Структура и особенности временных рядов
Временные ряды
Предварительный анализ исходных ВР
Выявление и устранение аномальных наблюдений
Одна из главных задач предварительного анализа заключается в выявлении и устранении аномальных значений уровней ряда. Под аномальным уровнем понимается отдельное значение уровня ВР, которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве уровня ряда, оказывает существенное влияние на значения основных характеристик ВР, в том числе на соответствующую трендовую модель.
Причинами аномальных наблюдений могут быть ошибки технического порядка (ошибки первого рода), которые подлежат выявлению и устранению, и ошибки из-за факторов, имеющих объективный характер, но проявляющихся эпизодически (ошибки второго рода), которые устранению не подлежат.
Основным методом для выявления аномальных уровней ВР является метод Ирвина.
1.Рассчитывают значения λt
где – среднее квадратическое отклонение;
– среднее значение (математическое ожидание).
2. Расчетные значения λ2, λ3 и т.д. сравнивают с табличными значениями критерия Ирвина λα, и если они оказываются больше табличных, то соответствующее значение yt уровня ряда считается аномальным.
– аномально,
– нормально.
В том случае, когда значение числа уровней n находится в промежутке указанном в таблице, приближенное значение λαнаходят графически.
Пример 7.1. Найти приближенное значение λα для n=7.
Число n=7 заключено между табличными значениями n=3 и n=10. Графически показываем на плоскости λαОn точки с координатами (n=3, λα=2,3) и (n=10, λα=1,5) и соединяем их прямой (рис. 7.1).
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-7.gif)
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-8.gif)
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-9.gif)
Рис. 7.1. Приближенное определение значения λα
Из оси абсцисс Оn восстанавливаем перпендикуляр до пересечения с прямой. Откуда получаем, что λα 1,9.
Значение критерия Ирвина при уровне значимости α=0,05 (5%-я ошибка) приведены в таблице
Таблица 7.1
Нормированные значения критерия Ирвина (α=0,05)
n | |||||||
λα | 2,8 | 2,3 | 1,5 | 1,3 | 1,2 | 1,1 | 1,0 |
3. Устанавливают причины появления аномальных уровней ряда. Если они вызваны ошибками первого ряда, то они устраняются либо заменой аномальных уровней средней арифметической двух соседних уровней ряда, либо заменой аномальных уровней соответствующими значениями по кривой, аппроксимирующей данный ВР.
Таблица 7.2
Табулированные значения μ, σ1, σ2
n | ||||
μ | 3,858 | 5,195 | 5,990 | 6,557 |
σ1 | 1,288 | 1,677 | 1,882 | 2,019 |
σ2 | 1,964 | 2,279 | 2,447 | 2,561 |
г) сравниваются расчетные значения ts и td с табличными tα с заданным уровнем значимости; если ts<tα и td<tα , то тренды в среднем и у дисперсии отсутствуют; если ts>tα и td<tα , то имеется тренд в среднем, а тренда у дисперсии ряда – нет и т.д.; t-критерий Стьюдента выбирается из условия α и (n–1).
Методы сглаживания ВР
Очень часто уровни экономических рядов динамики колеблются и тенденция развития экономического явления во времени скрыта случайными отклонениями уровней в ту или иную сторону. Чтобы более четко обозначить тенденцию развития процесса, производят сглаживание (выравнивание) ВР.
Различают аналитическое выравнивание с помощью известных уравнений различных линий (прямая, экспонента и.т.д.) и механическое выравнивание ВР с использованием фактических значений соседних уровней.
При механическом сглаживании берется несколько первых уровней ВР (интервал сглаживания). Для них подбирается полином, степень которого должна быть меньше числа уровней, входящих в интервал сглаживания. С помощью полинома определяются новые, выровненные значения уровней в середине интервала сглаживания. Далее интервал сглаживания сдвигается на один уровень ряда вправо и вычисляется второе сглаженное значение и.т.д.
Метод простой скользящий средней. Интервал по возможности берут большим и состоящим из нечетного числа уровней. Для первых m уровней, образующих интервал сглаживания, вычисляют среднее арифметическое значение, которое соответствует середине интервала:
; t > p;
(m – нечетно).
Далее делается сдвиг на один уровень вправо и операция повторяется.
В результате такой процедуры получаются n–m+1 сглаженных значений уровней ряда. При этом первые и последующие p уровней теряются (не сглаживаются). Рекомендуется только для рядов, имеющих линейную тенденцию.
