Сложение и умножение вероятностей
Справочный материал
· Теорема сложения вероятностей двух событий
Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих
событий без вероятности их совместного появления:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ). (6.1)
· Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В). (6.2)
3амечание. Формула (6.2) получается из формулы (6.1), когда А
и В - несовместные события; в этом случае АВ - невозможное событие и
Р(АВ) = 0.
· Теорема сложения вероятностей n несовместных событий
Вероятность суммы n несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий:
(6.3)
Сумма вероятностей событий , образующих полную
группу, равна единице:
. (6.4)
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
(6.5)
Введем обозначение:
(6.6)
тогда формулу (6.5) можно записать в виде:
p+q=1 (6.7)
Вероятность события В при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В и обозначается Р(В/A), или .
· Теорема умножения вероятностей
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:
(6.8)
Событие В не зависит от события А, если
P(B/A)=P(B), (6.9)
т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А. В этом случае и событие А не зависит от события В, т.е. свойство независимости событий является взаимным.
Отметим, что если события А и В независимы, то также независимы события и В, А и и
· Теорема умножения вероятностей двух независимых событий
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей::
(6.10)
· Теорема умножения вероятностей n событий
Вероятность произведения nсобытий равна произведению одного
из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:
(6.11)
В частности, для трех событий А, В, С формула (6.11) принимает вид:
(6.12)
События называются независимыми в совокупности, или незавиcимыми, если они попарно-независимы, а также независимы каждое из них и произведение kостальных (k = 2, 3, ... , n-1).
3амечание. Из попарной независимости событий не следует их независимость в совокупности.
3амечание. Если события независимы, то противоположные им события , также независимы.
· Теорема умножения вероятностей n независимых событий
Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:
(6.13)
3амечание. Равенство (6.13) выражает необходимое и достаточное
условие независимости событий .
Для трех независимых событий А, В, С формула (6.13) принимает вид:
(6.14)
Вычисление вероятности суммы событий можно свести к вычислению вероятности произведения противоположных событий по формуле
(6.15)
В частности, если события , независимы, то
. (6.16)
Если независимые события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появления хотя бы одного из этих событий выражается формулой:
(6.17)
где
В обратной задаче вероятность наступления события А (Р(А)) известна и нужно определить, при каком числе nнезависимых событий достигается заданное значение Р(А). Точнее говоря, задается некоторое число Q такое, что
(6.18)
из этого неравенства определяется значение n.
Задачи
Задача 1. Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?
Решение. Обозначим события: А - выпало четное число очков; - выпало k очков (гдеk = 1,2,3,4,5,6). Событие А означает, что наступило хотя бы одно из событий: Т.е. событие А можно записать как сумму событий
Поскольку события несовместны, то можно воспользоваться формулой (6.3) при n= 3, учитывая, что вероятность наступления любого из событий равна т.е.
(k = 1,2, 3, 4, 5, 6).
Тогда
Замечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле
Задача 2.В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых.
Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик?
Решение. Извлечение цветного шарика означает появление либо
голубого, либо зеленого шарика. Обозначим событие А – извлечение голубого шарика, событие В – извлечение зеленого шарика.
Вероятность извлечения голубого шарика равна:
где n - общее число исходов опыта, n=15+5+20=40,
число исходов, благоприятствующее извлечению голубого шарика, .
Вероятность извлечения зеленого шарика равна:
где n - общее число исходов опыта, n=15+5+20=40,
число исходов, благоприятствующее извлечению голубого шарика, .
Так как события А и В несовместны, то по формуле (6.2) получаем
3амечание. Тот же результат получается и непосредственно по формуле
где событие С - появление цветного шара, голубого или зеленого. Этому событию благоприятствует 20 элементарных исходов.
Задача 3.Подбрасываются два игральных кубика. Найти вероятность события А - сумма выпавших очков не превосходит четырех.
Решение. Обозначим события: сумма выпавших очков равна 2, - сумма выпавших очков равна 3, - сумма выпавших очков равна 4.
Событие А есть сумма этих трех несовместных событий, т.е.
