Признаки сходимости знакопостоянных рядов.

а). Мажорантный признак.

Пусть имеется два ряда с положительными членами (знакоположительных) и и

$N "n>N . Тогда: если ряд сходится Þ – сходится;

если ряд расходится Þ – расходится.

D ▲.

б). Асимптотическая форма мажорантного признака.

Пусть "n и, при n®¥, . Тогда: сходится Þ сходится ;

расходится Þ расходится .

в). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости рядов.

Пусть "n при n®¥ . Тогда ряды и сходятся или расходятся одновременно.

г). Предельная форма асимптотического признака одновременной сходимости – расходимости рядов

Пусть "n и существует, конечен и не равен нулю , то ряды и сходятся – расходятся одновременно.

Интегральный признак Коши – Маклорена.

Т°. Если для знакоположительного ряда с монотонно убывающими членами, существует интегрируемая по Риману на замкнутых подпромежутках положительной полуоси, невозрастающая неотрицательная функция, совпадающая при целых значениях аргумента со значениями соответствующих членов ряда, то ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. При этом разность между остатком ряда после n-го члена и интегралом по не превышает n +1 члена ряда.

Δ Рассмотрим на оси абсцисс точки 1, 2, 3, …, n–1, n, n +1. И построим …..

Прежде всего, отметим что . Здесь – площадь криволинейной трапеции «по недостатку», а – площадь криволинейной трапеции «по избытку».

Пусть такая, что и, кроме того, .

Тогда Þ Þ Þ

Þ . Из этого неравенства, ясно что, если ряд сходится, то сходится и интеграл , и наоборот.

(?). Рассмотрим цепочку неравенств: Þ Þ

Þ . Перейдем к пределу при . ....... ▲

Пример 1:

, и здесь знак эквивалентности означает, что ряды и интегралы, стоящие по разные стороны этого знака сходятся или расходятся одновременно. Тогда ряд сходится при р >1 и расходится при р 1.

Пример 2: Дзета-функция Римана ζ(z).

Def: ; . Если Þ ,

а ряд сходится или расходится одновременно с интегралом .

т. е. ряд сходится, если Re z > 1 и расходится при Re z 1.

Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.

Не ограничивая общности, можно считать знакопостоянный ряд знакоположительным. Рассмотрим ряд . Последовательность для ряда называется последовательностью Коши.

Признак Коши: Для ряда если , то ряд сходится, а если , то ряд расходится. При q = 1 признак Коши на вопрос о сходимости не отвечает.

Предельная форма признака Коши:Если , то при ряд сходится, при ряд расходится, при ответа на вопрос о сходимости нет.

Δ. Пусть , тогда с некоторого номера Þ , ряд – сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно также сходится. Если же , тогда при достаточно больших n

и общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. ▲