Построение вероятностного пространства.
Последовательно строим вероятностное пространство.
Этап 1:
Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий e. Все события из системы e называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A Ì e, B Ì e наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B Ì F выполняется:
1)Дополнения
2)(A+B) Î F, (A×B) Î F
3)все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
4)все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
5)все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему e мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
Этап 2:
Каждому событию A Î F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
1.
2. P(U)=1.
3. Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
. Если
, то
.
Алгебра событий называется s - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.
Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида a³x>b, b¹a.
Распространение этой алгебры на s - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида a³x>b, но и расширением полей вида a>x³b, a³x³b.
Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
1.
. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
2. P(A) Î [0, 1] P(U)=1.
3. Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
Если
, то
.
Теорема о продолжении меры.
Построим минимальную s - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская s - алгебра - это минимальная s - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).
Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной s - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.
Таким образом, продленное P(A) называется s - аддитивной мерой.
s - алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.
Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из s - алгебры.
Расширение поля наблюдаемых событий на s - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия s - алгебры.
Определение вероятностного пространства.
Вероятностным пространством называется тройка (W, s, P), где
W - пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;
s - s-алгебра, заданная на W - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P - s - аддитивная мера, т.е. s - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из s - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.
1.
. P(A) - называется вероятностью наступления события A.
2. Вероятность достоверного события равна 1 P(W)=1.
3. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
,
.
k - возможно бесконечное число.
Следствие:
Вероятность невозможного события равна 0.
По определению суммы имеет место неравенство W+V=W. W и V несовместные события.
По третей аксиоме теории вероятности имеем:
P(W+V)=P(Q)=P(U)=1
P(W)+P(V)=P(W)
1+P(V)=1
P(V)=1
Пусть W состоит из конечного числа элементарных событий W={E1, E2,..., Em} тогда по определению . Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место
Пусть некоторое событие AÌW состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik}
Доказать: Если AÌB, то P(B)³P(A), B=A+C, A и C несовместны.
* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятности P(B)=P(A+C)=P(A)+P(C) т.к. 1³P(C)³0 - положительное число, то P(B)³P(A).