В методе взвешенной скользящей средней уровни, входящие в интервал сглаживания, суммируются с разными весами, т.к. для сглаживания используются полиномы второй и большей степени.
Средняя арифметическая взвешенная определяется как:
,
где ρt – веса, определяемые методом наименьших квадратов.
Особенностью метода экспоненциального сглаживания является то, что в процедуре нахождения сглаженного уровня используются значения только предшествующих уровней ряда, взятые с определенным весом, причем вес наблюдения уменьшается по мере удаления его от момента времени, для которого определяется сглаженное значение уровня ряда.
Сглаженные значения уровней St , t=1,2,…,n определяются по формуле:
St = αyt + (1–α)St-1,
где α – параметр сглаживания (0<α<1);
(1–α) – коэффициент дисконтирования.
Сглаженное данным методом значение уровня ряда является взвешенной средней всех предшествующих уровней:
где S0 – величина, характеризующая начальные условия; рекомендуются выбирать S0=y1 или S0=1/3(y1+y2+y3).
Значение α рекомендуется выбирать в пределах 0,1 0,3. Р.Браун предлагает выбирать α, исходя из данных ряда:
.
Если при подходе к правому концу ВР, сглаженные этим методом значения при выбранном параметре α начинают значительно отличаться от соответствующих значений исходного ряда, то необходимо перейти на другой параметр сглаживания.
При этом методе не теряются ни конечные, ни начальные уровни ВР.
Оценка автокорреляции во ВР
Часто возникает необходимость оценить зависимость изучаемого показателя yt от его значений, рассматриваемых с некоторым запаздыванием во времени. Зависимость значений уровней ВР от предыдущих (сдвиг на 1), предпредыдущих (сдвиг на 2) и.т.д. уровней того же ВР называется автокорреляцией во ВР.
Автокорреляционная функция вычисляет взаимную корреляционную функцию между исходным рядом yt и этим же рядом, сдвинутым во времени на величину τ.
.
Задавая различные значения τ=1,2,3,… (сдвиг) получают значения r1, r2, r3,… и т.д. На практике рекомендуется вычислять такие коэффициенты в количестве от n/4 до n/3.
График автокорреляционной функции называется кореллограммом и показывает величину запаздывания, с которым изменение показателя yt сказывается на его последующих значениях. Величина сдвига τ, которому соответствует наибольший коэффициент автокорреляции, называется временным лагом.
Иногда используется упрощенная формула:
где – средний уровень ряда.
Пример 7.2. Найти коэффициент автокорреляции rτ ВР для разных значений лага на основании 10-ти наблюдений, представленных стационарным рядом:
yt = (421;392;403;350;364;406;418;382;318;354).
Определяем среднее арифметическое членов ВР:
Подсчитывая значение коэффициента автокорреляции для следующих значений лага τ=1,2,…,5. Для этого составим таблицу.
Таблица 7.3
Рис. 7.2. График автокорреляции ВР
что коэффициент автокорреляции имеет колебательный затухающий характер. Это говорит о том, что по мере удаления от данной точки t стохастическая связь между значениями членов ВР уменьшается.
Кривые роста и их выбор
Плавную кривую (гладкую функцию), аппроксимирующую ВР, принято называть кривой роста. Использование метода экстраполяции на основе кривых роста для прогнозирования базируется на двух предположениях:
- ВР экономического показателя действительно имеет тренд;
- общие условия, определяющие развитие показателя в прошлом, останутся без существенных изменений в течении периода упреждения.
Известно большое количество типов кривых роста для экономических процессов.
Таблица 7.4
Выбор вида кривой роста
Показатель | Характер изменения показателя во времени | Вид кривой роста |
Первый средний прирост ![]() | Примерно одинаковы | Полином первого порядка (прямая) |
Первый средний прирост ![]() | Изменяются линейно | Полином второго порядка (парабола) |
Второй средний прирост ![]() | Изменяются линейно | Полином третьего порядка (кубическая парабола) |
![]() | Примерно одинаковы | Простая экспонента |
![]() | Изменяются линейно | Модифицированная экспонента |
![]() | Изменяются линейно | Кривая Гомперца |
![]() | Изменяются линейно | Логистическая кривая |
Таблица 7.5
Исходные данные задачи
№ п/п=k | |||||||
t | |||||||
yk | 7,4 | 8,4 | 9,1 | 9,4 | 9,5 | 9,5 | 9,4 |
Составим расчетную таблицу (таблица 7.6) для системы уравнений.