.
Найдем вероятности событий Известно, что при бросании двух игральных кубиков общее число исходов n=36. Составим таблицу, позволяющую найти число исходов, благоприятствующих событиям (таблица 6.1).
Таблица 6.1
| Сумма выпавших очков | Очки первой кости | Очки первой кости | Число благоприятствующих исходов () |
Из таблицы 6.1 следует, что
Поскольку события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий получим
3амечание. Тот же результат можно получить непосредственно. Действительно, событию Аблагоприятствуют 6 элементарных исходов (см. таблицу 6.1). Всего же элементарных исходов возможно 36 (n=36),
поэтому
Задача 4. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на 3 сектора. Вероятность попадания в первый сектор равна 0,4, во второй - 0,3. Какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?
Решение. Обозначим событие А - попадание в первый сектор и событие В – попадание во второй сектор. Эти события несовместны, т.к. попадание в один сектор исключает попадание во второй, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий.
В соответствии с этой теоремой находим искомую вероятность:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,4 + 0,3 = 0,7.
Задача 5. Вероятность попадания в мишень для первого спортсмена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?
Решение. Обозначим событие А - попадание первого спортсмена в мишень, событие В - попадание второго спортсмена в мишень, событие С - попадание хотя бы одного из спортсменов в мишень.
Очевидно, что А + В = С, причем события А и В совместны.
В соответствии с формулой (6.1) получаем
P(C) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
Поскольку А и В - независимые события, а для них верна формула
(6.10), можно записать:
Р(С) = Р(А)+ Р(В) - Р(А)Р(В).
Подставив заданные значения Р(А) = 0,85, Р(В) = 0,8 в формулу
для Р(С) , найдем искомую вероятность
Р( С) = (0,85 + 0,8) - 0,85·0,8 = 0,97 .
Задача 6. Симметричная монета подброшена три раза. Какова вероятность того, что цифра выпадет ровно два раза?
Решение. Обозначим события: - выпадение цифры при первом подбрасывании монеты, - выпадение цифры при втором подбрасывании монеты, - выпадение цифры при третьем подбрасывании монеты, А - выпадение двух цифр при трех подбрасываниях монеты.
Тогда, событие А можно представить как:
Поскольку слагаемые в правой части этого равенства попарно несовместны, то по формуле (6.3) при n = 3 получаем:
Учитывая, что события независимые, имеем:
Замечание. Т.к. монета симметричная, считаем вероятность выпадения цифры равной вероятности выпадения герба
Задача 7. С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из
которых 190 стандартных; со второго станка поступило 300 деталей, из которых 280 стандартных.
Найти вероятность события А, состоящего в том, что наудачу взятая деталь будет стандартной, и условные вероятности события А относительно событий В и , если событие Всостоит в том, что деталь изготовлена на первом станке.
Решение. Так как детали изготовленные на первом и втором станках хранятся вместе, то вероятность события А равна отношению числа всех имеющихся стандартных деталей к общему числу изготовленных на обоих станках деталей:
Условная вероятность события А относительно события В (т.е. вероятность того, что взятая наудачу деталь стандартная, если известно, что она изготовлена на первом станке):
Условная вероятность события А относительно события , т.е. вероятность того, что взятая деталь стандартная, если известно, что она
изготовлена не на первом (следовательно, на втором) станке:
Обозначения: - общее число деталей, изготовленных на первом и втором станках ответственно, – число стандартных деталей, поступивших на сборку с первого и второго станков соответственно.
Задача 8.В урне находятся 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны
последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.
Решение. Обозначим события: - первый извлеченный шар голубой, – второй извлеченный шар голубой, - третий извлеченный шар голубой, А – все три извлеченные шара голубые.
Тогда, событие А можно записать как:
Воспользуемся формулой (6.11), которая при n = 3 принимает вид:
Поскольку
то
3амечание. Эту вероятность можно найти и непосредственным подсчетом с использованием формул комбинаторики.
Поскольку в данном случае
то
Задача 9. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.
