В дальнейшем нам потребуется интеграл Пуассона
.
Используя этот интеграл несложно заметить, что функция распределения f(x) удовлетворяет основному соотношению
.
Действительно, обозначив , можно написать
.
Числовые характеристики нормального распределения. Определим математическое ожидание случайной величины с нормальным законом распределения
.
.
Выполнив замену переменной , получаем
.
Итак, М[X]=a. Значение параметра а в формуле, определяющей плотность распределения вероятности, равно математическому ожиданию рассматриваемой случайной величины. Точка х=а является центром распределения вероятностей, или центром рассеивания.
Найдем
.
Выполнив ту же замену переменной, будем иметь
.
Проинтегрировав по частям последний интеграл: u=t, , получим
.
Так как по правилу Лопиталя , то
.
Поэтому дисперсия нормального распределения случайной величины будет
.
Итак, M[X]=a, D[X]=σ2, σ[X]= σ.
7. Функция Лапласа. Функция распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение.В дальнейшем будем использовать функцию Лапласа, определяемую равенством
.
Составлены подробные таблицы значений этой функции.
Укажем некоторые свойства функции Ф(х).
1. Ф(х) определена при всех значениях х.
2. Ф(0)=0.
3. .
4. .
5. Ф(х) монотонно возрастает при всех .
6. Ф(х) – функция нечетная: Ф(-х)= - Ф(х).
Определим функцию распределения случайной величины Х, имеющей нормальное распределение.
.
Обозначив получим
.
Итак, функция распределения случайной величины Х имеет вид
.
8. Вероятность попадания случайной величины Х, имеющей нормальное распределение, в заданном интервале.Используя функцию распределения случайной величины Х, найдем вероятность попадания ее значений в интервал (α, β).
.
Таким образом, .
Пример. Найти вероятность попадания в интервал для нормально распределенной случайной величины с параметрами
Имеем
◄
Известно («правило трех сигм»), что практически все возможные значения нормально распределенной случайной величины сосредоточены в интервале . Действительно, вероятность попадания в этот интервал равна 0,9973, то есть выход за его границы можно считать событием практически невозможным (
).
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины, принимающей значения от 3,5 до 10,1.
Будем считать границы интервала равными и
Тогда
и следовательно,
◄
Пример.Непрерывная случайная величина распределена нормально с ,
. Найти интервал, в котором согласно правилу «трех сигм» попадает случайная величина с вероятностью 0,9973.
Правило «трех сигм» представлено формулой
.
Так как то
откуда
.
Решая последнее неравенство, получаем
,
откуда .
Пример. Плотность распределения вероятностей случайной величины Х имеет вид . Найти: γ, M[X], D[X], F(x),
.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение. Поэтому приведем плотность распределения f(x) к виду
.
Выделим в показателе заданной функции полный квадрат
.
Следовательно,
.
Сравним
.
Из последнего равенства получаем
.
, т.е.
.
,
.
.
.
В последнем равенстве при вычислении и
использованы таблицы значений функции Ф(х).
Итак: ,
,
,
,
. ◄
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте определение случайной величины.
2. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры тех и других случайных величин.
3. Опишите форму таблицы распределения случайной величины. Как такая таблица изображается на чертеже?
4. Дайте определение закона распределения вероятностей случайной величины.
5. Как определяется дифференциальная функция распределения вероятностей случайной величины? Почему эту функцию называют функцией распределения плотности вероятности случайной величины?
6. Как вычисляется вероятность попадания в заданный интервал дискретной случайной величины?
7. Дайте определение математического ожидания случайной величины. Какое свойство случайной величины характеризует математическое ожидание?
8. Дайте определения дисперсии и среднего квадратического отклонения. Для характеристики какого свойства случайной величины применяют дисперсию или среднее квадратическое отклонение?
9. Перечислите свойства математического ожидания и дисперсии.
10. Начертите форму кривой нормального распределения. Как меняется кривая при изменении математического ожидания и среднего квадратического отклонения?
!1. Изложите методику расчета вероятности попадания случайной величины в заданный интервал при нормальном распределении.
12. Сформулируйте теорему Ляпунова. Объясните структуру случайных величин- характеризуемых нормальным распределением.
13. Что понимается под законом больших чисел?
14. Сформулируйте теорему Бернулли. Какое значение имеет эта теорема для практики?
15. Сформулируйте теорему Чебышева. Укажите ее значение для практики.