Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
а). Мажорантный признак.
Пусть имеется два ряда с положительными членами (знакоположительных) и
и
$N "n>N . Тогда: если ряд
сходится Þ
– сходится;
если ряд расходится Þ
– расходится.
D ▲.
б). Асимптотическая форма мажорантного признака.
Пусть "n и, при n®¥,
. Тогда: сходится
Þ сходится
;
расходится Þ расходится
.
в). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости рядов.
Пусть "n при n®¥
. Тогда ряды
и
сходятся или расходятся одновременно.
г). Предельная форма асимптотического признака одновременной сходимости – расходимости рядов
Пусть "n и существует, конечен и не равен нулю
, то ряды
и
сходятся – расходятся одновременно.
Интегральный признак Коши – Маклорена.
Т°. Если для знакоположительного ряда с монотонно убывающими членами, существует интегрируемая по Риману на замкнутых подпромежутках положительной полуоси, невозрастающая неотрицательная функция, совпадающая при целых значениях аргумента со значениями соответствующих членов ряда, то ряд и несобственный интеграл сходятся и расходятся одновременно. При этом разность между остатком ряда после n-го члена и интегралом по не превышает n +1 члена ряда.
Δ Рассмотрим на оси абсцисс точки 1, 2, 3, …, n–1, n, n +1. И построим …..
Прежде всего, отметим что
. Здесь
– площадь криволинейной трапеции «по недостатку», а
– площадь криволинейной трапеции «по избытку».
Пусть такая, что
и, кроме того,
.
Тогда
Þ
Þ
Þ
Þ . Из этого неравенства, ясно что, если ряд
сходится, то сходится и интеграл
, и наоборот.
(?). Рассмотрим цепочку неравенств: Þ
Þ
Þ . Перейдем к пределу при
. ....... ▲
Пример 1:
, и здесь знак эквивалентности означает, что ряды и интегралы, стоящие по разные стороны этого знака сходятся или расходятся одновременно. Тогда ряд
сходится при р >1 и расходится при р
1.
Пример 2: Дзета-функция Римана ζ(z).
Def: ;
. Если
Þ
,
а ряд сходится или расходится одновременно с интегралом
.
т. е. ряд сходится, если Re z > 1 и расходится при Re z
1.
Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
Не ограничивая общности, можно считать знакопостоянный ряд знакоположительным. Рассмотрим ряд . Последовательность
для ряда
называется последовательностью Коши.
Признак Коши: Для ряда если
, то ряд сходится, а если
, то ряд расходится. При q = 1 признак Коши на вопрос о сходимости не отвечает.
Предельная форма признака Коши:Если , то при
ряд сходится, при
ряд расходится, при
ответа на вопрос о сходимости нет.
Δ. Пусть , тогда с некоторого номера
Þ
, ряд
– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), следовательно
также сходится. Если же
, тогда при достаточно больших n
и общий член ряда не стремится к нулю. Ряд расходится. ▲