Решение. Обозначим события: событие А - попадание в мишень первым стрелком, событие В- попадание в мишень вторым стрелком, событие С - попадание в мишень третьим стрелком, D- попадание в мишень хотя бы одним стрелком. Т.е.
D = А+В+C.
Событие D является противоположным событию (это событие обозначает ни одного попадания):
Поскольку события А, В, С независимы, то можно воспользоваться формулой (6.16), которая в данном случае принимает вид
Так как
то
Задача 10.Одновременно подбрасываются две монеты.Найти вероятность появления цифры на обеих монетах.
Решение. Обозначим событие А – выпадение цифры при подбрасывании первой монеты, событие В - выпадение цифры при подбрасывании второй монеты. Учитывая, что монеты симметричны, полагаем вероятности указанных событий равными Т.е.
События А и В независимы, поэтому искомую вероятность найдем по формуле (6.10):
Задача 11.В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны
поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом извлечении появится голубой шар (обозначим это событие А), при втором извлечении появится красный шар (событие В), при третьем извлечении появится белый шар (событие С).
Решение. Вероятность появления голубого шара при первом извлечении равна:
Вероятность появления красного шара во втором извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился голубой шар, т.е. условная вероятность
Вероятность появления белого шара в третьем извлечении, вычисленная в предположении, что в первый раз появился голубой шар, во второй - красный, т.е. условная вероятность
По формуле (6.12) находим искомую вероятность:
Задача 12.Имеются две урны с шарами трех цветов. В первой
находятся 2 голубых, 3 красных, 5 зеленых, а во второй - 4 голубых, 2
красных и 4 зеленых. Из каждой урны извлекают по одному шару и
сравнивают их цвета. Найти вероятность того, что цвета вынутых шаров
одинаковы.
Решение. Введем обозначение событий: событие А – цвета вынутых шаров одинаковы, событие - из первой урны извлечен голубой шар, событие - из первой урны извлечен красный шар, событие - из первой урны извлечен зеленый шар, событие - из второй урны извлечен голубой шар, событие - из второй урны извлечен красный шар, событие - из второй урны извлечен зеленый шар.
Тогда, событие А можно записать как:
Поскольку события несовместны,
то применима формула (6.3) при n = 3:
Так как события , то можно пользоваться формулой (6.10) для каждой пары событий. Т.е. можно записать:
Следовательно,
=
Задача 13. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что любой станок в течении часа потребует внимания
рабочего равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимы,
найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего:
а) все четыре станка;
б) ни один станок;
в) по крайней мере один станок.
Решение. Введем обозначения событий: событие – в течение часа внимания рабочего потребует первый станок, событие – в течение часа внимания рабочего потребует второй станок, событие – в течение часа внимания рабочего потребует третий станок, событие – в течение часа внимания рабочего потребует четвертый станок. По условию задачи все указанные события независимы.
По теореме умножения вероятностей независимых событий вероятность того, что в течение часа все станки потребуют внимания рабочего, т.е. произойдут события и и и и выразится формулой (6.13) при n = 4:
Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует
внимания рабочего, найдем по правилу вычисления вероятности противоположного события. Для этого вычислим вероятность события состоящего в том, что первый станок в течение часа не потребует внимания рабочего:
Вычислим вероятность события состоящего в том, что второй станок в течение часа не потребует внимания рабочего:
Аналогично получим для третьего и четвертого станков:
Следовательно, вероятность события В, состоящего в том, что ни
один станок в течение часа не потребует внимания рабочего, т.е. произойдут события и также выражается формулой (6.13) при n = 4:
)=
= 0,4 . 0,4 . 0,4 . 0,4,= 0,0256.
Событие, состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из четырех станков потребует внимания рабочего, и событие В являются противоположными. Поскольку Р(В) = 0,0256 , то
Задача 14. Мастер обслуживает 5 станков. 10% рабочего времени
он проводит у первого станка, 15% - у второго, 20% - у третьего, 25% - у четвертого, 30% - у пятого. Найти вероятность того, что в наудачу выбранный момент времени он находится:
1) у первого или третьего станка;
2) у второго или пятого станка;
3) у первого или четвертого станка;
4) у третьего или пятого станка;
5) у первого или второго, или четвертого станка.
