1. Главная
  2. Математика
  3. Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения

Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения

6.1. Разобрать решение, заполнив пропуски
Задача 1.Победу в волейбольном матче одерживает команда, выигравшая 3 партии. Найти вероятность того, что матч между командами, для которых вероятность выигрыша каждой партии равна соответственно 0,8 и 0,2, будет состоять из 5 партий. Решение. Для того, чтобы потребовалось играть пятую партию, нужно, чтобы после четырех партий счет в матче был 2:2. Следовательно, каждая из команд должна выиграть любые две партии из четырех. Если Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru есть вероятность выигрыша в каждой партии для первой команды, а Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru — вероятность ее проигрыша, то, применяя формулу Бернулли, найдем, что Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru    
Задача 2. В магазине 5 холодильников. Вероятность выхода из строя каждого холодильника в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение года ремонта потребует: 1) не менее 4 холодильников; 2) не менее 1 холодильника. Решение. Поскольку все холодильники имеют одинаковую вероятность выхода из строя в течение года Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , то используем формулу Бернулли. 1) Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 2 холодильников, равна Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru     2) Вероятность того, что в течение года ремонта потребует не менее 1 холодильника (хотя бы один), равна Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru
Задача 3.Товаровед осматривает 24 образца товаров. Вероятность того, что каждый из образцов будет признан годным к продаже, равна 0,6. Найти наивероятнейшее число образцов, которое товаровед признает годными к продаже. Решение. По условию Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru ,значит Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Найдем наивероятнейшее число Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , годных к продаже образцов, из двойного неравенства: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Подставим: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , или Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Т.к. Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru - целое число, то наивероятнейших чисел будет два: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru = и Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru =
Задача 4.Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появлений события в этих испытаниях было равно 25. Решение. По условию Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru ,значит Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Воспользуемся двойным неравенством: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Подставим данные задачи, получим систему неравенств, для определения неизвестного числа: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Из первого неравенства найдем Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Из второго неравенства найдем Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Значит, искомое число испытаний, должно удовлетворять двойному неравенству: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru
Задача 5.Завод отправил на базу 10000 стандартных изделий. Среднее число поврежденных при транспортировке изделий составляет 0,02%. Найти вероятность того, что из 10000 изделий будет повреждено: а) три, б) менее трех.   Решение. а) По условию Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru достаточновелико, а Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Значит удобно воспользоваться формулой Пуассона: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   б) Вероятность того, что событие наступит менее трех раз:   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Используя формулу Пуассона, получим Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Искомая вероятность: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru
Задача 6.Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков. Решение. По условию Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , значит Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Т. к. Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru – достаточно большое число, а Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru то воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , где Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Т. к. функция Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru - четная, то Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . По таблице значений (например, см. Учебные карты Часть3 приложение 1) найдем Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Искомая вероятность равна: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru
Задача 7.Вероятность выхода из строя за время Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru одного конденсатора равна 0,2. Найти вероятность того, за время Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru из 100 выйдут из строя менее 28 конденсаторов. Решение. По условию задачи требуется найти Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru достаточно велико, поэтому воспользуемся интегральной теоремой Лапласа: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru ,   где Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . о условию Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , значит Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru Вычислим Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru и Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru , определяемые данными задачи:   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   По таблице значений (например, см. Учебные карты Часть3 приложение 2) найдем   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Т. к. функция Лапласа нечетная, то Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru .   Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru   Искомая вероятность равна: Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru  
6.2. Решить задачу
Задача 8.Вероятность выхода за границы поля допуска при обработке плунжера на токарном станке равна 0,07. Определить вероятность того, что из пяти наудачу отобранных в течение смены деталей у одной размеры диаметра не соответствуют заданному допуску. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 9.Вероятность взятия вратарем одиннадцатиметрового штрафного удара равна 0,25. Найти вероятность того, что он возьмет хотя бы один мяч из четырех. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 10.Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти (ничьи во внимание не принимаются). Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 11.Вероятность того, что летом день будет ясным, равна 0,42; вероятность пасмурного дня равна 0,36 и переменной облачности – 0,22. Сколько дней из 59 можно ожидать ясных и пасмурных? Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 12.Чему равна вероятность Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru наступления события в каждом из 49 независимых испытаниях, если наивероятнейшее число наступлений события в этих испытаниях равно 30. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 13. Телефонная станция обслуживает 1000 абонентов. В данном интервале времени любой абонент независимо от остальных может сделать вызов с вероятностью 0,005.Требуется найти вероятность того, что в данном интервале было не более 7 вызовов. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 14.Вероятность того, что станок-автомат производит годную деталь, равна Решение задач на применение формулы Бернулли и её предельные соотношения - student2.ru . За смену было изготовлено 280 деталей. Определить вероятность того, что среди них 20 бракованных. Решение.
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
                                                               
Задача 15.Вероятность появления события в каждом из 2100 независимых испытаний постоянна и рав




Наши рекомендации

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Указания к решению задач. Задачи этой темы рассчитаны на применение уравнения Бернулли для реального потока

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Предельные теоремы для схемы Бернулли

Формулы и функции. Решение задач

Решение задач на применение формулы полной вероятности и формулы Байеса

Урок 12. Решение задач: Определение формулы вещества по продуктам сгорания (с проверки).

Урок 4. Решение задач. Определение формулы вещества по плотности и массовой доле.

Решение задачи на применение соотношения волнового движения

Предельные теоремы в схеме Бернулли.