Тема 9. Оптимизационные задачи. Текстовые задачи с графическим решением

Оптимизационные задачи линейного программирования

Оптимизационной задачей называется задача нахождения экстремума (максимума или минимума) целевой функции при наличии некоторой системы линейных или нелинейных ограничений. Часто оптимизационные задачи задаются в виде текстовых задач, когда перед решением нужно сначала составить систему уравнений и неравенств. Такие задачи постоянно встречаются в ЕГЭ и на ДВИ.

Начнем рассмотрение темы со случаев, когда и целевая функция, и система ограничений заданы линейно.

В общем виде задача выглядит так:

Здесь числаа и с – произвольные числа. Задача может быть направлена как на максимум, так и на минимум. При этом ограничения могут быть как меньше или равны нулю, так и больше или равны нулю.

Пример 1. Оптимизационная задача с использованием понятия градиента

Найти наибольшее и наименьшее значение параметра а, при котором выполняется следующая система:

Важные термины:

Линии уровня - линии, которые может задавать уравнение целевой функции с учетом значений параметра.

Градиент (от лат.gradiens, род.падеж gradientis – шагающий, растущий) – вектор, своим направлением указывающий направление наибольшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой, а по величине (модулю) равный скорости роста этой величины в этом направлении.

Градиент является вектором нормали, перпендикулярным линиям уровня – линии уровня будут двигаться вдоль этого вектора. Как мы знаем из лекции 2, если уравнение прямой задано в общем виде , то нормальный вектор задается как .

Целочисленные оптимизационные задачи

Некоторая специфика появляется, когда дана текстовая задача с такими условиями, что неизвестные являются целочисленными.

Пример 2. Целочисленная оптимизационная задача

Баржа грузоподъемностью 134 тонны перевозит контейнеры типов А и В. Количество загруженных на баржу контейнеров типа В не менее чем на 25% превосходит количество загруженных контейнеров типа А. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 2 тонны и 5 млн. руб., контейнера типа В – 5 тонн и 7 млн. руб.соответственно. Определите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, перевозимых баржей при данных условиях.

Задачи, которые сводятся к нахождению максимума/минимума квадратичной функции

В таких задачах необходимо использовать уже знакомые принципы нахождения максимального (или минимального) значения квадратичной функции: оно может достигаться в вершине параболы или в граничных точках ограничения, если оно есть.

И снова необходимо помнить, что если речь идет о текстовой задаче, на переменные могут быть дополнительные условия, связанные со смыслом – например, их неотрицательность, целочисленность.

Пример 3. Задача на максимум/минимум квадратичной функции

В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?