Решение. Введем обозначение событий: событие А состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у первого станка; событие В состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у второго станка; событие С состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у третьего станка; событие D состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у четвертого станка; событие Е состоит в том, что в наудачу выбранный момент времени мастер находится у пятого станка.
Из условия задачи следует, что события А, В, С, D, Е попарно несовместны и
Р(А) = 0,10; Р(В) = 0,15; Р(C) = 0,20; P(D) = 0,25; Р(Е) = 0,30.
Принимая во внимание определение суммы событий и теорему сложения вероятностей несовместных событий, находим:
Р(А + C) = Р(А) + Р(C) = 0,10+ 0,20 = 0,30;
Р(В + Е) = Р(В) + Р(Е) = 0,15 + 0,30 = 0,40;
Р(А+ D) = P(A)+P(D) = 0,10+0,25 = 0,35;
Р(C+ Е) = Р(C)+ Р(Е) = 0,20+0,30 = 0,50;
Р(А+ В+ D) = Р(А)+ Р(В)+ P(D) = 0,10+ 0,15 +0,25 = 0,50.
Задача 15. Найти вероятность того, что наудачу взятое двузначное
число окажется кратным или 2, или 7, или тому и другому одновременно.
Решение. Введем обозначения событий: событие А - наудачу взятое двузначное число кратно2, событие В - наудачу взятое двузначное число кратно 7.
Необходимо найти Р(А + В). Поскольку А и В - совместные события, то следует пользоваться формулой (6.1). Двузначных чисел
всего 90 (это числа от 10 до 99). 45 чисел из них кратны 2 (являются
четными), они благоприятствуют событию А. 13 чисел из этих 90 чисел кратны 7; 7 чисел кратны 2и 7 одновременно (благоприятствуют событию АВ).
Таким образом,
Следовательно,
Задача 16. Из урны, содержащей 3 голубых и 2 красных шара, по
схеме случайного выбора без возвращения последовательно извлекаются шары. Найти вероятность того, что красный шар впервые появится при k-ом испытании (k = 1, 2, 3,4).
Решение. Ведем обозначения для событий: событие - появился красный шар при k-омиспытании, событие - впервые красный шар появился при k-ом испытании (k = 1,2,3,4).
Запишем события
1) Красный шар впервые появился при первом испытании:
2) Красный шар впервые появился при втором испытании:
3) Красный шар впервые появился при третьем испытании:
4) Красный шар впервые появился при третьем испытании:
.
В соответствии с формулой (6.11) получаем:
).
Найдем вероятность того, что красный шар появился при первом опыте:
Вероятность противоположного события (при первом испытании красный шар не появился) равна:
Найдем вероятность события «красный шар не появился при i+1 попытке»:
Найдем вероятность события «красный шар появился при i+1 попытке»:
Тогда искомые вероятности равны:
)=
Задача 17. Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика,
чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы
больше 1/2? (Эту задачу впервые поставил французский математик и
писатель де Мере (1610-1684), поэтому задача часто называется его именем).
Решение. Введем обозначение: событие - выпадение двух шестерок при i-ом подбрасывании.
Так как с каждой из шести граней первого кубика может выпасть любая из шести граней второго кубика, то всего возможно 6·6 = 36 равновозможных и попарно несовместных событий.
Только одно из этих 36 событий – выпадение шести очков и на первом и на втором кубике – благоприятствуют событию . Следовательно,
Тогда вероятность невыпадения двух шестерок при i-ом подбрасывании равна:
Подбрасывания игральных кубиков - независимые испытания, причем вероятность наступления события в каждом испытании одинакова и равна p, поэтому можно воспользоваться формулой (6.17), которая в данном случае принимает вид:
или , откуда .
Из этого неравенства найдем n. Логарифмируя, получаем
Откуда
Т.о., чтобы вероятность выпадения двух шестерок была больше 1/2, нужно подбросить кубик не менее 25 раз.
