Функциейраспределенияслучайнойвеличины X называ-
Етсяфункция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что
Случайная величина X приметзначение, меньшее x
F(x) = P(X < x). Свойствафункции распределения1. Значенияфункциираспределенияпринадлежатотрезку [0, 1].
– неубывающаяфункция.
при
3. Вероятность того, чтослучайная величина приметзначение, заключенное в интервале (a, b) , равнаприращениюфункциираспределения на этоминтервале. 4. На минусбесконечностифункцияраспределенияравна нулю, на плюс бесконечностифункцияраспределенияравна единице.5. Вероятность того, чтонепрерывнаяслучайная величина
примет одно определенноезначение, равна нулю.
24.
Определение.Плотностьюраспределениявероятностейнепрерывнойслучайнойвеличины называетсяфункцияf(x) – перваяпроизводная от функциираспределения
.
Свойстваплотностираспределения
1. Плотностьраспределения – неотрицательнаяфункция.
2. Несобственныйинтеграл от плотностираспределения в пределах от - ¥ до ¥равенединице.
Криваяраспределениявероятностей - кривая, характеризующаяраспределениевероятностейпоявлениявеличиныгидрологическогоэлемента.Кривая, изображающаяплотностьраспределенияслучайнойвеличины, называетсякривойраспределения
Рассматривая плотность распределения для одной случайной величины, мы ввели понятие «элемента вероятности»
. Это есть вероятность попадания случайной величины
на элементарный участок
, прилегающий к точке
. Аналогичное понятие «элемента вероятности» вводится и для системы двух величин. Элементом вероятности в данном случае называется выражение
.Очевидно, элемент вероятности есть не что иное, как вероятность попадания в элементарный прямоугольник со сторонами
,
, примыкающий к точке
25. Дискретнаяс.в. – это с.в., принимающая конечное или счетное число значений.1).Мат. Ожидание: Свойства: Mc=c, c=const; Mcx=cMx; M(x+y)=M(x)+M(y);M(xy)=MxMy;
2).Дисперсия-среднее значение квадрата отклонения с.в. от ее среднего значения.Dx=Mx2–(Mx)2. Свойства: Dc=o, c=const; Dcx=c2Dx; D(x+y)=Dx + Dy; 3). Среднее квадр. Отклонение – . 4).Модой с.в. х наз. число М0, которое равно её наиболее вероятному значению.
; 5).Медианой с.в. наз. такое число, что:
27Мода и медиана с.в.
Модад.с.в. – это наиболее вероятное значение с.в.; для н.с.в. – это точка максимума плотности распределения. Обозначение: Мoх.
МедианаМeх с.в. - это такое значение с.в., для которого P{X<xm}=P{X>xm}=1/2
Медиана является характеристикой н.с.в..
Геометрически медиана- это точка на оси 0x для которой площади под графиком плотности распределения, лежащие слева и справа от нее, одинаковы и равны 21.
Если плотность распределения симметрична относительно прямой x=a и распределение одномодально, то математическое ожидание, медиана и мода совпадают между собой,
M(X)=Mex=MОx
28Свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины.
свойствадисперсиии.
1. D(X)≥0
2. D(c)=0
3. D(cX)=c2D(X)
4D(X+Y)=D(X)+D(Y) где(Х,Y - независимые с.в.)
5D(X+с)= D(X)
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.
Свойства мат ожидания
M[C] = C.
M[CX] = CM[X].
M[XY ] = M[X]M[Y ].
M[X + Y ] = M[X] +M[Y ]
M[X] = np( произведение числа ожиданий на вероятность)
29. Начальные и центральные моменты дискретной с.в. Коэффициент асимметрии, эксцесс.
В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.
Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k-й степени случайной величины x , т.е. a k = Mx k.
Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k, определяемая формулой m k = M(x - Mx )k.
Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = Mx , а дисперсия - центральный момент второго порядка,
a 2 = Mx 2 = M(x - Mx )2 = Dx .
Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:
m 2=a 2-a 12, m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 13.
Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = Mx , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.
В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,
где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.
Эксцесс Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.
Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .
У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x )> 0, то это означает, что график плотности вероятностей px (x) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика px (x) меньше, чем у нормального распределения.
30.Бернуллиевскаяс.в., ее математическое ожидание и дисперсия.
Биномиальный закон распределения. Случайная величина может принимать значения 0,1,2,…,n и каждому значению X=m соответствует вероятность , где p+q=1. Этот закон распределения считается заданным, если известны числа n и p, через которые выражаются все вероятности. Случайную величину подчинённою этому закону можно назвать числом появлении события в n независимых опытах.
Мх=npDx=npqq=1-p
31Пуассоновская с.в., ее математическое ожидание и дисперсия.
Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром альфа (альфа > 0), если
Что кратко записывается в виде L(кси) = П(кси); при этом альфа= Мх = Dх.
Альфа = np
Закон распределения называется равномерным, если
ф-цияраспред.:
,
Случайная величина распределена по показательному закону, если
;
36. Случайная величина распределена по нормальному закону распределения, если ;
.Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание, равное нулюДисперсия определяет форму кривой нормального закона распределения.
Чаще всего используют нормальный закон в нормированной форме , который получают заменой переменной .
.
; для
;
.
37.Известно, что если случайная величина X задана плотностью распределения , то вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), такова:
.
Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону. Тогда .
Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было пользоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда
.
Найдем новые пределы интегрирования. Если , то
, если
, то
. Тогда
.
Выражение , входящее в эту формулу, является функцией верхнего предела X, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей и обозначается Ф(x). В результате получаем:
Ф
— Ф
,
где Ф(x) = .
Эту формулу называют формулой Лапласа.
Если случайная величина X является признаком генеральной совокупности, то формула Лапласа дает долю элементов генеральной совокупности, у которых значение признака X находится в границах от до
.
Интеграл, через который выражается функция Лапласа, нельзя выразить через элементарные функции. Его можно представить в виде степенного ряда, если разложить в ряд подынтегральную функцию и почленно проинтегрировать ряд. Тогда
Ф(x) = .
C помощью этого ряда можно вычислить значение Ф(x) для любого x с любой точностью. Составлены специальные таблицы значений функции Лапласа.
Отметим ряд свойств функции Лапласа, полезных для применения.
1. Функция Ф(x) – нечетная, т. е. Ф(-x) = –Ф(x).
2. Функция Ф(x) – возрастающая, быстро приближающаяся к своему пределу, равному 0,5: Ф(0) = 0, Ф(1) = 0,3413, Ф(2) = 0,4772, Ф(3) = 0,4986, Ф(4) = 0,4999 и т.д. На практике полагают Ф(x) для x>5.