Числовые ряды и их свойства.

Числовые ряды и их свойства.

Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .

Примеры

1. 1+ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,

2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+ , =1+ 1+ - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .

Ряд называется сходящимся,если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.

Рядназывается расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.

Необходимый признак сходимости ряда.Если ряд сходится, то .

Доказательство. . Пусть ряд сходится, тогда .

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Признаки сравнения рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, так как , а ряд (гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится ( , ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пример. Ряд с расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Ряд сходится. - ограничена. Ряд сравнения - сходящийся ряд Дирихле.

Признак Даламбера.

Радикальный признак Коши.

Признак Лейбница.

Пусть

1. ряд имеет вид (знакочередующийся, )

2. последовательность монотонно убывает

3.

Тогда 1) ряд сходится

2)

Доказательство. Рассмотрим последовательность частичных сумм с четными номерами

(последовательность монотонно убывает по условию теоремы).

Т.е. последовательность ограничена сверху .

Т.е. последовательность монотонно возрастает.

По теореме Вейерштрасса существует .

Рассмотрим теперь последовательность частичных сумм с нечетными номерами

.

По условию , т.е. .

По доказанному выше . Следовательно, предел правой части равенства существует и равен . Поэтому предел левой части равенства тоже существует и равен

.

Раскроем определение предела как для четных n, так и для нечетных n. Следовательно, это справедливо для любых , поэтому .

Из доказанного выше неравенства . Переходя к пределу, получим .

Следствие. .Остаток ряда оценивается модулем первого отброшенного члена ряда.

Доказательство. Так как остаток знакочередующегося ряда тоже знакочередующийся ряд, то его сумма по признаку Лейбница оценивается модулем его первого члена.

То есть . А первый член остатка ряда и есть первый отброшенный член.

Пример. Ряд

. Ряд сходится по признаку Лейбница. Ряд из модулей – расходящийся гармонический ряд. Следовательно, ряд сходится условно.

. Функциональные ряды.

18.2.1. Основные определения. Пусть дана бесконечная последовательность функций .

независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Примеры: 1. ;

2. ;

3. .

Для каждого значения функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся. Так, первый из примеров - геометрическая прогрессия со знаменателем х, этот ряд сходится при х=1/2 и расходится при х=2.

Определение. Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости - интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х>0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо ; следовательно, область сходимости третьего ряда ).

Для каждого мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция , определённая на области . Так, для первого примера, как мы знаем, , т.е. на интервале

(-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х=2 ряд расходится, а . Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана , определённая на полуоси ; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, как мы увидим дальше при изучении рядов Фурье, равна функции периода , получающаяся в результате периодического повторения функции , определённой на отрезке , по всей числовой оси.

Коль скоро мы осознали, что сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? То, что это не праздный вопрос, показывает следующий пример. Пусть , , , , …, , …. Ряд состоит из непрерывных членов, найдём его область сходимости и сумму. Частичная сумма ряда . Последовательность при имеет конечный предел только, если (это и есть область сходимости ряда), при этом Таким образом, для ряда, члены которого - непрерывные функции, мы получили разрывную на области сходимости сумму.

Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.

18.2.2. Равномерная сходимость функционального ряда.Факт сходимости ряда к своей сумме в точке сходимости х означает, в соответствии с определением предела, то, что для любого числа существует такое натуральное N, что при n>N верно . Здесь - частичная сумма ряда в точке х. Число N зависит, естественно, от , но оно зависит и от х, т.е. . В некоторых точках области сходимости ряд может сходиться к своей сумме быстро, т.е. неравенство будет выполняться при не очень больших значениях N, в других точках эта сходимость может быть медленной. Если ряд сходится к своей сумме примерно с одинаковой скоростью во всех точках х, то сходимость называется равномерной. Более точно, говорят, что ряд сходится равномерно на области G, если для любого числа существует такое натуральное число , одно и то же для всех точек ,что при n>N выполняется неравенство (или, что тоже самое, , где - остаток ряда после n-го члена).

Понятие равномерной сходимости - одно из фундаментальных понятий функционального анализа. Именно равномерная сходимость обеспечивает сохранение суммой ряда хороших свойств своих членов. Чтобы осознать смысл и значение этого понятия, требуется время, которого у нас, к сожалению, нет. К счастью, имеется простой и понятный достаточный признак равномерной сходимости - признак Вейерштрасса.

Признак Вейерштрасса. Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд , что члены функционального ряда в любой точке удовлетворяют неравенству , то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

х

Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству , называется мажорирующим рядом, или мажорантой функционального ряда; про функциональный ряд говорят, что он мажорируется числовым рядом.

Рассмотрим примеры, приведённые в начале раздела. Геометрическая прогрессия равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1,1). Действительно, построим мажоранту для геометрической прогрессии на . Из чисел а, b выберем большее по модулю. Пусть, например, . Тогда для любого выполняется . Таким образом, сходящийся (так как ) числовой ряд мажорирует на функциональный ряд , откуда, по признаку Вейерштрасса, следует равномерная сходимость этого функционального ряда.