Задача 18. Вероятность того, что событие появится хотя бы один
раз в трех независимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность
появления события в одном испытании (предполагается, что во всех
испытаниях вероятность появления события одна и та же).
Решение. Поскольку рассматриваемые события независимы и вероятность появления события в каждом опыте одинакова, то применима формула (6.17), т.е.
По условию
Р(А) = 0,973, n = 3.
Следовательно,
Или
=1-0,973=0,027.
Искомая вероятность
Задача 19. Слово папаха составлено из букв разрезной азбуки.
Карточки с буквами тщательно перемешивают. Четыре карточки извлекаются по очереди и раскладываются в ряд. Какова вероятность получить таким путем слово папа?
Решение. Введем обозначения: событие А – первой извлечена буква п, событие В – второй извлечена буква а, событие С – третьей извлечена буква п, событие D –четвертой извлечена букваа. Все буквы извлекаются из набора в 6 букв.
Найдем вероятность события А:
Найдем вероятность события B при условии, что событие А уже произошло:
Найдем вероятность события C при условии, что события А и В уже произошли:
Найдем вероятность события D при условии, что события А,В и С уже произошли:
В соответствии с формулой (6.11) при n = 4 получаем:
P(ABCD)=P(A)P(B/A)P(C/AB)P(D/ABC)=
Формула полной вероятности
Справочный материал
Рассмотрим nпопарно несовместных событий для
которых известны вероятности и событие
, причем известны условные вероятности
Вероятность события А определяется формулой:
(7.1)
Эта формула называется формулой полной вероятности. События иногда называют гипотезами.
Задачи
Задача 1. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 30%, вторая - 25%, третья - 45% всех изделий. Брак в их продукции составляет соответственно 2%, 1 %, 3%. Найти вероятность того, что случайно выбранный болт оказался дефектным.
Решение. Введем обозначения: обозначим событие А - случайно
выбранный болт является дефектный, события - этот болт произведен соответственно первой, второй и третьей машинами.
Из условия задачи следует, что
По формуле (7.1), при n = 3, получаем:
Задача 2. В пяти ящиках находятся одинаковые по размерам и
весу шары. В двух ящиках - по 6 голубых и 4 красных шара, в двух других ящиках - по 8 голубых и2 красных шара, в одном ящике - 2 голубых и 8 красных шаров. Наудачу выбирается ящик и из него извлекается шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар оказался красным?
Решение. Введем обозначения: событие А - извлечен красный шар, событие - в ящике 6 голубых и 4 красных шара, событие - в ящике 8 голубых и 2 красных шара, событие - в ящике 2 голубых и 8 красных шаров.
Из условия задачи следует, что:
Вероятность вынуть красный шар, если известно, что взят ящик
первого состава , равна:
Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик
второго состава (, равна:
Вероятность извлечь красный шар, если известно, что взят ящик
третьего состава(, равна:
В соответствии с формулой (7.1) при n = 3 находим искомую вероятность:
Задача 3.Партия электрических лампочек на 20% изготовлена
первым заводом, на 30% - вторым, на 50% - третьим. Вероятности выпуска заводами бракованных лампочек соответственно равны:
= 0,01; = 0,005; = 0,006. Найти вероятность того, что наудачу взятая из партии лампочка окажется стандартной,
Решение. Обозначим события: событие А - из партии взята стандартная лампочка, событие - взятая лампочка изготовлена первым заводом, событие - взятая лампочка изготовлена вторым заводом, событие - взятая лампочка изготовлена третьим заводом. Найдем условные вероятности по формуле:
где - событие, противоположное событию А (т.е. взятая из партии лампочка - нестандартная).
Из условия задачи следует, что
В соответствии с формулой (7.1) получаем:
.
Задача 4. В группе учится 21 студент, в том числе 5 отличников, 10 хорошо успевающих и 6занимающихся слабо. На предстоящем экзамене отличники могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью хорошие, удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена приглашается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку.
