, поэтому мы воспользуемся разложением (5.7) и свойством 2) степенных рядов. Интегрируя почленно равенство (5.7) в интервале , где
, с учетом того, что
, получим
(5.11)
Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала) есть .
6.
Проделаем то же самое, что и в предыдущем случае, воспользовавшись разложением (5.8):
(5.12)
Область сходимости ряда .
7.
Воспользуемся разложением (5.10), подставив в него вместо
:
Интегрируя в интервале , где
, получаем:
(5.13)
Область сходимости ряда
Можно доказать, что ряды, приведенные в формулах (5.3) – (5.13), сходятся к функциям, для которых они составлены.
При разложении более сложных функций часто используют готовые разложения (5.3) – (5.13).
Примеры
1) Разложить в ряд Маклорена функцию
Решение. Воспользуемся известной тригонометрической формулой
Разложим в ряд Маклорена функцию , заменяя в разложении (5.5)
на
:
Тогда
Это и есть разложение в ряд Маклорена функции . Очевидно, что оно справедливо при любом
.
2) Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию
Решение. Преобразуем данную функцию так, чтобы можно было воспользоваться разложением (5.7):
Полученное разложение справедливо, когда . Отсюда получаем
или
.
Применение рядов в приближенных вычислениях
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, определенных интегралов, которые являются «не берущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.
Примеры
I. Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
а)
Решение. Для вычисления запишем ряд (5.3) при
, принадлежащем области сходимости
:
Взяв первые пять членов разложения, на основании следствия из теоремы Лейбница для сходящегося знакочередующегося ряда, мы допустим погрешность , не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), т.е.
.
Итак,
б)
Решение. Воспользуемся разложением (5.11), подставив в него , входящее в область сходимости
:
Так как данный числовой ряд не является знакопеременным, то о погрешности нельзя судить по величине первого отбрасываемого члена.
Если в качестве взять сумму первых трех членов, мы допустим погрешность
(здесь мы учли, что сумма сходящегося геометрического ряда в скобках равна
)
Итак,
в)
Решение. Для вычисления запишем ряд (5.4) при
, принадлежащем области сходимости
:
(необходимо взять два члена, так как при этом погрешность ). Итак,
.
II. Вычислить приближенно с точностью до 0,001 следующие интегралы:
a)
Решение. Так как интеграл «не берущийся», «точное» интегрирование здесь невозможно.
Воспользуемся разложением (5.4). Разделив обе части на , получим
, причем ряд сходится при всех значениях
. Интегрируя почленно, получим:
Возьмем первые три члена разложения, т.к. .
Итак,
б)
Решение. Заменив на
в разложении (5.3), получим:
.
Умножая полученный ряд на :
,
и почленно интегрируя в интервале , принадлежащем интервалу сходимости ряда
, имеем:
При этом . Итак,
.
Задачи
Разложить в ряд Маклорена следующие функции, указав промежутки сходимости полученных рядов.
86. 87.
88.
89. 90.
91.
92.
Разложить в ряд Тейлора следующие функции и найти область сходимости полученного ряда.
93. по степеням
94 по степеням
95. по степеням
96. по степеням
97. по степеням
98. по степеням
Вычислить приближенно с точностью до 0,0001:
99. 100.
101.
102.
103.
104.
Вычислить приближенно, взяв первые два члена разложения в ряд подынтегральной функции, и оценить допущенные при этом погрешности:
105. 106.
Ответы
В задачах1, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 42, 43, 44 – ряды сходятся.
В задачах 2, 4, 5, 11, 14, 16, 20, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 39, 40, и 41 – ряды расходятся.
В задачах 45, 46, 47, 49, 50, 51, 55 – ряды абсолютно сходятся.
В задачах 48, 53, 54, 57 – ряды сходятся условно.
В задачах 52, 56, 58, 59 – ряды расходятся.
60.(-1;1],61.[-1/2;1/2),62.{0},63.(-1/3;1/3],64.(-1;1),65.[0;2],66.[-10;10),67.(-∞;∞), 68.(-7;-1), 69. [-4;4), 70. (-2;2), 71. , 72. [1;3), 73. (-1/3;1/3), 74. (-∞;∞), 75. [-1;1], 76. [-1;1), 77. (1;5], 78. (-1/4;1/4), 79. (-1/3;1/3), 80. (-3;1], 81. (-1;1], 82. (-∞;∞), 83.
, 84.
, 85. [-1/e;1/e),
86. 87.
88. 89.
90. 91.
92. 93.
94. 95.
96. 97.
98.
99. 100.
101.
102. 103.
104.
105. 106.
.
Оглавление
§1. Основные понятия. 4
§2. Признаки сходимости знакопостоянных рядов. 7
§3. Признаки сходимости знакопеременных рядов. 22
§4. Степенные ряды.. 27
§5. Ряды Маклорена и Тейлора. 32
§6. Применение рядов в приближенных вычислениях. 39
Ответы.. 43
Подписано в печать 2012 г. Формат 60´84/16. Бумага писчая. Отпечатано на ризографе. Уч. изд. листов 2.
Тираж 600. Заказ №
Московский государственный университет тонких химических технологий им. М.В.Ломоносова
Издательско-полиграфический центр
117571, Москва, просп. Вернадского, 86.
* Напомним, что степенью степенного выражения называется наибольшая из степеней входящих в него слагаемых, само это слагаемое называется старшим, а его коэффициент называется старшим коэффициентом. Например, у степенного выражения старшее слагаемое имеет степень 1,5, а старший коэффициент равен 5.