Численное оценивание параметров моделей
Параметры полиноминальных кривых оцениваются чаще всего методом наименьших квадратов, который требует, чтобы сумма квадратов отношений фактических уровней ряда от соответствующих выровненных на кривой роста значений была наименьшей.
Для полинома первой степени
система нормальных уравнений имеет вид
где знак суммирования распространяется на все моменты наблюдения (все уровни) исходного ВР.
Для полинома второй степени
Пример. 7.3. Методом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y (таблица 7.5) полином второй степени.
Таблица 7.5
Исходные данные задачи
№ п/п=k | |||||||
t | |||||||
yk | 7,4 | 8,4 | 9,1 | 9,4 | 9,5 | 9,5 | 9,4 |
Составим расчетную таблицу (таблица 7.6) для системы уравнений.
Таблица 7.6
Расчетная таблица задачи
№ п/п=k | tk | tk2 | tk3 | tk4 | yk | tk ּ yk | tk2 ּ yk |
7,4 | 51,8 | 362,6 | |||||
8,4 | 67,2 | 537,6 | |||||
9,1 | 81,9 | 737,1 | |||||
9,4 | 94,0 | 940,0 | |||||
9,5 | 104,5 | 1149,5 | |||||
9,5 | 114,0 | 1368,0 | |||||
9,4 | 122,2 | 1588,6 | |||||
∑ | 62,7 | 635,6 | 6683,4 |
Получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем a0 = 2,12; a1 = 1,10; a2 = - 0,04.
Тогда
Для нахождения параметров экспоненциальных и S-образных кривых их сначала логарифмируют, чтобы получить линейное выражение относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.
При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты, различают два случая. Если значение асимптоты известно заранее, то перенося значение параметра к и логарифмируя, получают полином относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.
Если значение асимптоты неизвестно, то используют приближённые методы: метод трёх точек, метод трёх сумм и т.д.
Проверка качества моделей
Адекватность модели
Для проверки адекватности модели исследуют ряд остатков
,
т.е. отклонений расчетных значений от фактических
. Если трендовая модель выбрана правильно, то для остатков характерно: равенство нулю математического ожидания; случайный характер отклонений от математического ожидания; отсутствие автокорреляции и неизменность дисперсии остатков во времени; нормальный закон распределения. Рассмотрим перечисленные требования подробнее.
1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Вычисляется расчетное tp значение этого критерия:
|
![Численное оценивание параметров моделей Численное оценивание параметров моделей - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-34.gif)
где – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков;
– среднеквадратическое отклонение для последовательности εt.
|
![Численное оценивание параметров моделей Численное оценивание параметров моделей - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-37.gif)
Расчетное значение критерия tp сравнивается с табличным tα,ν. На уровне значимости α гипотеза отклоняется, если tp>tα,ν, где tα,ν– критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 – α) и ν = n - 1 степенями свободы.
2. Для проверки условия случайности возникновений отдельных отклонений от трендачасто используется критерий пиков, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним элементов.
В случайной выборке среднее арифметическое числа поворотных точек равна = 2 / 3 (n – 2),
а их дисперсия вычисляется по формуле:
.
Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как
|
![Численное оценивание параметров моделей Численное оценивание параметров моделей - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-41.gif)
где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду, а квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять только целую часть, отбросив дробную, какой бы она не была.
Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и стало быть, модель не является адекватной.
3. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона. С этой целью строится (d критерий) Дарбина-Уотсона, в основе которого лежит расчетная формула
|
![Численное оценивание параметров моделей Численное оценивание параметров моделей - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-42.gif)
Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.
При отсутствии автокорреляции значение dпримерно равно 2, а при полной автокорреляции — 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней временного ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в таблице 7.7, где k – число независимых переменных.
Таблица 7.7