Таблица 7.6
Расчетная таблица задачи
№ п/п=k | tk | tk2 | tk3 | tk4 | yk | tk ּ yk | tk2 ּ yk |
7,4 | 51,8 | 362,6 | |||||
8,4 | 67,2 | 537,6 | |||||
9,1 | 81,9 | 737,1 | |||||
9,4 | 94,0 | 940,0 | |||||
9,5 | 104,5 | 1149,5 | |||||
9,5 | 114,0 | 1368,0 | |||||
9,4 | 122,2 | 1588,6 | |||||
∑ | 62,7 | 635,6 | 6683,4 |
Получаем систему уравнений:
Решая систему, получаем a0 = 2,12; a1 = 1,10; a2 = - 0,04.
Тогда
Для нахождения параметров экспоненциальных и S-образных кривых их сначала логарифмируют, чтобы получить линейное выражение относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.
При определении параметров кривых роста, имеющих асимптоты, различают два случая. Если значение асимптоты известно заранее, то перенося значение параметра к и логарифмируя, получают полином относительно логарифмов, а затем используют метод наименьших квадратов.
Если значение асимптоты неизвестно, то используют приближённые методы: метод трёх точек, метод трёх сумм и т.д.
Проверка качества моделей
Адекватность модели
Для проверки адекватности модели исследуют ряд остатков
,
т.е. отклонений расчетных значений от фактических
. Если трендовая модель выбрана правильно, то для остатков характерно: равенство нулю математического ожидания; случайный характер отклонений от математического ожидания; отсутствие автокорреляции и неизменность дисперсии остатков во времени; нормальный закон распределения. Рассмотрим перечисленные требования подробнее.
1. Проверка равенства математического ожидания уровней ряда остатков нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Вычисляется расчетное tp значение этого критерия:
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-34.gif)
где – среднее арифметическое значение уровней ряда остатков;
– среднеквадратическое отклонение для последовательности εt.
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-37.gif)
Расчетное значение критерия tp сравнивается с табличным tα,ν. На уровне значимости α гипотеза отклоняется, если tp>tα,ν, где tα,ν– критерий распределения Стьюдента с доверительной вероятностью (1 – α) и ν = n - 1 степенями свободы.
2. Для проверки условия случайности возникновений отдельных отклонений от трендачасто используется критерий пиков, основанный на поворотных точках. Значение случайной переменной считается поворотной точкой, если оно одновременно больше соседних с ним элементов или, наоборот, меньше значений предыдущего и последующего за ним элементов.
В случайной выборке среднее арифметическое числа поворотных точек равна = 2 / 3 (n – 2),
а их дисперсия вычисляется по формуле:
.
Учитывая эти соотношения, критерий случайности отклонений от тренда при уровне вероятности 0,95 можно представить, как
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-41.gif)
где р – фактическое количество поворотных точек в случайном ряду, а квадратные скобки означают, что от результата вычисления следует взять только целую часть, отбросив дробную, какой бы она не была.
Если неравенство не соблюдается, то ряд остатков нельзя считать случайным (т.е. он содержит регулярную компоненту), и стало быть, модель не является адекватной.
3. Наличие (отсутствие) автокорреляции в отклонениях от модели роста проще всего проверить с помощью критерия Дарбина-Уотсона. С этой целью строится (d критерий) Дарбина-Уотсона, в основе которого лежит расчетная формула
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-42.gif)
Теоретическое основание применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них распределяются в хронологическом порядке.
При отсутствии автокорреляции значение dпримерно равно 2, а при полной автокорреляции — 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d2) и нижние (d1) критические значения, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции, зависят от количества уровней временного ряда и числа независимых переменных модели. Значения этих границ для уровня значимости α = 0,05 даны в таблице 7.7, где k – число независимых переменных.
Таблица 7.7
Точность модели
Оценка точности модели имеет смысл только для адекватных моделей. В случае ВР точность модели определяется как разность между фактическим и расчетным значениями. В качестве статистических показателей точности чаще всего применяют стандартную ошибку прогнозируемого показателя, или стандартное среднеквадратическое отклонение от линии тренда
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-43.gif)
где m – число параметров модели, и среднюю относительную ошибку аппроксимации
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-44.gif)
Если ошибка, вычисленная по последней формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой. В общем случае допустимый уровень точности, а значит и надежности, устанавливает пользователь модели, который в результате содержательного анализа проблемы выясняет, насколько она чувствительна к точности решения и насколько велики потери из-за неточного решения.
