Граф состояний системы. Система дифференциальных уравнений Колмогорова.

Рассмотрим некоторую систему S с дискретными состояниями , ,…, , которая переходит из состояния в состояние под влиянием каких-то потоков событий. Будем считать, что эти потоки простейшие. Тогда вероятность перехода из состояния в состояние за малый промежуток времени равна , т.е. , где – переходная вероятность,

– плотность потока, переводящего систему из состояния в состояние .

Предполагая, что известны плотности вероятности перехода , построим граф состояния системы и над дугами напишем соответствующие плотности . Такой граф называется размеченным графом состояний.

Зная размеченный граф, можно определить вероятности состояний , как функции времени.

Для описания процессов с непрерывным временем используем модель в виде так называемой «Марковской цепи с дискретными состояниями», считая время непрерывным. В этом смысле будем говорить, что имеем дело с непрерывной Марковской цепью.

Рассмотрим однородный процесс, т.е. процесс, в котором не зависит от t.

Пусть система в некоторый момент времени t находится в состоянии с вероятностью . Придадим величине t малое приращение и найдем вероятность того, что в момент времени система будет находиться в том же состоянии .

Это событие может произойти следующим образом: в момент t система уже была в состоянии и за время не вышла из этого состояния или в момент t система была в состоянии и за время перешла в состояние . Вероятность 1-го варианта вычисляется следующим образом: умножается на условную вероятность того, что система за не перейдет ни в какое другое состояние . Поскольку события, состоящие в переходе за время из в несовместны, то вероятность того, что осуществится один из этих переходов равна сумме этих вероятностей, т.е. .

Вероятность того, что не осуществится ни один из этих переходов равна: ,
отсюда вероятность 1-го варианта равна: *( ).

Аналогично вероятность второго варианта равна вероятности (того, что в момент времени t система была в состоянии ), умноженной на условную вероятность перехода за время в состояние : * .
Применяя правило сложения вероятностей, получим:
*(
= .

Разделив последнее равенство на , имеем:
.

Перейдем к пределу при :
, при этом правая часть уравнения не изменится, поскольку она не зависит от .
Т.о, дифференциальное уравнение имеет следующий вид:

Аналогичные уравнения можно записать для всей вероятностей состояний и все вместе они составят систему уравнений, которые носят название уравнений Колмогорова.
Интегрирование этой системы с учетом условий дает все вероятности состояний.Поскольку совместно с этим условием число уравнений для определения вероятностей составляет n+1, то одно любое из дифференциальных уравнений системы всегда можно опустить.

Обратим внимание на структуру уравнений Колмогорова. Все они построены по вполне определенному правилу, которое можно сформулировать следующим образом: в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько переходов связано с данным состоянием. Если переход направлен изданного состояния, то соответствующий член имеет знак «–», если в данное состояние, то знак «+». Каждый член равен произведению плотности вероятности соответствующего перехода, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит переход.

Для вычисления предельных вероятностей состояний , необходимо в системе уравнений левые части приравнять к нулю, т.е. найти стационарную точку.
63. Стационарный режим. Время обслуживания.

В теории массового обслуживания и ее приложениях основное внимание уделяется анализу стационарных режимов функционирования систем обслуживания. В стационарном режиме функционирования изучаемая система меняет свое состояние случайным образом, но вероятности состояний не зависят от текущего времени.

Время обслуживания – характеристика функционирования каждого отдельного канала. Этот показатель характеризует не качество обслуживания, а пропускную способность, т.е. показывает, сколько времени затрачивается на обслуживание одной заявки одним каналом. Время обслуживания непостоянно и зависит от многих неконтролируемых факторов. Поэтому время обслуживания – величина случайная. Время обслуживания может быть полностью охарактеризовано с помощью функции распределения случайной величины: F(t)= P( ).

Закон распределения времени обслуживания является показательным. В этом случае функция распределения имеет вид: F(t)=1– ,а плотность распределения: f(t)= , где – положительный параметр (интенсивность обслуживания) и .

Параметр определяет среднее число требований, обслуживаемых в единицу времени.

Основное свойство показательного закона времени обслуживания состоит в том, что закон распределения оставшейся части времени обслуживания не зависит от времени, которое уже было затрачено на это обслуживание.

Действительно, для условной вероятности того, что обслуживание будет закончено в малом интервале времени ( при условии, что оно длится уже не менее времени имеем:

Воспользовавшись разложением в ряд Тейлора, получим:
P( , где – величина более высокого периода малости, чем . А это означает, что вероятность окончания обслуживания в течение малого промежутка времени постоянна и зависит от того, сколько времени уже продолжается обслуживание.

64. Расчет СМО с отказами.

1 тип: СМО с отказами.

Граф состояний имеет вид:

Вероятности состояний для СМО с отказами:

(начальное число каналов)

Временные характеристики СМО с отказами:

1.Вероятность отказа: =

2.Вероятность обслуживания: – относительная пропускная способность

3. –абсолютная пропускная способность; среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени

4.Среднее число занятых каналов:

5.Среднее число свободных каналов:

6. –коэффициент загрузки каналов

7. – коэффициент простоя