Решение. Введем обозначения: событие А - приглашенный наугад студент получает хорошую или отличную оценку, гипотеза - приглашен студент-отличник, гипотеза - приглашен хороший студент, гипотеза - приглашен слабый студент.
Из условия задачи следует, что
По формуле (7.1) находим искомую вероятность:
Задача 5. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно,
что первый автомат дает 0,1% брака, второй - 0,2% брака, третий - 0,3% брака. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000 деталей, со второго - 2000 деталей и с третьего - 3000 деталей.
Решение. Ведем обозначения: событие А – на сборку поступила бракованная деталь, гипотеза - деталь изготовлена на первом автомате, гипотеза - деталь изготовлена на втором автомате, гипотеза - деталь изготовлена на третьем автомате.
Из условия задачи следует, что:
В соответствии с формулой (7.1) находим искомую вероятность
.
Задача 6.Рабочий обслуживает 3 станка, на которых обрабатываются однотипные детали. Вероятность брака для первого станка равна 0,02, для второго - 0,03, для третьего - 0,04. Обработанные детали складываются в один ящик. Производительность первого станка в три раза больше, чем второго, а третьего в два раза меньше, чем второго. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет бракованной?
Решение. Введем обозначения: событие А – взятая наудачу деталь является бракованной; гипотеза - деталь изготовлена на первом станке, гипотеза - деталь изготовлена на втором станке, гипотеза - деталь изготовлена на третьем станке.
Пусть х - производительность второго станка, тогда 3х – производительность первого станка, - производительность третьего станка.
В соответствии с условием задачи имеем:
вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке
вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке
вероятность того, что деталь изготовлена на третьем станке
По формуле (7.1) находим искомую вероятность:
Задача 7. На двух автоматических станках изготовляются одинаковые детали. Известно, что производительность первого станка в два раза больше, чем второго, и что вероятность изготовления детали высшего качества на первом станке равна 0,9, а на втором - 0,81. Изготовленные за смену на обоих станках нерассортированные детали находятся на складе. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется высшего качества.
Решение. Введем обозначения: событие А - наудачу взятая деталь окажется высшего качества, гипотеза - деталь изготовлена на первом станке, гипотеза - деталь изготовлена на втором станке.
Поскольку производительность первого станка в два раза больше, чем производительность второго станка, то вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке, равна:
вероятность того, что деталь изготовлена на втором станке, равна:
Из условия задачи следует, что
В соответствии с формулой (7.1), которая при n = 2 принимает вид:
Задача 8.Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий
с вероятностями: = 0,2; = 0,3; = 0,5. Вероятность того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий соответственно равна: 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.
Решение. Введем обозначения: событие А - лампа проработает заданное число часов; гипотеза – лампа принадлежит к первой партии, гипотеза – лампа принадлежит ко второй партии, гипотеза – лампа принадлежит к третьей партии.
По условию задачи имеем:
Формула полной вероятности (7.1) при n = 3 принимает вид
Задача 9. На предприятии изготовляются изделия определенного
вида на трех поточных линиях. На первой линии производится 30% изделий от общего объема их производства, на второй - 25%, на третьей - остальная часть продукции. Каждая из линий характеризуется соответственно следующими процентами годности изделий: 97%, 98%, 96%.Определить вероятность того, что наугад взятое изделие, выпущенное предприятием, окажется бракованным.
Решение. Введем обозначения: А - событие, состоящее в ·том, что
наугад взятое изделие оказалось бракованным; гипотеза - изделие произведено на первой линии, гипотеза - изделие произведено на второй линии, гипотеза - изделие произведено на третьей линии.
Прежде всего, отметим, что на третьей линии производится 45% изделий от общего объема их производства. В соответствии с условием
задачи имеем:
Используя формулу полной вероятности (7.1) в случае n = 3, находим искомую вероятность:
Полученный ответ означает, что вероятность того, что наугад взятое изделие окажется бракованным, равна 3,2%.