Пример расчета ВР и прогноза по этому ряду
Рассмотрим разработку трендовой модели и получение прогнозных оценок динамики изменения параметра на основе временного ряда, представленного в таблице 7.8.
Таблица 7.8
Исходные данные ВР
t | Параметр |
419,08 | |
379,8 | |
410,7 |
Простой анализ данных таблицы 7.8 позволяет сделать вывод о том, что значение параметр yt монотонно возрастает, т.е. имеется положительный тренд, близкий к линейному, т.к. первый средний прирост примерно одинаков (таблица 7.4). Кроме того среди значений параметра yt нет аномальных. Все вышеизложенное позволяет сразу перейти к выбору модели ВР. Выбираем в качестве кривой роста линейную модели вида:
и определяем неизвестные значения коэффициентов а0 и а1 по методу наименьших квадратов (§ 7.4).
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-46.gif)
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-47.gif)
Последовательно подставляя в (7.10) вместо фактора t его значения от 1 до n=14, заполним остальные графы расчётных уровней таблицы 7.9.
Таблица 7.9
Расчетные данные для ВР
t | yt | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | Точ. пов | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |
238,00 | -6,5 | 42,25 | -125,76 | 817,44 | 270,68 | -32,68 | - | 1067,98 | - | - | - | ||
249,00 | -5,5 | 30,25 | -114,76 | 631,18 | 285,00 | -36,00 | 1296,00 | -3,32 | 11,02 | 1176,48 | |||
287,00 | -4,5 | 20,25 | -76,76 | 345,42 | 299,32 | -12,32 | 151,78 | 23,68 | 560,74 | 443,52 | |||
340,00 | -3,5 | 12,25 | -23,76 | 83,16 | 313,64 | 26,36 | 694,85 | 38,68 | 1496,14 | -324,76 | |||
342,00 | -2,5 | 6,25 | -21,76 | 54,4 | 327,96 | 14,04 | 197,12 | -12,32 | 151,78 | 370,09 | |||
373,00 | -1,5 | 2,25 | 9,24 | -13,86 | 342,28 | 30,72 | 943,72 | 16,68 | 278,22 | 431,31 | |||
360,00 | -0,5 | 0,25 | -3,76 | 1,88 | 356,60 | 3,40 | 11,56 | -27,32 | 104,45 | ||||
380,00 | 0,5 | 0,25 | 16,24 | 8,12 | 370,92 | 9,08 | 82,45 | 5,68 | 32,26 | 30,87 | |||
403,00 | 1,5 | 2,25 | 39,24 | 58,86 | 385,24 | 17,76 | 315,42 | 8,68 | 75,34 | 161,26 | |||
419,10 | 2,5 | 6,25 | 55,34 | 138,35 | 399,56 | 19,54 | 381,81 | 1,78 | 3,16 | 347,03 | |||
451,00 | 3,5 | 12,25 | 87,24 | 305,34 | 413,88 | 37,12 | 1377,89 | 17,58 | 309,05 | 725,32 | |||
460,00 | 4,5 | 20,25 | 96,24 | 433,08 | 428,20 | 31,80 | 1011,24 | -5,32 | 28,30 | 1180,42 | |||
379,80 | 5,5 | 30,25 | 16,04 | 88,22 | 442,52 | -62,72 | 3933,80 | -94,52 | 8934,03 | -1994,50 | |||
410,70 | 6,5 | 42,25 | 46,94 | 305,1 1 | 456,84 | -46,14 | - | 2128,90 | • 16,58 | 274,89 | 2893,90 | ||
Σ | 5092,6 | 227,50 | -0,04 | 3256,70 | 5092,64 | -0,04 | 13594,52 | - | 12901,31 | 5545,40 | |||
ср. | 7,5 | 363,76 |
Для проверки адекватности модели в соответствии с видом формул (7.1), (7.4) и (7.4а) организуем и заполним графы 9 – 13, и строим график (рис. 7.3).
Рис. 7.3. Экспериментальный и теоретический ряды
1. Легко убедиться, что математическое ожидание ряда остатков равно нулю, т.е. | | = 0, что следует из суммы 8-ого столбца (-0,04).
2. Проверка случайности ряда остатков по критерию пиков дает положительный результат, т.к. р = 7 (9 столбец таблицы 7.9), а критическое число поворотных точек, рассчитанное по формуле (7.3) равно 5. Таким образом, выполняется условие 7>5.
