Тема 5.2 Численное дифференцирование
Интегральные формулы Ньютона и Гаусса. Численное дифференцирование.
Вопросы для самоконтроля:
1. Назовите формулы Ньютона и Гаусса.
2. Перечислите методы численного дифференцирования.
4.2 Ознакомление с рекомендуемыми нормативными документами, Интернет-ресурсами по учебной дисциплине
Перечень учебных изданий, интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Основные источники:
1. Башмаков М.И. Математика(СПО): учебное пособие.- Москва: КноРус, 2013. — 394 с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/915056
2. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник для общеобразоват учреждений / Ю.В. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачёва, Н.Е. Фёдорова, М.И. Шабунин – 10-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2015. – 366с.
3. Математика для экономистов: учебное пособие/ С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. – М.:КНОРУС, 2016. – 264с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/918834
Дополнительные источники:
1. Математика для экономистов и менеджеров. Практикум : учебное пособие / Н.Ш. Кремер под общ.ред., Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. — Москва: КноРус, 2015. - 479 с. [Электронный ресурс]. - URL: https://www.book.ru/book/916680
2. Тематические тесты УМК «Математика. ЕГЭ - 2015» / под ред. Ф.Ф. Лысенко –Ростов - на – Дону: «Легион-М», 2015
3. Математика /Дадаян А.А./ : Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2015.- (Серия «Профессиональное образование»).
Интернет-ресурсы:
1. http://elibrary.ru/defaultx.asp (Научная электронная библиотека)
2. https://www.book.ru/ (Электронная библиотечная система)
3. http://biblioclub.ru/ (Университетская библиотека онлайн)
4. http://grebennikon.ru/ (Электронная библиотека Grebennikon)
5. www.fcior.edu.ru (Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов — ФЦИОР).
6. www.school-collection.edu .ru (Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов).
7. www.intuit.ru/studies/courses (Открытые интернет-курсы «Интуит» по курсу «Математика»).
8. www.megabook.ru (Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия, разделы «Наука / Математика. Кибернетика» и «Техника / Компьютеры и Интернет»).
9. www.digital-edu.ru (Справочник образовательных ресурсов «Портал цифрового образования»).
10. www.window.edu.ru (Единое окно доступа к образовательным ресурсам Российской Федерации).
Выполнение контрольной работы
Работа должна быть оформлена в соответствии с методическими указаниями.
Обучающийся выбирает номер варианта контрольной работы в зависимости от двух последних цифр номера своего студенческого билета
Таблица 1.
| Последняя цифра в номере студенческого билета | |||||||||||
| Предпоследняя цифра в номере студенческого билета | |||||||||||
Варианты контрольных работ
Вариант 1
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные 
, пользуясь формулами дифференцирования:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 2
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:
а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 3
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 4
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 5.
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
.
Вариант 6
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 7
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 8
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 9
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
Вариант 10
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка
.
Вариант 11
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
.
Вариант 12
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
.
Вариант 13
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, .
Вариант 14
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
.
Вариант 15
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям 
, .
Вариант 16
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д)
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
Вариант 17
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
; б) 
в) 
; г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
.
Вариант 18
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
.
Вариант 19
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, 
Вариант 20
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
№3
Найти интегралы:а) 
; б) 
; в) 
.
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям
, .
Вариант 21
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)
№3
Найти интегралы:а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям ,
Вариант 22
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)
№3
Найти интегралы:а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .
Вариант 23
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)
№3
Найти интегралы:а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .
Вариант 24
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)
№3
Найти интегралы: а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .
Вариант 25
№1.
Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными методами Крамера и Гаусса: 
№2
Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования: а) б) в) г) д)
№3
Найти интегралы: а) ; б) ; в) .
№4
Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001 путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда 
№5
Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям , .
Примерные решения некоторых тематических задач
Элементы линейной алгебры.
Задача 1. Решить систему линейных уравнений:
а) методом Гаусса; б) с помощью определителей;
Решение
а) Исключим из последних двух уравнений х1. Для этого умножим первое уравнение на (–5) и результаты прибавим соответственно ко второму уравнению, затем обе части первого уравнения умножим на (–3) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему, эквивалентную данной:
(1)
Разделив обе части второго уравнения системы (1) на 2, получим систему
(2)
Теперь исключим из третьего уравнения системы (2) переменную х2. Для этого обе части второго уравнения этой системы умножим на (-7) и результаты прибавим к третьему уравнению. В результате получим систему
(3)
Откуда x3 = 3, х2 = 1 и х1 = –2. Приведение данной системы к ступенчатому виду (3) практически более удобно, если использовать преобразования расширенной матрицы данной системы, то есть матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Для удобства столбец свободных членов этой матрицы отделим вертикальной чертой. Расширенная матрица данной системы имеет вид:
.
Умножим элементы первой строки матрицы на (–5) и результаты прибавим к элементам второй строки, затем умножим элементы первой строки на (–3) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу
Разделив элементы второй строки на 2, получим
Элементы второй строки умножим на (–7) и результаты прибавим к элементам третьей строки. Получим матрицу,
которая позволяет данную систему привести к виду (3) и затем решить ее.
б) Составим и вычислим следующие определители системы. Определитель 
, составленный из коэффициентов при неизв