Задача 10. Имеются три урны с шарами. В первой находится 5 голубых и 3 красных шара, во второй - 4 голубых и 4 красных, в третьей - 8 голубых шаров. Наугад выбирается одна из урн и из нее наугад извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется красным?
Решение. Введем обозначения: событие А –извлечен красный шар. Шар может быть извлечен из первой урны, либо из второй урны,
либо из третьей урны. Обозначим: гипотеза - шар извлечен из первой урны, гипотеза - шар извлечен из второй урны, гипотеза - шар извлечен из третьей урны.
Поскольку имеются одинаковые шансы выбрать любую из урн, то
Из условия задачи следует, что
В соответствии с формулой (7.1) находим искомую вероятность извлечения красного шара:
Формулы Байеса
Справочный материал
Пусть – попарно - несовместные события, вероятности которых (i= 1,2, ... , n), и событие , для которого известны условные вероятностиР(А/ ) (i = 1,2, ... , n). Произведен опыт, в результате которого появилось событие А. Условные вероятности событий относительно события А определяются формулами:
, (k =1,2,..., n), (8.1)
или
(8.2)
где
- формула полной вероятности.
Формулы (8.1), (8.2) называют формулами Байеса.
Замечание. Вероятности (k=1, 2, ... , n) событий до опыта называются априорными вероятностями (т.е. вероятностями событий до того, как был произведен опыт). Вероятности (k = 1, 2, ... , n) тех же собьrrий называются апостериорными (т.е. вероятностями событий после опыта).
Задачи
Задача 1 . В ящике находятся одинаковые изделия, изготовленные
на двух автоматах : 40% изделий изготовлено первым автоматом, остальные - вторым . Брак в продукции первого автомата составляет 3%,
второго - 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранное изделие
изготовлено первым автоматом, если оно оказалось бракованным.
Решение. Введем обозначения: событие А – случайно выбранное изделие является бракованным, событие - изделие изготовлено первым автоматом, событие - изделие изготовлено вторым автоматом.
Из условия следует, что
Р(А/ )=0,03; Р(А/ )=0,02.
Искомую вероятность найдем по формуле (8.2), предварительно
определив Р(А) согласно формуле (7.1), которая в данном случае
принимает вид:
Подставляя соответствующие значения, получаем
Р(А) = 0,4 ·0,03+0,6·0,02 = 0,024.
В соответствии с формулой (8.2) находим
Задача 2. На складе находятся детали, изготовленные на двух заводах. Известно, что объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода. Вероятность брака на первом заводе на втором заводе - . Наудачу взятая деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена первым заводом?
Решение. Введем обозначения: событие А – наудачу взятая деталь оказалась бракованной, событие – взятая деталь изготовлена на первом заводе, событие - взятая деталь изготовлена на втором заводе.
Учитывая, что по условию, объем продукции первого завода в 4 раза превышает объем продукции второго завода, можно записать:
Также, по условию, задано:
Р(А/ )=0,05; Р(А/ )=0,01.
Воспользовавшись формулой (8.1), получаем:
Задача 3. На склад поступает продукция трех фабрик, причем
продукция первой фабрики составляет 20%, второй - 46% и третьей -
34%. Известно, что средний процент нестандартных изделий для первой
фабрики равен 3%, для второй - 2%, для третьей - 1 %. Найти вероятность того, что наудачу взятое нестандартное изделие произведено на первой фабрике.
Решение. Введем обозначения: событие А – наудачу взятое изделие оказалось бракованным, событие – взятое изделие изготовлено на первой фабрике, событие - взятое изделие изготовлено на второй фабрике, событие - взятое изделие изготовлено на третьей фабрике.
Из условия задачи следует, что
Р(А/ )=0,03; Р(А/ )=0,02, Р(А/ )=0,01.
Поскольку в данном случае
то в соответствии с формулой (8.2) находим искомую вероятность:
Задача 4. Изделие выпускается двумя заводами. При этом объем продукции второго завода в3 раза превосходит объем продукции первого. Доля брака у первого завода составляет 2%, у второго - 1 %. Изделия, выпущенные заводам