3. При проверке независимости уровней ряда остатков друг от друга значение d = 0,95, вычисленное по формуле (7.4), при уровне значимости α = 0,025 попадает в интервал между d1 = 0,920 и d2 = 1,060, т.е. в область неопределенности. Поэтому придется воспользоваться формулой (7.4а): r1 = 0,41. Сопоставляя это число с табличным значением первого коэффициента автокорреляции 0,485, взятым для уровня значимости α = 0,01 и n = 14, увидим, что расчетное значение меньше табличного. Это означает, что с ошибкой в 1% ряд остатков можно считать некоррелированным, т.е. свойство взаимной независимости уровней остаточной компоненты подтверждается.
4. Соответствие ряда остатков нормальному распределению установим с помощью формулы (7.5). Вычислим вариационный размах εmax– εmax = 99,84 и среднеквадратическое отклонение δε = 32,34. По этим данным рассчитаем критерий R/S=3,09. Для n = 14 и α = 0,05 найдем критическим интервал: [2,92; 4,05]. Вычисленное значение 3,09 попадает между табулированными границами с заданным уровнем вероятности. Значит, закон нормального распределения выполняется, и можно строить доверительный интервал прогноза.
5. Так как модель оказалась адекватной, оценим ее точность. По формуле (7.7) рассчитаем среднюю относительную ошибку: Еотн = 7,7%. Такую ошибку можно считать приемлемой, 7,7<15.
6. Экстраполяция уравнения = 256,36 + 14,32t на шаг вперед, т.е. на момент времени n + 1 = 15, дает прогнозное значение параметра, равное
= 471,12.
7. Для построения интервального прогноза рассчитаем доверительный интервал (7.9). Примем значение уровня значимости α = 0,3, а значит, доверительную вероятность – 70 %. В этом случае критерий Стьюдента (при v = n –2 = 12) равен tα,v= 1,083. Вычислив среднеквадратическую ошибку тренда (7.6), с учетом значения tα,v получим интервальный прогноз (см. рис. 7.3):
где
Таким образом, построенная нами модель является полностью адекватной динамике параметра и достаточно надежной для краткосрочных прогнозов. Поэтому с вероятностью 0,7 (70%) можно утверждать, что при сохранении сложившихся закономерностей развития значения параметра yt, прогнозируемое на t=15 с помощью линейной модели роста, попадет в промежуток, образованный нижней и верхней границей доверительного интервала (429,25; 512,99).
Адаптивное прогнозирование
Адаптивными методами прогнозирования принято называть такие методы, процесс реализации которых заключается в вычислении последовательных во времени значений прогнозируемого показателя с учетом степени влияния предшествующих уровней. При краткосрочном прогнозировании наиболее важным является не тенденция развития исследуемого процесса, сложившаяся в среднем на всем периоде предыстории, а последние значения этого процесса. Свойство динамичности развития экономического явления здесь преобладает над свойством его инерционности. Поэтому при краткосрочном прогнозировании, как правило, более эффективными оказываются адаптивные методы, учитывающие неравноценность уровней временного ряда и быстро приспосабливающие свою структуру и параметры к изменяющимся условиям.
Наиболее распространенным из адаптивных методов является метод Брауна, в котором расчетное значение yр в момент времени t находится по формуле:
yp (t) = a0 (t – 1) + a1 (t – 1)k
где k – количество шагов прогнозирования (обычно k = 1).
Это значение сравнивается с фактическим уровнем, и полученная ошибка прогноза
Е (t) = y (t) – yp(t)
используется для корректировки модели. Корректировка параметров осуществляется по формулам:
где β– коэффициент дисконтирования данных (уровень значимости), отражающий большую степень доверия к более поздним данным. Его значение должно быть в интервале от 0 до 1. Процесс модификации модели (t = 1, 2, ..., n) в зависимости от текущих прогнозных качеств обеспечивает ее адаптацию к новым закономерностям развития. Для прогнозирования используется модель, полученная на последнем шаге (при t = n).
Воспользуемся схемой адаптивного прогнозирования для примера, рассмотренного в §7.7. Начальные оценки параметров получим по первым пяти значениям yt при помощи метода наименьших квадратов (рис. 7.4).
|
|
|
|
|
![Структура и особенности временных рядов Структура и особенности временных рядов - student2.ru](/images/matematika/struktura-i-osobennosti-vremennykh-ryadov-599169-67.jpg)
Рис. 7.4. Получение начальных значений параметров a0 (0) и a1 (0)
|
|
|
a0(0) = 201,5, a1(0) = 29,9.