Ряд равномерно сходится на любой полуоси , так как на этом множестве он мажорируется рядом .

Ряд равномерно сходится на всей числовой оси (мажоранта для этого ряда уже получена - это ряд ).

Степенные ряды.

18.2.4.1. Определение.Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где - постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

18.2.4.2. Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится в точке , то

1. он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке , чем );

2. он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса ).

3. Если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Доказательство. 1.Из сходимости ряда в точке следует, что его общий член стремится к нулю при ; любая последовательность, имеющая предел, ограничена, следовательно, существует число С такое, что . Пусть точка х удовлетворяет неравенству , тогда . Оценим член ряда в точке х:

. Члены ряда в точке х по абсолютной величине не превосходят членов сходящейся геометрической прогрессии, следовательно, ряд сходится абсолютно в точке х, следовательно, он сходится абсолютно в любой точке интервала .

2. Пусть отрезок , целиком лежит на интервале . Из точек а, b выберем ту, которая находится дальше от точки , примем для определённости, что это - точка а: . Тогда для любого х из этого отрезка . В точке ряд , по доказанному, сходится абсолютно, но он является на мажорантой для ряда , следовательно, степенной ряд сходится равномерно на отрезке .

3. Пусть степенной ряд расходится в точке , и . То, что ряд расходится в точке х, докажем от противного. Если предположить, что он сходится в точке х, то, по доказанному, он сходится во всех точках, расположенных ближе к , чем х, следовательно, он сходится в точке , что противоречит условию.

18.2.4.3. Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда.Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится. Действительно, пусть в точке ряд сходится, в точке ряд расходится. Рассмотрим точку , расположенную между областями, в которых установлена сходимость и расходимость. В точке числовой ряд либо сходится, либо расходится. Если он сходится, то мы можем перенести точку в точку ; если ряд в точке расходится, мы переносим в точку . Продолжая этот процесс, мы сблизим точки и , эта граница и определит число R.

Определение. Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: , , , .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Применения степенных рядов.

18.2.6.3.1. Приближённое вычисление значений функций. Идея таких вычислений простая. Пусть известно значение функции в точке , и функция разлагается в окрестности точки в ряд Тейлора. Тогда значение функции в точке , которое надо найти, равно , и принимается . Естественно, мы должны гарантировать, что погрешность такого приближения не превышает заданной величины . Погрешность равна остатку ряда после n-го члена (или остаточному члену формулы Тейлора), поэтому необходимо строить оценку сверху для (или ). При оценке принципиально отличны два случая. Если остаток - знакочередующийся ряд, то просто оценивается по своему первому члену. Если остаток не является знакочередующимся рядом, то необходимо оценивать всю его сумму. Обычно в этом случае остаток мажорируют сходящейся геометрической прогрессией. В разделе 18.4.2. Знакочередующиеся рядымы рассмотрели и тот, и другой случай при нахождении значений и ; в разделе 7.9.2. Приближённые вычисления с помощью формулы Тейлораприведён пример вычисления значения с погрешностью . Другие примеры будут рассмотрены ниже.

Интегрирование функций.

1. Как мы знаем, интеграл аналитически не берётся. Это специальная функция, называемая интегральным синусом и обозначаемая . Получим разложение этой функции в степенной ряд. , , почленно интегрируем: . Ряд сходится к при . Теперь легко вычислить значение этой функции в любой точке. Пусть, например, надо найти с погрешностью . . Ряд знакочередующийся, первый член, меньший , третий, поэтому .

2. Найти . Этот интеграл берётся аналитически. Надо разложить знаменатель на множители

, разложить подынтегральную функцию на пять простых дробей, найти восемь неопределённых коэффициентов и т.д., и после этого вычислять значение первообразной в начальной и конечной точках. Поступим по другому. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем: , . Остаток ряда после n-го члена . Если , достаточно взять n=2, и .

18.2.6.3.3. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. Пусть дана задача Коши: ,

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. . Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Примеры. 1. . Из уравнения находим . Дифференцируем уравнение: . Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке : , . Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши: .

2. . Находим: Закономерность понятна. Производные порядка 3n-1 и 3n равны нулю, производная порядка 3n+1 равна , поэтому С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси.

Числовые ряды и их свойства.

Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .

Примеры

1. 1+ - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем . Ее сумма равна ,

2. 1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.

3. 1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).

При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+ , =1+ 1+ - суммы n членов ряда – частичные суммы ряда .

Ряд называется сходящимся,если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда
.

Рядназывается расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.

Необходимый признак сходимости ряда.Если ряд сходится, то .

Доказательство. . Пусть ряд сходится, тогда .

Необходимый признак позволяет отсеивать часть расходящихся рядов.

Признаки сравнения рядов.