Возьмём α = 0,8, k = 1 и β = 1 – α = 0,2 и по формулам адаптирования
получим скорректированные значения параметров a0(t) и a1(t) (таблица 7.10).
Таблица 7.10
Расчет скорректированных значений a0(t) и a1(t)
Время | Факт yt | a0 | a1 | Расчет yt | Отклонение Е(t) |
201,50 | 29,90 | ||||
237,74 | 34,12 | 231,40 | 6,600 | ||
249,91 | 19,49 | 271,86 | -22,860 | ||
286,30 | 30,75 | 269,41 | 17,592 | ||
339,08 | 45,44 | 317,05 | 22,951 | ||
343,70 | 18,23 | 384,52 | -42,523 | ||
372,56 | 25,31 | 361,93 | 11,073 | ||
361,51 | 1,08 | 397,87 | -37,870 | ||
379,30 | 12,22 | 362,59 | 17,409 | ||
402,54 | 19,56 | 391,52 | 11,478 | ||
419,1 | 419,22 | 17,64 | 422,10 | -3,005 | |
450,43 | 26,69 | 436,86 | 14,139 | ||
460,68 | 15,73 | 477,12 | -17,124 | ||
379,8 | 383,66 | -46,10 | 476,42 | -96,615 | |
410,7 | 407,77 | 0,71 | 337,56 | 73,139 | |
408,48 |
Прогнозные оценки по модели расчета yp (t) получаются путем подстановки в нее значения k = 1, а интервальные – по тем же формулам, что и для кривых роста:
yp (15) = 407,11 + 0,71 1 = 408,48.
k = 1 (t = 15)
Нижняя граница: 408,48 – 51,26 = 357, 21.
Верхняя граница: 408,48 + 51,26 = 459,75.
Сведем все полученные результаты в таблицу (таблица 7.11) и покажем на графике (рис. 7.5).
Таблица 7.11
Рис. 7.5. Результаты аппроксимации и прогнозирования по модели Брауна
При сохранении сложившихся закономерностей динамики развития прогнозируемая величина с вероятностью 70% ( t0,3;12=1,0832 ) попадает в интервал, образованный нижней и верхней границами.
Временные ряды
Структура и особенности временных рядов
Большинство экономических задач связано с оценкой основных экономических показателей во времени и с прогнозом этих показателей на будущие моменты времени. Это значит, что основные экономические характеристики необходимо рассматривать как случайные функции.
Но так как статистика оперирует с выборочными значениями показателей, то из случайных функций производится выборка в дискретные моменты времени. В результате получаются так называемые временные ряды, которые являются частным случаем динамического ряда.
Под временным рядом (ВР) понимается последовательность наблюдений некоторого признака Y в различные, чаще всего равноотстоящие моменты времени.
Если измерения проводятся в равноотстоящие моменты времени, то временной ряд можно представить в виде последовательных значений (уровней) показателя, характеризующего состояние процесса в эти моменты времени
y (1), y (2), ..., y (n) или y1, y2,..., yn,
где n – общее число моментов измерения.
Таким образом, составными элементами ВР являются числовые значения показателя, называемые уровнями этих рядов и моменты или интервалы времени, к которым относятся уровни.
ВР, образованные показателями, которые характеризуют экономическое явление на определенные моменты времени, называются моментными (списочная численность рабочих на первое число каждого месяца). Если уровни ВР образуются путем агрегатирования за определенный промежуток времени, то такие ряды называются интервальными (фонд заработной платы рабочих предприятия по месяцам).
Под длиной ВРпонимают время, прошедшее от начального момента наблюдения до конечного, но иногда длиной ряда называют количество уровней, входящих во ВР.
Следует отметить, что ВР качественно отличаются от простых статистических выборок:
- последовательные по времени уровни ВР являются взаимозависимыми, особенно это относится к близко расположенным наблюдениям;
- в зависимости от момента наблюдения уровня в ВР они обладают разной информативностью: информационная ценность наблюдений убывает по мере их удаления от текущего момента времени;
- с увеличением количества уровней ВР точность статистических характеристик не будет увеличиваться пропорционально числу наблюдений, а при появлении новых закономерностей развития она может даже уменьшаться;
- члены ряда не являются одинаково распределенными, т.е.
P(Y(i) < y) ≠ P(Y(j) < y) при i ≠ j.
Если во ВР